2021年中考数学专题复习 专题42 中考数学史类试题解法（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题42 中考数学史类试题解法（教师版含解析）

专题 42 中考数学史类试题解法 初中阶段了解一些著名的中外数学家的事迹及其贡献，可以激发学生学习数学的积极性和主动性，通 过学习数学家研究问题的思想，提升学生数学观念、科学思维、科学探究、科学态度等核心素养的是十分 重要的举措。 1.秦九韶 秦九韶(1208 年－1261 年)南宋官员、数学家.著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和 秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。他在 1247 年著成《数书九章》十八卷．全书共 81 道题，分为九 大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。在世界数学史上 占有崇高的地位。 2.杨辉 杨辉，字谦光，中国南宋(1127～1279)末年钱塘(今杭州市)人。其生卒年月及生平事迹均无从详考。 据有关著述中的字句推测，杨辉大约于 13 世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过 苏州、台州等地。是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。 杨辉一生编写的数学书很多，被称为《杨辉算法》。杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍， 引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增 乘开方法”与“开方作法本源”图(即误传为“杨辉三角”)，就是极其宝贵的数学史料。 3.刘徽 三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。他是魏晋时代山 东邹平人。终生未做官。他在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》， 是我国最宝贵的数学遗产。《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联 立方程，分数四则运算，正负数运算，几 何 图 形 的 体 积 面 积 计 算 等 ， 都属于世界先进之列，但因解法 比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并 用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则改进 了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和 圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14 的结果。 4.祖冲之 祖冲之(公元429-500年)是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的 书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．祖冲之在数学上的杰出成 就，是关于圆周率的计算。祖冲之在前人成就的基础上，求出π在3.1415926与3.1415927之间．祖冲之还 与他的儿子祖暅(也是我国著名的数学家)一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一 条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的 平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原 理， 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称 这原理为"祖暅原理"． 5.欧拉 欧拉( 公元 1707-1783 年)渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他 从 19 岁开始发表论文，直到 76 岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到今几乎每一个数学领 域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四 次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程， 复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他 对 数 学 分 析 的 贡 献 更 独 具 匠 心 ，《无穷小分析引论》一书 便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"。对数论、代数、无穷级数、函数概念、初 等函数、单复变函、微积分学、微分方程、变分法、几何学都有极高的研究成果。欧拉还创设了许多数学 符号，例如π(1736 年)，i(1777 年)，e(1748 年)，sin 和 cos(1748 年)，tg(1753 年)，△x(1755 年)，Σ (1755 年)，f(x)(1734 年)等． 6.毕达 哥拉斯 在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯(约公元前580-前500)的影响是最大的。毕达哥拉斯定理(即勾 股定理)是毕达哥拉斯的一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了 毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起 到了巨大的促进作用。 7.埃拉托色尼(约公元前275—前194) 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275 —前194)。埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲 学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。 细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约 800 公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可 以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却 有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是 圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等 于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出 地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为 7 度，是地球圆周角(360 度)的五十分之一，由此推算地球的周长 大约为 4 万公里，这与实际地球周长(40076 公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为 1.47 亿公里， 和实际距离 1.49 亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 8.欧几里德 我们现在学习的几何学，是由古希腊数学家欧几里德(公无前 330—前 275)创立的。