【数学】2018届一轮复习北师大版第2讲 平面向量基本定理及坐标表示学案

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【数学】2018届一轮复习北师大版第2讲 平面向量基本定理及坐标表示学案

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 ‎ [学生用书P93]‎ ‎1.平面向量基本定理 ‎(1)定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.‎ ‎(2)基底:不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),‎ λa=(λx1,λy1),|a|=.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),‎ ‎||=.‎ ‎3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.‎ ‎1.辨明三个易误点 ‎(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的.‎ ‎(2)注意运用两个向量a,b共线坐标表示的充要条件应为x1y2-x2y1=0.‎ ‎(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信息.‎ ‎2.有关平面向量的两类本质 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.‎ 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键.‎ ‎1. 已知向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b=(  )‎ A.(-3,4)         B.(3,4)‎ C.(3,-4) D.(-3,-4)‎ ‎ A [解析] 由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,‎ ‎8),所以b=(-6,8)=(-3,4),故选A.‎ ‎2.如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(  )‎ A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2‎ C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1‎ ‎ D [解析] 选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;‎ 选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;‎ 选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;‎ 选项D,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.‎ ‎3.(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(  )‎ A.(-7,-4) B.(7,4)‎ C.(-1,4) D.(1,4)‎ ‎ A [解析] 法一:设C(x,y),则=(x,y-1)=(-4,-3),‎ 所以从而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.‎ 法二:=(3,2)-(0,1)=(3,1),‎ =-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).‎ 故选A.‎ ‎4.(2015·高考江苏卷)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.‎ ‎[解析] 因为 ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),‎ 所以所以所以m-n=2-5=-3.‎ ‎[答案] -3‎ ‎5. 已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.‎ ‎[解析] 设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),即解得 ‎[答案] (1,5)‎ ‎ 平面向量基本定理及其应用[学生用书P94]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)‎ 如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=(  )‎ A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b ‎(2)在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则实数t的值为________.‎ ‎【解析】 (1)因为=-=a-b,又=3,‎ 所以==(a-b),‎ 所以=+=b+(a-b)=a+b.‎ ‎(2)‎ 因为=+,‎ 所以3=2+,‎ 即2-2=-,‎ 所以2=.‎ 即P为AB的一个三等分点(靠近A点),‎ 又因为A,M,Q三点共线,设=λ.‎ 所以=-=λ- ‎=λ-=+,‎ 又=t=t(-)=t ‎=-t.‎ 故解得故t的值是.‎ ‎【答案】 (1)B (2) ‎1.在本例(2)中,试用向量,表示.‎ ‎[解] 因为=+,‎ 所以3=2+,即2-2=-,‎ ‎2=,所以=,‎ =-=-.‎ ‎2.在本例(2)中,试问点M在AQ的什么位置?‎ ‎[解] 由本例(2)的解析=+及λ=,=2知,=λ(-)+ ‎=+(1-λ) ‎=λ+(1-λ)=.‎ 因此点M是AQ的中点.‎ 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.‎ ‎(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,‎ 要熟练运用平面几何的一些性质定理. ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.如图,在三角形ABC中,BE是边AC的中线,O是BE边的中点,若=a,=b,则=(  )‎ A.a+b          B.a+b C.a+b D.a+b ‎ D [解析] 因为在三角形ABC中,BE是AC边上的中线,‎ 所以=.‎ 因为O是BE边的中点,‎ 所以=(+)=+=a+b,故选D.‎ ‎2.在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值是________.‎ ‎[解析] 法一:根据题意可知△AFE∽△CFB,所以==,故===(-)==-,所以==-2.‎ 法二:如图,=2,‎ =m+n,‎ 所以=+ ‎=m+(2n+1),‎ 因为F,E,B三点共线,所以m+2n+1=1,所以=-2.‎ ‎[答案] -2‎ ‎ 平面向量的坐标运算[学生用书P94]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.‎ ‎(1)求3a+b-3c;‎ ‎(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;‎ ‎(3)求M、N的坐标及向量的坐标.‎ ‎【解】 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).‎ ‎(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)‎ ‎=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).