高考数学一轮复习练案7第二章函数导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性含解析

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高考数学一轮复习练案7第二章函数导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性含解析

‎ [练案7] 第四讲 函数的奇偶性与周期性 A组基础巩固 一、单选题 ‎1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( D )‎ A.y=x+sin 2x   B.y=x2-cos x C.y=2x+   D.y=x2+sin x ‎[解析] 选项A是奇函数,B、C都是偶函数,故选D.‎ ‎2.(2020·西藏山南二高模拟)下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( D )‎ A.y=2x   B.y= C.y=|x|   D.y=-x2+1‎ ‎[解析] A选项,根据y=2x的图象知该函数非奇非偶,可知A错误;B选项,由y=的定义域为[0,+∞),知该函数非奇非偶,可知B错误;C选项,当x∈(0,+∞)时,y=|x|=x为增函数,不符合题意,可知C错误;D选项;由-(-x)2+1=-x2+1,可知该函数为偶函数,根据其图象可看出该函数在(0,+∞)上单调递减,可知D正确.故选D.‎ ‎3.已知f(x)为奇函数,当x>0,f(x)=x(1+x),那么x<0,f(x)等于( B )‎ A.-x(1-x)   B.x(1-x)‎ C.-x(1+x)   D.x(1+x)‎ ‎[解析] 当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又f(-x)=-f(x),∴f(x)=x(1-x).‎ ‎4.(2020·山东师大附中模拟)函数f(x)在R上是偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则函数f(x)在[3,5]上是( D )‎ A.增函数   B.减函数 C.先增后减的函数   D.先减后增的函数 ‎[解析] 因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数,又f(x)在R上是偶函数,且在 [-1,0]上单调递减,所以f(x)在[0,1]单调递增.所以f(x)在[3,5]上是先减后增的函数,故选D.‎ ‎5.(2020·广东佛山一模,7)已知f(x)=2x+为奇函数,g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,则f(ab)=( D )‎ A.  B. ‎ C.-  D.- - 5 -‎ ‎[解析] 由f(x)=2x+为奇函数,得f(-x)+f(x)=0,即(2x+)+(2-x+)=0,可得a=-1;由g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,得g(x)=g(-x),即bx-log2(4x+1)=b(-x)-log2(4-x+1),可得b=1,则ab=-1,f(ab)=f(-1)=2-1-=-,故选D.‎ ‎6.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)等于( B )‎ A.10  B. ‎ C.-10  D.- ‎[解析] 因为f(x+3)=-,所以f(x+6)=-=f(x),所以函数f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数,所以f(107.5)=f(6×17+5.5)=-=-=-=.‎ ‎7.(2020·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f(x)=e|x|+x2,(e为自然对数的底数),且f(‎3a-2)>f(a-1),则实数a的取值范围是( C )‎ A.(,+∞)   B.(-∞,)‎ C.(-∞,)∪(,+∞)   D.(0,)∪(,+∞)‎ ‎[解析] 显然f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,∴f(‎3a-2)>f(a-1)⇔|‎3a-2|>|a-1|⇔(‎3a-2)2>(a-1)2⇔a>或a<,故选C.‎ 二、多选题 ‎8.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则下列结论中正确的是( ABC )‎ A.函数f(g(x))是偶函数 B.函数g(f(x))是偶函数 C.函数f(x)·g(x)是奇函数 D.函数f(x)+g(x)是奇函数 ‎[解析] 对于选项A,f[g(x)]是偶函数,A正确;对于选项B,g[f(x)]是偶函数,B正确;对于选项C,设h(x)=f(x)g(x),h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)是奇函数;对于选项D,f(x)+g(x)不一定具备奇偶数,故选A、B、C.‎ ‎9.若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x - 5 -‎ ‎)图象上的是( BC )‎ A.(a,-f(a))   B.(-a,-f(a))‎ C.(a,-f(-a))   D.(a,f(-a))‎ ‎[解析] ∵函数y=f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),-f(-a)=f(a).即点(-a,-f(a))和点(a,-f(-a))一定在函数y=f(x)的图象上.故选B、C.‎ ‎10.(2020·山东普通高校招生春季考试)奇函数y=f(x)的局部图象如图,则下列结论不正确的是( BCD )‎ A.f(2)>0>f(4)‎ B.f(2)<0f(4)>0‎ D.f(2)0>f(-2),所以-f(4)>0>-f(2),即f(2)>0>f(4).故选B、C、D.‎ 三、填空题 ‎11.若函数f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图象的对称轴方程为__x=1__.‎ ‎[解析] 解法一:由已知得f(x+1)=f(-x+1),所以y=f(x)关于x=1对称.‎ 解法二:将y=f(x+1)右移1个单位,得到y=f(x)图象,关于x=1对称.‎ ‎12.设f(x)是周期为3的函数,当1≤x≤3时,f(x)=2x+3,则f(8)=__7__.-2≤x≤0时,f(x)=__2x+9__.‎ ‎[解析] 因为f(x)是周期为3的函数,所以f(8)=f(2)=2×2+3=7.当-2≤x≤0时,f(x)=f(x+3)=2(x+3)+3=2x+9.‎ ‎13.已知定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f()=0,则f(x)>0的解集为 (-,0)∪(,+∞).‎ ‎[解析] 由已知可造构y=f(x)的示意图象,‎ 所以f(x)>0的解集为(-,0)∪(,+∞).‎ ‎14.(2018·课标全国Ⅲ,16)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=‎ - 5 -‎ ‎__-2__.‎ ‎[解析] 本题考查函数的奇偶性.‎ 易知f(x)的定义域为R,‎ 令g(x)=ln(-x),则g(x)+g(-x)=0,‎ ‎∴g(x)为奇函数,∴f(a)+f(-a)=2,‎ 又f(a)=4,∴f(-a)=-2.‎ B组能力提升 ‎1.(多选题)(2020·陕西西安中学模拟改编)设f(x)-x2=g(x),若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可能为( BC )‎ A.g(x)=x3   B.g(x)=cos x C.g(x)=x2+1   D.g(x)=xex ‎[解析] 因为f(x)=x2+g(x),且f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B、C中的函数为偶函数,故选B、C.‎ ‎2.(2020·吉林长春月考)已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=( C )‎ A.  B.- ‎ C.  D.- ‎[解析] 根据题意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=.故选C.‎ ‎3.(2020·黑龙江哈尔滨六中高三月考)若f(x)=ex-ae-x为奇函数,则f(x-1)f(2-)>f(2-)‎ - 5 -‎ B.f(log3)>f(2-)>f(2-)‎ C.f(2-)>f(2-)>f(log3)‎ D.f(2-)>f(2-)>f(log3)‎ ‎[解析] ∵f(x)是定义域为R的偶函数,‎ ‎∴f(-x)=f(x).‎ ‎∴f(log3)=f(-log34)=f(log34).‎ ‎∵log34>log33=1,且1>2->2->0,‎ ‎∴log34>2->2->0.‎ ‎∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ ‎∴f(2-)>f(2-)>f(log34)=f(log3).故选C.‎ ‎5.(2020·河北省“五个一名校联盟”高三)已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),若当x∈(-1,1)时,f(x)=lg ,且f(2 018-a)=1,则实数a的值可以是( A )‎ A.  B. ‎ C.-  D.- ‎[解析] ∵f(x+1)=f(1-x),∴f(x)=f(2-x),又函数f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(-x)=-f(2-x),∴f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)为周期函数,周期为4.当x∈(-1,1)时,令f(x)=lg =1,得x=,又f(2 018-a)=f(2-a)=f(a),∴a可以是,故选A.‎ - 5 -‎
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