【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第八章第1讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第八章第1讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图学案

知识点 考纲下载 空间几何体的结构及三视图和直观图 ‎ 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．‎ ‎ 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．‎ ‎ 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ ‎ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)‎ 空间几何体的表面积与体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.‎ 空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎ 理解空间直线、平面位置关系的定义．‎ ‎ 了解可以作为推理依据的公理和定理．‎ ‎ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.‎ 空间中的平行关系 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.‎ 空间中的垂直关系 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.‎ 第1讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图 ‎1．空间几何体的结构特征 ‎(1)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台 ‎(2)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在直线 圆锥 直角三角形或等腰三角形 一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 ‎2.三视图 ‎(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．‎ ‎②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．‎ ‎3．直观图 ‎(1)画法：常用斜二测画法．‎ ‎(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)‎ ‎(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)‎ ‎(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　　)‎ ‎(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　)‎ ‎(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　)‎ ‎(6)菱形的直观图仍是菱形．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×‎ ‎ 下列说法正确的是(　　)‎ A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案：D ‎ 关于棱柱的下列说法错误的是(　　)‎ A．棱柱的侧棱都相等 B．棱柱的侧棱都平行 C．棱柱的两底面是全等的多边形 D．棱柱的侧面是全等的平行四边形 解析：选D.根据棱柱的结构特征可知选D.‎ ‎ 如图，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)‎ A．棱台　　　　　　 B.四棱柱 C．五棱柱 D．简单组合体 答案：C ‎ 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A．圆柱 B.圆锥 C．四面体 D．三棱柱 解析：选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.‎ ‎ (教材习题改编)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 解析：选 B.该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.‎ ‎　　　　　　空间几何体的结构特征 ‎[学生用书P120]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)给出下列几个命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；‎ ‎③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0　　　　　　　 B.1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)给出以下命题：‎ ‎①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0 B.1‎ C．2 D．3‎ ‎【解析】　(1)①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．‎ ‎(2)由圆台的定义可知①错误，②正确，对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 空间几何体概念辨析题的常用方法 ‎(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．‎ ‎(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．‎ ‎(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．下列说法正确的是(　　)‎ A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：选D.如图知，A不正确，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱椎一定不是六棱锥，故C错误，由定义知，D正确．‎ ‎2．给出下列四个命题：‎ ‎①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；‎ ‎②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；‎ ‎④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．‎ 其中错误的命题的序号是________．‎ 解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．‎ 答案：①②③④‎ ‎　　　　　　空间几何体的三视图(高频考点)‎ ‎[学生用书P121]‎ 空间几何体的三视图是每年高考的热点，可以单独考查，也常与表面积、体积综合考查．主要命题角度有：‎ ‎(1)已知几何体，识别三视图；‎ ‎(2)已知三视图，判断几何体；‎ ‎(3)已知几何体的某些视图，判断其他视图．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　已知几何体，识别三视图 ‎ 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)‎ A．①②⑥　　　　　 B.①②③‎ C．④⑤⑥ D．③④⑤‎ ‎【解析】 正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎ 角度二　已知三视图，判断几何体 ‎ (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥　　　　　 B.三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎(2)(2017·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)‎ A．3 B.2 C．2 D．2‎ ‎【解析】　(1)由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选B.‎ ‎(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥PABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝＝2.故选B.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B ‎ 角度三　已知几何体的某些视图，判断其他视图 ‎ (1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(　　)‎ ‎【解析】　(1)由几何体的直观图(如图)知选B.‎ ‎(2)‎ 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.‎ ‎【答案】 (1)B　(2)D 三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)‎ 解析：选C.过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形，故选C.‎ ‎2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是(　　)‎ A．圆柱 B.三棱柱 C．球 D．四棱柱 解析：选B.由已知中的三视图可得该几何体是三棱柱，故选B.‎ ‎3．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 解析：选B.由三视图的画法规则：长对正、高平齐、宽相等可知，选项B正确．‎ ‎　　　　　　空间几何体的直观图[学生用书P122]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C ‎′的面积为(　　)‎ A.a2　　　　　　　 B.a2‎ C.a2 D．