‎ ‎(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),‎ 所以解得 ‎(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,‎ 所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).‎ 所以M(0,20).又因为=-=-2b,‎ 所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),‎ 所以N(9,2).所以=(9,-18).‎ 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.  ‎ ‎(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用.‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于(  )‎ A.(-2,7)        B.(-6,21)‎ C.(2,-7) D.(6,-21)‎ ‎ B [解析] =3=3(2-)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).‎ ‎2.已知A(7,1)、B(1,4),直线y=ax与线段AB交于C,且=2,则实数a=________.‎ ‎[解析] 设C(x,y),‎ 则=(x-7,y-1),=(1-x,4-y),‎ 因为=2,所以,解得.‎ 所以C(3,3).又因为C在直线y=ax上,‎ 所以3=a·3,所以a=2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎ 平面向量共线的坐标表示(高频考点)[学生用书P95]‎ 平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,难度较小.‎ 高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度:‎ ‎(1)利用两向量共线求参数; ‎ ‎(2)利用两向量共线的条件求向量坐标;‎ ‎(3)三点共线问题.‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 已知a=(1,0),b=(2,1).‎ ‎(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?‎ ‎(2)若=2a+3b,=a+mb且A、B、C三点共线,求m的值.‎ ‎【解】 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),‎ a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).‎ 因为ka-b与a+2b共线,‎ 所以2(k-2)-(-1)×5=0,‎ 即2k-4+5=0,得k=-.‎ ‎(2)法一:因为A、B、C三点共线,‎ 所以=λ,即2a+3b=λ(a+mb),‎ 所以,解得m=.‎ 法二:=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),‎ =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).‎ 因为A、B、C三点共线,‎ 所以∥.所以8m-3(2m+1)=0,‎ 即2m-3=0,所以m=.‎ ‎(1)向量共线的两种表示形式 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b⇒a=λb(b≠0);②a∥b⇔x1y2-x2y1=0,至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.  ‎ ‎(2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一 利用两向量共线求参数 ‎1.(2017·邯郸一模)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(m a+n b)∥(a-2b),则等于(  )‎ A.2   B.-2   C.-   D. ‎ C [解析] 由题意得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),因为(ma+nb)∥(a-2b),所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0,‎ 所以=-.‎ ‎ 角度二 利用两向量共线的条件求向量坐标 ‎2.已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),||=2||,则向量的坐标是________.‎ ‎[解析] 由点C是线段AB上一点,||=2||,得=-2.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即解得所以向量的坐标是(4,7).‎ ‎[答案] (4,7)‎ ‎ 角度三 三点共线问题 ‎3.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是(  )‎ A.- B. C. D. ‎ A [解析] =-=(4-k,-7),‎ =-=(-2k,-2).‎ 因为A,B,C三点共线,所以,共线,‎ 所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.‎ ‎ [学生用书P95]‎ ‎——忽视平面向量基本定理的条件致误 ‎ 已知=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上?‎ ‎【解】 由题设,知=d-c=2b-3a,‎ =e-c=(t-3)a+tb.‎ C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,‎ 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,‎ 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.‎ ‎①若a,b共线,则t可为任意实数;‎ ‎②若a,b不共线,则有 解之得t=.‎ 综上,可知a,b共线时,t可为任意实数;‎ a,b不共线时,t=.‎ ‎ 在平面向量基本定理中,一定要注意两个基向量不共线这一条件,本题在利用向量共线的充要条件列出等式后,易漏掉当a,b共线时,t可为任意实数这个解.‎ ‎ 已知a,b,c是共起点的向量,a,b不共线,且∃m,n∈R使c=ma+‎ nb成立.若a,b,c的终点共线,则必有(  )‎ A.m+n=0         B.m-n=1‎ C.m+n=1 D.m+n=-1‎ ‎ C [解析] 设=a,=b,=c,‎ 因为a,b,c的终点共线,‎ 所以设=λ,即-=λ(-),‎ 所以=(1-λ)·+λ,‎ 即c=(1-λ)a+λb.‎ 又c=ma+nb,‎ 所以所以m+n=1,故选C.‎ ‎[学生用书P347(独立成册)]‎ ‎1.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(  )‎ A.-a+b        B.a-b C.-a-b D.-a+b ‎ B [解析] 设c=λa+μb,‎ 则(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),‎ 所以所以 所以c=a-b.‎ ‎2.在△ABC中,=2,=2,若=m+n,则m+n=(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎ B [解析] 因为=+=+=+(-)=+=+ ,所以m+n=+=.