他在公元前 300 年 编写的《几何原本》，2000 多年来都被看作学习几何的标准课本，所以称欧几里德为几何之父。欧几里德说： “在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。一次， 他的一个学生问他，学会几何学有什么好处?他幽默地对仆人说：“给他三个钱币，因为他想从学习中获取 实利。” 9.笛卡尔 法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔(1596—1650)，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国外避 难。他的著作生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“禁书目录”。但在今天，法国首都巴黎安 葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人 类争取并保证理性权利的人”。 笛卡尔的著作，《几何学》是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有 117 页，但它标志着代数与几何的 第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后 能轻而易举地找到答案. 他的主要著作都是在荷兰完成的，其中 1637 年出版的《方法论》一书成为哲学经 典。笛卡尔是解析几何的创始人。 10.牛顿 伊撒克·牛顿(1642~1727)于 1642 年 12 月 25 日出生在英国林肯郡沃尔斯索普村。 牛顿的《流数术》写于 1671 年。在这部影响深远的著作中，牛顿阐述了他的微积分的一些基本概念， 还有对代数方程或超越方程都适用的实根近似值求法。这种方法后来被称为牛顿法。牛顿从 1685 年至 1687 年，完成了巨著《自然科学的数学原理》第 1、2、3 册，由哈雷出资发表。这部著作的诞生立刻对整个欧 洲产生了巨大影响。这本书中，第一次有了地球和天体主要运动现象的完整的力学体系和完整的数学公式。 牛顿对自己的评价却十分谦虚：“我不知道世间把我看成什么样的人；但是对我来说，就像一个在海边 玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳，感到高兴，在我前面是完全没有被发现的 真理的大海洋。”他很尊重前人的成果，他说如果他比别人看得远些，那只是由于站在巨人肩上的原故。 11.高斯 十八、十九世纪之交，德国产生了一位伟大的数学家，他就是人称“数学王子”的高斯(1777～1855)。 高斯在上小学的时候，有一次数学老师出了个题目，1+2+…+ 100=？由于看出 1+100=101，2+99=101，…， 50+51=101 共 50 个 101，因而高斯立刻答出了 5050 的结果，此举令老师称赞不已。 对数学的痴迷，加上勤奋的学习，18 岁时高斯发明了用圆规和直尺作正 17 边形的方法，从而解决了 2000 年来悬而未解的难题。他 21 岁大学毕业，22 岁获博士学位。他在博士论文中证明了代数基本定理， 即一元 n 次方程在复数范围内一定有根。在几何方面，高斯是非欧几何的发明人之一。高斯最重要的贡献 还是在数论上，他的伟大著作《算术研究》标志着数论成为独立的数学分支学科的开始，而且这本书所讨 论的内容成为直到 20 世纪数论研究的方向。高斯首先使用了同余记号，并系统而深入地阐述了同余式的理 论；他证明了数论中的重要结果二次互反律等。高斯去世后，人们建立了以正 17 边形棱柱为基座的高斯像， 以纪念这位伟大的数学家。 12.莱布尼茨 德国有一位被世人誉为“万能大师”的通才，他就是莱布尼茨 (1646～1716)，他在数学 逻辑学、文学、史学和法学等方面都很有建树。在 20 岁时就写出了《论组合的技巧》的论文，创立了关于 “普遍特征”的“通用代数”，即数理逻辑的新思想。 莱布尼茨还与英国数学家、大物理学家牛顿分别独立地创立了微积分学。今天的积分号∫(拉长的字母 S)、微分号 d 都是莱布尼茨首先使用的。值得一提的是，他发明了能做乘法、除法的机械式计算机(十进制)， 并首先系统研究了二进制记数方法，这对于现代计算机的发明至关重要。1716 年 11 月 14 日，莱布尼茨卒 于汉诺威。 13.费马 17 世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601 —1665)。这道题是这样的：当 n>2 时，xn+yn=zn 没有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。为了获得 它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但 是 300 多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能证明：当 n 小 于等于 4100 万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布结果， 于是留下数学难题中少有的千古之谜。费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作 曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于 整数的理论——数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为 古典概率论的奠基人之一。 【例题 1】(2020•临沂)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题， 原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每 辆车乘坐 3 人，则空余两辆车；若每辆车乘坐 2 人，则有 9 人步行．问人与车各多少？设有 x 人，y 辆车， 可列方程组为( ) A． t h h 㐵 t B． t 䁕 䁕㐵 t C． t h 䁕㐵 t D． t 䁕 䁕 㐵 t 【答案】B 【分析】根据“每辆车乘坐 3 人，则空余两辆车；若每辆车乘坐 2 人，则有 9 人步行”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解析】依题意，得： t 䁕 䁕㐵 t ． 【对点练习】(2020•福建)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去 买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文．如 果每株椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多 少株椽？设这批椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是( ) A．3(x﹣1) B． 䁕 3 C．3x﹣1 D． 3 【答案】A 【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解． 【解析】依题意，得：3(x﹣1) ． 【例题 2】(2020•枣庄)欧拉(Euler，1707 年～1783 年)为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物 理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数 V(Vertex)、棱数 E(Edge)、面数 F(Flatsurface)之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 V 4 6 8 棱数 E 6 12 面数 F 4 5 8 (2)分析表中的数据，你能发现 V、E、F 之间有什么关系吗？