2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6讲指数式与指数函数课件

2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6讲指数式与指数函数课件

第 6 讲　指数式与指数函数 课标要求 考情风向标 1. 通过具体实例 ( 如细胞的分裂，考古中 所用的碳 14 的衰减，药物在人体内残留 量的变 化等 ) ，了解指数函数模型的实际 背景 . 2. 理解有理指数幂的含义，通过具体实例 了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 . 3. 理解指数函数的概念和意义，能借助计 算器或计算机画出具体指数函数的图 象，探索并理解指数函数的单调性与特 殊点 . 4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指 数函数是一类重要的函数模型 1. 熟练掌握指数的运算是学 好该部分知识的基础，较高 的运算能力是高考得分的 保障，所以熟练掌握这一基 本技能是重中之重 . 2. 本节复习，还应结合具体 实例了解指数函数的模型， 利用图象掌握指数函数的 性质 . 重点解决： (1) 指数幂 的运算； (2) 指数函数的图象 与性质 正分数 指数幂 正数的正分 数指数幂 0 的正分数 指数幂 0 1. 分数指数幂 负分数 指数幂 正数的负分 数指数幂 0 的负分数 指数幂 没有意义 有理数指 数幂的运 算性质 (1) a r a s ＝ ________( a >0 ， r ， s ∈ Q ). (2)( a r ) s ＝ a rs ( a >0 ， r ， s ∈ Q ). (3)( ab ) r ＝ ________( a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， r ∈ Q ) ( 续表 ) a r ＋ s a r b r 指数函数 y ＝ a x ( a >1) y ＝ a x (0< a <1) 图象 定义域 R R 值域 (0 ，＋∞ ) (0 ，＋∞ ) 定点 过定点 (0,1) 过定点 ________ 单调性 在 R 上是 增函数 在 R 上是 ________ 性质 当 x ＞ 0 时， y ＞ 1 ； 当 x ＜ 0 时， 0 ＜ y ＜ 1 当 x ＞ 0 时， ________ ； 当 x ＜ 0 时， ________ 2. 指数函数的图象与性质 0 ＜ y ＜ 1 y ＞ 1 (0,1) 减函数 ) 1. 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 ( A. 关于原点对称 C. 关于 x 轴对称 B. 关于直线 y ＝ x 对称 D. 关于 y 轴对称 C D A B C D D 4. 已知 0< a <1 ， x > y >1 ，则下列各式中正确的是 ( ) B A. x a < y a 　　 B. a x < a y 　　　 C . a x > a y 　　 D. a x > y a 考点 1 指数幂运算 例 1 ：计 算： 思维点拨： 根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算 . 【 规律方法 】 因为幂的运算性质都是以指数式的形式给出 的，所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时，要先将 含有根号和分数指数幂 . 考点 2 　 指数函数的图象 A.(16,32) C.(17,33) B.(18,34) D.(6,7) 图 D4 答案： C (2) 已知实数 a ， b 满足等式 2018 a ＝ 2019 b ，下列五个关系式： ① 0< b < a ；② a < b <0 ；③ 0< a < b ；④ b < a <0 ；⑤ a ＝ b . 其中不可能 ) 成立的关系式有 ( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 解析： 在同一坐标系下画出 y ＝ 2018 x 与 y ＝ 2019 x 的图象， 如图 D5 ，结合 图象可知①②⑤正确， ∴ 不可能成立的有 2 个，选 B. 图 D5 答案： B (3) (2018 年湖北黄冈质检 ) 函数 y ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) 与 y ＝ x b ) 的图象如图 2-6-1 ，则下列不等式一定成立的是 ( 图 2-6-1 A. b a >0 C. ab >1 B. a ＋ b >0 D.log a 2> b 解析： 由图可知， y ＝ a x 单调递增，则 a >1 ； y ＝ x b 单调递减， 则 b <0. A ： b a >0 不一定成立，如 a ＝ 3 ， b ＝－ 1 ； B ： a ＋ b >0 不一定成立，如 a ＝ 2 ， b ＝－ 3 ； C ： ab >1 不成立；故选 D. 答案： D 【 规律方法 】 实数 a ， b 满足等式 2018 a ＝ 2019 b ，就是要判 断在同一平面直角坐标系中函数 y ＝ 2018 x ， y ＝ 2019 x 的函数值 何时相等，利用两个函数的图象与直线 y ＝ m 的交点来判断 . 