a2‎ ‎(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)‎ A．正方形 B.矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎【解析】　(1)如图①②所示的实际图形和直观图，‎ 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D.‎ ‎(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.‎ 所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，故选C.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)C ‎(1)用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．‎ ‎(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系 对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S ‎′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′为△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(　　)‎ A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 解析：选C.由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．‎ ‎2.‎ 如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.‎ 解析：由题意知正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，‎ 所以OB＝ cm，对应原图形平行四边形的高为2 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.‎ 答案：8‎ ‎ 画三视图的三个原则 ‎(1)画法规则：“长对正，高平齐，宽相等”．‎ ‎(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．‎ ‎(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出．‎ ‎ 已知三视图，判断几何体的技巧 ‎(1)一般情况下，根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组合体．‎ ‎(2)根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置．‎ ‎(3)综合三个视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体．‎ ‎ 原图与直观图中的“三变”与“两不变”‎ ‎(1)“三变” ‎(2)“两不变” ‎ 学习本讲应注意的三个问题 ‎(1)台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．‎ ‎(2)空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．‎ ‎(3)对于简单组合体，若相邻两几何体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法． ‎ ‎[学生用书P297(单独成册)]‎ ‎1．(2017·沈阳市教学质量监测(一))‎ ‎“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是(　　)‎ 解析：选B.根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.‎ ‎2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)‎ 解析：选D.由俯视图是圆环可排除A、B、C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.‎ ‎3．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 解析：选D.根据几何体的结构特征进行分析即可．‎ ‎4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)‎ 解析：选D.A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.‎ ‎5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)‎ 解析：选C.由正视图和侧视图及体积易得几何体是四棱锥PABCD，其中ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，此时VPABCD＝×22×2＝，则俯视图为Rt△PAB，故选C.‎ ‎6.‎ 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．‎ 解析：直观图的面积S′＝×(1＋1＋)×＝.故原平面图形的面积S＝＝2＋.‎ 答案： 2＋ ‎7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.‎ 解析：‎ 如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.‎ 在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．‎ 所以AB＝＝13(cm)．‎ 答案：13‎ ‎8．已知正四棱锥VABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为________．‎ 解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥VABCD的高．因为底面面积为16，‎ 所以AO＝2.‎ 因为一条侧棱长为2，‎ 所以VO＝＝＝6.‎ 所以正四棱锥VABCD的高为6.‎ 答案：6‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示．‎ ‎(1)判断该几何体是什么几何体？‎ ‎(2)画出该几何体的直观图．‎ 解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体．‎ ‎(2)直观图如图所示．‎ ‎10．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图所示(单位：cm)．‎ ‎(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；‎ ‎(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．‎ 解：(1)如图．‎ ‎(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥 ‎＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3)．‎ ‎1．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(　　)‎ 解析：选C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C.‎ ‎2．(2018·兰州适应性考试)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥PBCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为(　　)‎ A．1　　　　　　　 B. C. D．2‎ 解析：选D.正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a，则S正视图＝×a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a2，所以的最大值为＝2，故选D.‎ ‎3．某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为(　　)‎ A. B.6＋ C.＋3 D．4 解析：选A.侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为，高为，其面积为××＝，所以侧视图的面积为6＋＝.‎ ‎4．如图是一个几何体的三视图，‎ 则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是________．‎ 解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF、DC最长且DC＝AF＝＝3.‎ 答案：3 ‎5．如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，如图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．‎ ‎(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；‎ ‎(2)求PA.‎ 解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.‎ 俯视图 ‎(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6 (cm)．　‎ 由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，‎ 所以在Rt△APD中，‎ PA＝＝　＝6 (cm)．‎ ‎6．已知正三棱锥VABC的正视图和俯视图如图所示．‎ ‎(1)画出该三棱锥的直观图和侧视图．‎ ‎(2)求出侧视图的面积．‎ 解：(1)如图．‎ ‎(2)侧视图中 VA＝ ‎＝＝2.‎ 则S△VBC＝×2×2＝6.‎