请写出关系式： ． 【答案】6，9，12，6，V+F﹣E＝2． 【分析】(1)根据图形数出顶点数，棱数，面数，填入表格即可； (2)根据表格数据，顶点数与面数的和减去棱数等于 2 进行解答． 【解析】(1)填表如下： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数 V 4 6 8 6 棱数 E 6 9 12 12 面数 F 4 5 6 8 (2)∵4+4﹣6＝2， 6+5﹣9＝2， 8+6﹣12＝2， 6+8﹣12＝2， …， ∴V+F﹣E＝2． 即 V、E、F 之间的关系式为：V+F﹣E＝2． 【对点练习】(2019 宁夏)你知道吗， 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 x2+5x﹣14＝0 即 x(x+5)＝14 为例加以说明．数学家赵爽(公元 3～4 世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中 记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x+x+5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间 小正方形的面积，即 4×14+52，据此易得 x＝2．那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为 1 的小 正方形网格格点上)中，能够说明方程 x2﹣4x﹣12＝0 的正确构图是 ．(只填序号) 【答案】②． 【解析】∵x2﹣4x﹣12＝0 即 x(x﹣4)＝12， ∴构造如图②中大正方形的面积是(x+x﹣4)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×12+42， 据此易得 x＝6． 【例题 3】(2020•泸州)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题： 点 G 将一线段 MN 分为两线段 MG，GN，使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较短的一段 GN 的比例中项，即 满足 䁕 ，后人把 䁕 这个数称为“黄金分割”数，把点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点．如图， 在△ABC 中，已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若 D，E 是边 BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为( ) A．10﹣4 B．3 䁕 5 C． 䁕 D．20﹣8 【分析】作 AH⊥BC 于 H，如图，根据等腰三角形的性质得到 BH＝CH BC＝2，则根据勾股定理可计算出 AH ，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到 BE 䁕 BC＝2 䁕 2，则计算出 HE＝2 䁕 4，然 后根据三角形面积公式计算． 【解析】作 AH⊥BC 于 H，如图， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH BC＝2， 在 Rt△ABH 中，AH 䁕 ， ∵D，E 是边 BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE 䁕 BC＝2( 䁕 1)＝2 䁕 2， ∴HE＝BE﹣BH＝2 䁕 2﹣2＝2 䁕 4， ∴DE＝2HE＝4 䁕 8 ∴S△ADE ×(4 䁕 8)× 10﹣4 ． 故选：A． 【对点练习】(2020•嘉兴)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分 10 元钱，每人分得 若干；若再加上 6 人，平分 40 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分 钱的人数为 x 人，则可列方程 ． 【答案】 h ． 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论． 【解析】根据题意得， h ， 故答案为： h ． 一、选择题 1．(2020•襄阳)我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已 知 3 匹小马能拉 1 片瓦，1 匹大马能拉 3 片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有 x 匹，大马有 y 匹， 则下列方程组中正确的是( ) A． h t t B． h t t C． h t h t D． h t t h 【答案】C 【分析】根据“3 匹小马能拉 1 片瓦，1 匹大马能拉 3 片瓦”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题 得解． 【解析】根据题意可得： h t h t ， 2．(2020•宁波)我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸； 屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折 再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为( ) A． t h ൅ ൅t 䁕 B． t h ൅ t 䁕 C． t 䁕 ൅ ൅t h D． t 䁕 ൅ t 䁕 【答案】A 【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5； 绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案． 【解析】设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，那么可列方程组为： t h ൅ ൅t 䁕 ． 3．(2020•绥化)“十•一”国庆期间，学校组织 466 名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了 49 座和 37 座两种客车共 10 辆，刚好坐满，设 49 座客车 x 辆，37 座客车 y 辆．根据题意，得( ) A． h t 㐵 h ൅t B． h t ൅ h 㐵t C． h t 㐵 h ൅t D． h t ൅ h 㐵t 【答案】A 【分析】根据“准备了 49 座和 37 座两种客车共 10 辆，且 466 人刚好坐满”，即可得出关于 x，y 的二元一 次方程组，此题得解． 【解析】依题意，得： h t 㐵 h ൅t ． 4．(2019 湖北襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊， 每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，所列 方程正确的是( ) A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． ＝ D． ＝ 【答案】B 【解析】设合伙人数为 x 人， 依题意，得：5x+45＝7x+3． 5．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的 有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” (a+b)0＝1 (a+b)1＝a+b (a+b)2＝a2+2ab+b2 (a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则(a+b)9 展开式中所有项的系数和是( ) A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C． 