【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第24讲学案
第24讲 正弦定理、余弦定理
考试要求 1.正弦定理、余弦定理(B级要求)；2.运用定理解决解三角形问题(B级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.( )
(5)在△ABC中，＝.( )
(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( )
解析 (2)△ABC中，sin A>sin B，结合＝＝2R得a>b，故A>B.
(5)△ABC中，＝＝＝2R，
故＝＝2R＝.
(6)已知两边和一角，就能由余弦定理或正弦定理解出这个三角形的其它角与边，故据面积公式S△ABC＝absin C即可求三角形的面积.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√
2.(教材改编)在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC＝________.
解析 ∵b＝＝＝＋，
∵S△ABC＝absin C＝(＋)×＝＋1.
答案 ＋1
3.(2017·苏、锡、常、镇调研二)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，
c，若满足2bcos A＝2c－a，则角B的大小是________.
解析 由余弦定理，2bcos A＝2c－a，
即2b·＝2c－a，
∴b2＋c2－a2＝2c2－ac，
即a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
答案
4.(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为3，则BC的长是________.
解析 因为b＝4，c＝3，由S△ABC＝bcsin A＝6sin A＝3，解得sin A＝.
因为是在锐角三角形ABC中，所以cos A＝＝.在锐角三角形ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋9－2×4×3×＝13，所以a＝，即BC＝.
答案
5.(2018·淮安质检)已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于________.
解析 由正弦定理得sin B＝2sin A·cos B，故tan B＝2sin A＝2sin＝，
又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC
＝bcsin A＝×1×1×＝.
答案
知 识 梳 理
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝cos A＝；
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin__B＝bcsin__A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例1】 (2018·连云港、徐州、宿迁调研)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos∠ACB＝，BC＝13.
(1)求cos B的值；
(2)求CD的长.
解 (1)在△ABC中，cos A＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝＝.
同理可得sin∠ACB＝.
所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)
＝sin Asin ∠ACB－cos Acos∠ACB
＝×－×＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理得AB＝sin∠ACB＝×＝20，
又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.
在△BCD中，由余弦定理得，
CD＝
＝＝9.
规律方法 应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解.
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解.
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
【训练1】 (1)(2018·扬州中 模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝________.
(2)(2018·南京、盐城调研)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则c＝________.
解析 (1)a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).
(2)因为cos B＝，所以B∈，
从而sin B＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin AcosB＋cos Asin B＝×＋×＝，
又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7.
答案 (1)4 (2)7
考点二 与三角形面积有关的问题
【例2】 (2018·南通模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab.
(1)求角C的大小；
(2)(一题多解)若c＝2acos B，b＝2，求△ABC的面积.
解 (1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得＝－，即cos C＝－.
因为00，
∴sin A＝1，即A＝.
答案 直角三角形
【迁移探究1】 (一题多解)将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是________.
解析 法一 由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π0)，
由余弦定理可得
cos C＝＝＝－<0，
又∵C∈(0，π)，∴C∈，
∴△ABC为钝角三角形.
答案 钝角三角形
【迁移探究3】 (一题多解)将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，试确定△ABC的形状.
解 法一 利用边的关系来判断：
由正弦定理得＝，
由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.
又由余弦定理得cos A＝，
∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.
又∵a2＋b2－c2＝ab.
∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，
∴b＝c，∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形.
法二 利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，
∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0，
又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.
又由a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝＝，
又0°0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由3sin A＝5sin B及正弦定理得3a＝5b，
故a＝b，c＝b.
所以cos C＝＝－，
即C＝π.
从而△ABC为钝角三角形.
答案 (1)钝角 (2)钝角
一、必做题
1.(2018·启东中 高三月考)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tan B＝，则sin B的值是________.
解析 因为cos B＝，
所以5tan B＝＝＝，
所以5sin B＝3，所以sin B＝.
答案
2.(2018·常州一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsin A，则角C＝________.
解析 根据余弦定理，有b2＋c2－2bccos A＝3b2＋3c2－2bcsin A，整理得b2＋c
2＝2bcsin.又因为b2＋c2≥2bc，所以2bcsin≥2bc，sin≥1，即sin＝1，所以在△ABC中，b＝c，且A＝，所以C＝.
答案
3.(2018·盐城模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为________三角形.
解析 由bcos C＋ccos B＝asin A，
得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin A＝sin2A，在三角形中sin A≠0，
∴sin A＝1，∴A＝90°，
由sin2B＝sin2C，知b＝c，
综上可知，△ABC为等腰直角三角形.
答案 等腰直角
4.(2018·连云港模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________.
解析 ∵b＝2，B＝，C＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝2，
A＝π－＝π，
∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin
＝.
则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.
答案 ＋1
5.(2017·江苏押题卷)在△ABC中，D、E为边BC上的点， 若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，B＝，BD∶DE＝2∶3，则tan∠BAC的值为________.
解析 设∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝θ，BD＝2k，DE＝3k(k>0)，由题设可得
tan θ＝，tan 2θ＝＝，则＝，
解之得tan θ＝，
所以tan 2θ＝tan θ＝，
故tan∠BAC＝tan 3θ＝tan(θ＋2θ)＝＝.
答案
6.(2018·海门中 情调研)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2－ac，设∠BAC的平分线AD交BC于点D，AD＝2，BD＝1，则cos C＝________.
解析 因为a2＋c2＝b2－ac，
所以cos B＝＝－＝－.
因为B∈(0，π)，所以B＝π.
如图，在△ABD中，由正弦定理得＝，
得sin∠BAD＝＝
＝，
所以cos∠BAC＝cos2∠BAD＝1－2sin2∠BAD＝1－2×＝，
所以sin∠BAC＝＝
＝，
所以cos C＝cos
＝cos cos∠BAC＋sin sin∠BAC
＝×＋×
＝.
答案
7.(2018·江苏联盟大联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________.
解析 在△ABC中，因为3acos C＋b＝0，所以C为钝角，利用正弦定理可得
3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0，即3sin Acos C＋sin AcosC＋cos Asin C＝0，所以
4sin Acos C＝－cos Asin C，即tan C＝－4tan A.
因为tan A>0，
则tan B＝－tan(A＋C)＝－
＝＝
＝≤＝，
当且仅当tan A＝时取等号，故tan B的最大值是.
答案
8.(2018·江苏联盟大联考)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－a＝2acos B，则的取值范围是________.
解析 由正弦定理得sin C－sin A＝2sin Acos B，即sin(A＋B)－sin A＝2sin Acos B，sin A＝sin(B－A)，
由锐角三角形ABC得A＝B－A，B＝2A，且由00，sin C>0，所以cos C＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为C＝，所以B∈，
所以B－∈，
又sin＝，
所以cos＝＝.
又A＋B＝，即A＝－B，
所以sin A＝sin＝sin
＝sin cos－cos sin
＝×－×＝.
10.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝.
(1)(一题多解)求边c的长；
(2)求角B的大小.
解 (1)法一 在△ABC中，由余弦定理，
acos B＝3，则a＝3，得a2＋c2－b2＝6c；①
bcos A＝1，则b＝1，得b2＋c2－a2＝2c，②
①＋②得：2c2＝8c，c＝4.
法二 因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则sin AcosB＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
由＝＝得：sin A＝，sin B＝，代入上式得：
c＝acos B＋bcos A＝3＋1＝4.
(2)由正弦定理得＝＝＝3，
又tan(A－B)＝＝＝，
解得tan B＝，B∈(0，π)，B＝.
二、选做题
11.(2017·江苏联盟大联考)已知函数f(x)＝4cos xsin
＋a的最大值为2.
(1)求a的值及函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，若A
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