‎ ‎3.已知向量a=,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为(  )‎ A.4 B.8‎ C.0 D.2‎ ‎ A [解析] a-2b=,‎ ‎2a+b=(16+x,x+1),‎ 由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0,‎ 故有=λ(16+x,x+1),λ∈R,‎ 所以⇒x=4(x>0).‎ ‎4.已知非零不共线向量、,若2=x+y,且=λ(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是(  )‎ A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0‎ C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0‎ ‎ A [解析] 由=λ,得-=λ(-),‎ 即=(1+λ)-λ.‎ 又2=x+y,‎ 所以消去λ得x+y-2=0,故选A.‎ ‎5.‎ ‎(2017·济南模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,若AB=4,且=+λ(λ∈R),则AD的长为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5 ‎ B [解析] 因 为B,D,C三点共线,所以有+λ=1,解得λ=,如图,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,‎ 则=,=,‎ 经计算得AN=AM=3,AD=3.‎ ‎6.(2017·龙岩质检)‎ 如图,A,B分别是射线OM,ON上的两点,给出下列向量:①+2;②+;③+;④+;⑤-,若这些向量均以O为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(  )‎ A.①② B.②④‎ C.①③ D.③⑤‎ ‎ B [解析] 在ON上取点C使=2,以OA,OC为邻边作平行四边形OCDA,则=+2,其终点不在阴影区域内,排除选项A,C;取OA的中点E,作EF綊OB,由于=,所以+的终点在阴影区域内,排除选项D.故选B.‎ ‎7.已知向量a=(1-sin θ,1),b=,若a∥b,则锐角θ=________.‎ ‎[解析] 因为a∥b,所以(1-sin θ)×(1+sin θ)-1×=0,得cos2θ=,所以cos θ=±,又因为θ为锐角,所以θ=.‎ ‎[答案] ‎8.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则ab的最大值为________.‎ ‎[解析] 易知=(a-1,1),=(-b-1,2),由A,B,C三点共线知∥,故2(a-1)-(-b-1)=0,所以2a+b=1.‎ 由基本不等式可得1=2a+b≥2,当且仅当2a=b时等号成立,所以ab≤,‎ 即ab的最大值为.‎ ‎[答案] ‎9.(2017·合肥质检)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,向量a=(cos C,b-c),向量b=(cos A,a)且a∥b,则tan A=________.‎ ‎[解析] a∥b⇒(b-c)cos A-acos C=0,即bcos A=ccos A+acos C,再由正弦定理得sin Bcos A=sin C·cos A+cos Csin A⇒sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,即cos A=,所以sin A=,tan A==.‎ ‎[答案] ‎10.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.‎ 其中正确命题的个数为________.‎ ‎[解析] =a,=b,=+=-a-b,故①错;‎ =+=a+b,故②正确;‎ =(+)=(-a+b)‎ ‎=-a+b,故③正确;‎ 所以++=-b-a+a+b+b-a=0.故④正确.所以正确命题为②③④,共3个.‎ ‎[答案] 3‎ ‎11.‎ 如图,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.‎ ‎[解] 因为=-=a-b,‎ ==a-b,‎ 所以=+=a+b.‎ 因为=a+b,‎ 所以=+=+==a+b,所以=-=a+b-a-b=a-b.‎ 综上,=a+b,=a+b,=a-b.‎ ‎12.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=.‎ ‎(1)求点E,F的坐标;‎ ‎(2)求证:∥.‎ ‎[解] (1)设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 则依题意,得=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).‎ 所以==,==,‎ 所以=(x1,y1)-(-1,0)=,‎ =(x2,y2)-(3,-1)=.‎ 所以(x1,y1)=+(-1,0)=,‎ ‎(x2,y2)=+(3,-1)=,‎ 所以点E的坐标为,点F的坐标为.‎ ‎(2)证明:由(1)知(x1,y1)=,(x2,y2)=.‎ 所以=(x2,y2)-(x1,y1)=.‎ 又=(4,-1),即4×-(-1)×=0,‎ 所以∥.‎ ‎13.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ‎ B [解析] 由=+λ,知-=λ,即=λ,所以点P在∠BAC的平分线上,故点P的轨迹一定通过△ABC的内心.‎ ‎14.(2017·太原模拟)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;‎ ‎(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线.‎ ‎[解] (1)=t1+t2 ‎=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).‎ 当点M在第二或第三象限时,有 故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.‎ ‎(2)证明:当t1=1时,‎ 由(1)知=(4t2,4t2+2).‎ 因为=-=(4,4),‎ =-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,且有公共点A,‎ 所以不论t2为何实数,A、B、M三点都共线.‎ ‎15.‎ 如图,设Ox,Oy为平面内相交成60°角的两条数轴,e1、e2分别是x轴、y 轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向 量在坐标系xOy中的坐标.若的坐标为(1,1).‎ ‎(1)求||;‎ ‎(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B,试确定A,B的位置,使△AOB的面积最小,并求出最小值.‎ ‎[解] (1)过点P作x轴、y轴的平行线,交y轴、x轴于点M、N.‎ 则||=1,||=||=1,∠ONP=120°,‎ 所以||=‎ =.‎ ‎(2)设||=x,||=y,‎ =m+n(m+n=1),‎ 则=m+n=mxe1+nye2.‎ 得⇒+=1.‎ S△AOB=||||sin 60°=xysin 60°=xy.‎ 因为+=1≥,‎ 所以 ≥2,S△AOB=xy≥,‎ 当且仅当x=y=2,即当A(2,0),B(0,2)时,△AOB面积最小,最小值为.‎
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