【解析】由“杨辉三角”的规律可知，(a+b)9 展开式中所有项的系数和为(1+1)9＝29＝512 6．中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪 和照板来测量距离．在如图所示的测量距离 AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF．观测者的眼睛(图 中用点 C 表示)与 BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断． ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴ ＝ ＝ ，故选：B． 7.“ 算 经 十 书 ” 是 指汉 唐 一 千 多 年 间 的十部 著 名 数 学 著 作 ， 它们 曾 经 是 隋 唐 时 期国 子 监 算 学 科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中，不属于 我 国 古 代 数 学 著 作 的是( ) A.《 九 章 算 术 》 B. 《 几 何 原 本 》 C. 《海岛算经》 D. 《周髀算经》 【 答 案 】B 【 解 析 】 考 点 是 数 学 史 。《几何原本》的作者是欧几里得。我们现在学习的几何学，是由古希腊数 学家欧几里德(公无前 330—前 275)创立的。他在公元前 300 年编写的《几何原本》，2000 多年来都被看作 学习几何的标准课本，所以称欧几里德为几何之父。 二、填空题 8．(2020•上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的 木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB＝1.6 米，BD ＝1 米，BE＝0.2 米，那么井深 AC 为 米． 【解析】7． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴BD∥AC， ∴△ACE∽△BDE， ∴ ， ∴ ൅ ൅ ， ∴AC＝7(米)， 答：井深 AC 为 7 米． 9．(2020•常州)数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西， 互相以长补短．在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系 xOy，使得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点 C 的坐标是 ． 【答案】(2， )． 【分析】根据直角三角形的性质可得 OA 和 OD 的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案． 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形，且 AB＝2， ∴CD＝AD＝AB＝2， ∵∠DAB＝120°， ∴∠OAD＝60°， Rt△AOD 中，∠ADO＝30°， ∴OA AD × 1，OD 䁕 ， ∴C(2， ) 10.“阿基米德在数学上也有着极为光辉灿烂的成就,特别是在几何学方面。阿基米德还利用割圆法求得 _____的值介于 3.14163 和 3.14286 之间。 【答案】π(或者填圆周率) 【解析】“阿基米德在数学上也有着极为光辉灿烂的成就,特别是在几何学方面。他利用“逼近法”算出球 面积、球体积、抛物线、椭圆面积,后世的数学家依据这样的“逼近法”加以发展成近代的“微积分”。阿 基米德还利用割圆法求得π的值介于 3.14163 和 3.14286 之间。另外他算出球的表面积是其内接最大圆面 积的四倍,又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,这个定理就刻在他的墓碑上。 11．(2019 湖北咸宁)《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之， 不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木条， 木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，可列方程组为 ． 【答案】 ． 【解析】设木条长 x 尺，绳子长 y 尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于 x，y 的二元一次方程组， 此题得解． 设木条长 x 尺，绳子长 y 尺， 依题意，得： ． 12.“阿基米德在_____上也有着极为光辉灿烂的成就, 比如：他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四 倍,又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,这个定理就刻在他的墓碑上。 【答案】数学 【解析】因为球的表面积是其内接最大圆面积的四倍,又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二, 这样的结论是数学领域的问题。 13.在数学上，_____发明了微积分。他也证明了广义二项式定理，提出了"牛顿法"以趋近函数的零点，并 为幂级数的研究做出了贡献。 【答案】牛顿 【解析】在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义 二项式定理，提出了"牛顿法"以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。 14.对______的研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、、复变函数和等方面都做出了开创性的贡献。他 还把数学应用于天文学、和磁学的研究。 【答案】数学 【解析】高斯的数论研究 总结 在 (1801)中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代 之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性 证明开创了数学研究的新途径。在 1816 年左右就得到的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概 念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。1828 年高斯出版了，全面系统地阐述了空间曲面的学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由发展。 高 斯一生共发表 155 篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作 还有和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。 15．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步， 只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 【答案】12． 【解析】设长为 x 步，宽为(60﹣x)步， x(60﹣x)＝864， 解得，x1＝36，x2＝24(舍去)， ∴当 x＝36 时，60﹣x＝24， ∴长比宽多：36﹣24＝12(步)。 16．(2019 湖南邵阳)公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图， 设勾 a=6，弦 c=10，则小正方形 ABCD 的面积是____. 