考点 3 　 指数函数的性质及应用 答案： D 答案： B 答案： B 【 规律方法 】 本题以分段函数为切入点，深入考查了同学 们对函数概念的理解与掌握，同时也考查了同学们对指数函数 性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点 的综合题 . 【 跟踪训练 】 A. 是奇函数，且在 R 上是增函数 B. 是偶函数，且在 R 上是增函数 C. 是奇函数，且在 R 上是减函数 D. 是偶函数，且在 R 上是减函数 答案： A 思想与方法 ⊙ 分类讨论与数形结合思想的应用 例题： (1) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| － a ，若存在实数 x 1 ， x 2 ( x 1 ≠ x 2 ) ，使得 f ( x 1 ) ＝ f ( x 2 ) ＝－ 1 ，则 a 的取值范围是 ________. 解析： 令 f ( x ) ＝－ 1 ， 则 |2 x － 1| ＝ a － 1. 据题意，直线 y ＝ a － 1 与函数 y ＝ |2 x － 1| 的图象有两个不同的交点，由图可知， 0 ＜ a － 1 ＜ 1 ，即 1 ＜ a ＜ 2. 答案： (1,2) (2) 若关于 x 的方程 | a x － 1| ＝ 2 a ( a >0 ，且 a ≠1) 有两个不相等 的实根，则实数 a 的取值范围是 ( A.(0,1)∪(1 ，＋∞ ) ) B.(0,1) (1) (2) 图 2-6-2 答案： D 【 规律方法 】 (1) 在指数函数解 析式中，必须时刻注意底数 a >0 ，且 a ≠1 ，对于指数函数的底数 a ，在不清楚其取值范围时， 应运用分类讨论的数学思想，分 a >1 和 0< a <1 两种情况进行讨 论，以便确定其性质 . (2) 一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指 数型函数图象，运用数形结合的思想求解 . 画指数函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠1) 的图象，应抓住三个关键点： (1 ， a ) ， (0,1) ， ，再 利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换 得到其他图象 . 【 跟踪训练 】 2. 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| ， a < b < c ，且 f ( a )> f ( c )> f ( b ). (1) 则下列结论中，一定成立的是 ( 　　 ) 　　 A. a <0 ， b <0 ， c <0 B. a <0 ， b ≥ 0 ， c >0 C.2 － a <2 c D.2 a ＋ 2 c <2 (2) 若函数 f ( x ) 在 ( k － 1 ， k ＋ 1) 上不单调，则 k 的取值范围是 _________. 解析： (1) 作出函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| 的图象 ( 如图 D6 中实线所 示 ) ，又 a < b < c ，且 f ( a )> f ( c )> f ( b ) ，结合图象知 f ( a )<1 ， a <0 ， c >0 ， ∴ 0<2 a <1,2 c >1 ， ∴ f ( a ) ＝ |2 a － 1| ＝ 1 － 2 a ， 图 D6 f ( c ) ＝ |2 c － 1| ＝ 2 c － 1. 又 f ( a )> f ( c ) ，即 1 － 2 a >2 c － 1 ， ∴ 2 a ＋ 2 c <2. (2) 由图可知 k － 1<0< k ＋ 1 ，解得－ 1< k <1. 答案： (1)D (2) － 1< k <1 1. 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因 此根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式再运算，依据为 要注意运算的顺序 . 2. 判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令 x ＝ 1 得到底数的值再进行比较 . 3. 比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相 同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数 相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小 . 4. 指数函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 ，且 a ≠1) 的单调性和底数 a 有关， 当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 . 5. 与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数 由哪些基本初等函数复合而成；而与其有关的最值问题，往往 转化为二次函数的最值问题 .