中考专题复习之切线的判定与性质

中考专题复习之切线的判定与性质

中考专题复习之切线的判定与性质 知识考点：‎ ‎1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。‎ ‎2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）EM＝FM。‎ 分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结EC，构造直角三角形来解题，要证BC是⊙O的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF∥BC，考虑用比例线段证线段相等。‎ 证明：（1）连结EC，∵DE＝CD，∴∠1＝∠2‎ ‎ ∵DE切⊙O于E，∴∠2＝∠BAC ‎ ∵AC为直径，∴∠BAC＋∠3＝900‎ ‎ ∴∠1＋∠3＝900，故BC是⊙O的切线。‎ ‎（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC⊥AC ‎ 又∵EF⊥AC，∴EF∥BC ‎ ∴‎ ‎ ∵BD＝CD，∴EM＝FM ‎ 【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。‎ 分析：由于⊙O与AC有无公共点未知，因此我们从圆心O向AC作垂线段OE，证OE就是⊙O的半径即可。‎ 证明：连结OD、OA，作OE⊥AC于E ‎∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO是∠BAC的平分线 ‎∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB 又∵OE⊥AC，∴OE＝OD ‎ ∴AC是⊙O的切线。‎ ‎【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝。‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若AD＋OC＝，求CD的长。‎ 分析：（1）要证CD是⊙O的切线，由于D在⊙O上，所以只须连结OD，证OD⊥DC即可；（2）求的值，一般是利用相似把转化为其它线段长的乘积，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由，AD＋OC＝可求出AD、OC，根据勾股定理即可求出CD。‎ 证明：（1）连结OD，证∠ODC＝900即可；‎ ‎（2）连结BD ‎ ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝900‎ ‎ ∵∠OBC＝900，∴∠ADB＝∠OBC ‎ 又∠A＝∠3，∴△ADB∽△OBC ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎（3）由（2）知，又知AD＋OC＝‎ ‎ ∴AD、OC是关于的方程的两根 ‎ 解此方程得，‎ ‎ ∵OC＞，∴OC＝‎ ‎ ∴CD＝‎ 探索与创新：‎ ‎【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。‎ ‎（1）求∠G的余弦值；‎ ‎（2）求AE的长。‎ 略解：（1）设正方形ABCD的边长为，FA＝FE＝6，在Rt△FCD中，，，解得。‎ ‎∴‎ ‎∵AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∴‎ ‎（2）连结BE，∵CG切半圆于E，∴∠AEG＝∠GBE ‎∵∠G为公共角，∴△AEG∽△EBG ‎∴‎ 在Rt△AEB中，可求得 ‎【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝（定值），⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。‎ ‎（1）求∠POQ；‎ ‎（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。‎ 分析：（1）连结OC，利用直角三角形的性质易求∠POQ；（2）试将∠DOE用含的式子表示出来，由于为定值，则∠DOE为定值。‎ 解：（1）连结OC ‎ ∵BC切⊙O于P、Q，∴∠1＝∠2，OP⊥CA，OQ⊥CB ‎ ∵CA＝CB，∴CO⊥AB ‎ ∴∠COP＝∠CAB，∠COQ＝∠CBA ‎ ∵∠CAB＝，∴∠POQ＝∠COP＋∠COQ＝‎ ‎ （2）由CD、DE、CE都与⊙O相切得：‎ ‎ ∠ODE＝∠CDE，∠OED＝∠CED ‎ ∴∠DOE＝1800－（∠ODE＋∠OED）‎ ‎ ＝1800－（∠CDE＋∠CED）‎ ‎ ＝1800－（1800－∠ACB）‎ ‎ ＝1800－[1800－（1800－）]‎ ‎ ＝‎ ‎ ∴∠DOE为定值。‎ 跟踪训练：‎ 一、选择题：‎ ‎1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）‎ A、经过半径外端点的直线是圆的切线；‎ B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；‎ C、垂直于半径的直线是圆的切线；‎ D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ ‎2、在Rt△ABC中，∠A＝900，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若AB＝，AC＝，则⊙O的半径为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CF∶FD＝（ ）‎ ‎ A、1∶2 B、1∶‎3 C、1∶4 D、2∶5‎ ‎4、如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD＝BE，BD＝AF，连结DE、DF、EF，则∠EDF＝（ ）‎ ‎ A、900－∠P B、900－∠P C、1800－∠P D、450－∠P ‎ ‎ 二、填空题：‎ ‎5、已知PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，∠APB＝780，点C是⊙O上异于A、B的任一点，则∠ACB＝ 。‎ ‎6、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BC与以AD为直径的⊙O相切于点E，AB＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为 。‎ ‎7、如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD＝6，BD＝4，则△ABC的面积为 。‎ ‎8、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，过⊙O上A点的直线AD∥OC，若OA＝2且AD＋OC＝6，则CD＝ 。‎ ‎ ‎ ‎9、如图，已知⊙O的直径为AB，BD＝OB，∠CAB＝300，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论（除OA＝OB＝BD外）：① ；② ；③ ；④ 。‎ ‎10、若圆外切等腰梯形ABCD的面积为20，AD与BC之和为10，则圆的半径为 。‎ 三、计算或证明题：‎ ‎11、如图，AB是半⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半⊙O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C。‎ ‎（1）当∠QPA＝600时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；‎ ‎（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是 三角形；‎ ‎（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是 三角形。‎ ‎12、如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD。‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果AB＝2，AD＝4，EG＝2，求⊙O的半径。‎ ‎ ‎ ‎13、如图，在△ABC中，∠ABC＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，求。‎ ‎14、如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。‎ ‎（1）求证：CD是半圆的切线；‎ ‎（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎15、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动， PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝2.5。‎ ‎（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；‎ ‎（2）设，，求出与之间的函数关系式；‎ ‎（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由。‎ 跟踪训练参考答案 一、选择题：DCBB 二、填空题：‎ ‎5、51或129；6、78；7、24；8、；‎ ‎9、∠ACB＝900，AB＝2BC，DC是⊙O的切线，BD＝BC等；10、2‎ 三、计算或证明题：‎ ‎11、（1）△QCP是等边三角形；（2）等腰直角三角形；（3）等腰三角形 ‎12、（1）证OD⊥AD；（2）；‎ ‎13、过D作DF⊥BC于F，；‎ ‎14、（1）证∠ODC＝900；（2）连结BD，过A作AE⊥CD于E，证△ADB∽△AED，则有，即，‎ ‎15、（1）⊙O的半径为1.5；（2）连结OP、OT，由勾股定理得化简得（0≤≤1.5）；（3）△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。理由如下：‎ 当PT⊥CT时，由于PT切⊙O于T，所以CT过圆心，即CT就是⊙O的半径，由（1）知，CT＝1.5，PT＝2，即PT≠CT，故△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形。‎