【答案】4 【解析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． ∵勾 a＝6，弦 c＝10， ∴股＝ ＝8， ∴小正方形的边长＝8﹣6＝2， ∴小正方形的面积＝22＝4 17．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图 中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为 2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖 落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 ． 【解析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．设两直角边分别 是 2x，3x，则斜边即大正方形的边长为 x，小正方形边长为 x， 所以 S 大正方形=13x2，S 小正方形=x2，S 阴影=12x2， 则针尖落在阴影区域的概率为 = ． 18.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边 的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复 原了《海岛算经》九题古证． (以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》) 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：S 矩形 NFGD=S△ADC﹣(S△ANF+S△FGC)，S 矩形 EBMF=S△ABC﹣( + )． 易知，S△ADC=S△ABC， = ， = ． 可得 S 矩形 NFGD=S 矩形 EBMF． 【答案】 S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF，S△FGC，S△FMC． 【解析】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性 质，属于中考常考题型．根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结 论． 证明：S 矩形 NFGD=S△ADC﹣(S△ANF+S△FGC)，S 矩形 EBMF=S△ABC﹣( S△ANF+S△FCM)． 易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC， 可得 S 矩形 NFGD=S 矩形 EBMF． 9.比较大小(填" " ，" " ，或" " ) 5 1 2  ________ 5 8 【答案】：< 【解析】： 5 1 2  为黄金数，约等于 0.618， 5 0.6258  ，显然前者小于后者。 或者作差法： 5 1 5 4 5 9 80 81 02 8 8 8       ，所以，前者小于后者。 19．古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算 a399+a400= ． 【答案】1.6×105 或 160000． 【解析】本题考查的是规律发现，根据计算 a1+a2，a2+a3，a3+a4 的值可以发现规律为 ， 发现规律是解决本题的关键． ∵ ； ； ； … ∴ ； ∴ ． 故答案为 1.6×105 或 160000 均可。 20．请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)： 根据前面各式的规律，则(a+b)6= ． 【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 【解析】此题考查数字的规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是 应该具备的基本能力． 通过观察可以看出(a+b)6 的展开式为 6 次 7 项式，a 的次数按降幂排列，b 的次数按升幂排列，各项系数分 别为 1、6、15、20、15、6、1． (a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 21.“皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为 12 bS a   ，孔明只记得公式 中的 S 表示多边形的面积， a 和b 中有一个表示多边形那边上(含原点)的整点个数，另一个表示多边形内 部的整点的个数，但不记得究竟是 a 还是b 表示多边形内部的整点的个数，请你选择一些特殊的多边形(如 图 1)进行验证，得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是 ；并运用这个公式求得如图 2 中多边 形的面积是 。 【答案】 a; 17.5 【解析】由图 1 的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为 8，里面的点为 1； 由公式 12 bS a   可知，b 为偶数，故 8b  ， 1a  ，即 b 为边上整点的个数， a 为形内的整点的个数； 利用矩形面积进行验证： 10b  ， 2a  ，代入公式 12 bS a   ＝6； 利用长×宽也可以算出＝6，验证正确。 图 2 可知，利用数出公式中的 7, 15b a  ，代入公式求得 S＝17.5 22.(2019•湖北孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的 内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积 S1 来近似估计⊙O 的面积 S，设⊙O 的半径为 1，则 S﹣S1＝ ． 【答案】0.14． 【解析】根据圆的面积公式得到⊙O 的面积 S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积 S1＝12× ×1×1× sin30°＝3，即可得到结论． ∵⊙O 的半径为 1， ∴⊙O 的面积 S＝3.14， ∴圆的内接正十二边形的中心角为 ＝30°， ∴圆的内接正十二边形的面积 S1＝12× ×1×1×sin30°＝3， ∴则 S﹣S1＝0.14 三、解答题 23.(2019 安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图 1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用 图画描绘了筒车的工作原理．如图 2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 O 为圆心的圆．已知圆心在水面上方， 且圆被水面截得的弦 AB 长为 6 米，∠OAB＝41.3°，若点 C 为运行轨道的最高点(C，O 的连线垂直于 AB)， 求点 C 到弦 AB 所在直线的距离． (参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88) 【解答】解：连接 CO 并延长，与 AB 交于点 D， ∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝ AB＝3(米)， 在 Rt△AOD 中，∠OAB＝41.3°， ∴cos41.3°＝ ，即 OA＝ ＝ ＝4(米)， tan41.3°＝ ，即 OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64(米)， 则 CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64(米)．