2011数学中考压轴题解题策略含策略答案速度提高解题能力

2011数学中考压轴题解题策略含策略答案速度提高解题能力

中考压轴题解题策略 一、动态问题（动态问题拍个照，每个时刻表达到，分类讨论无重漏，综合答案不可少。）‎ x y D A C O P ‎3．（2010江西24）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P.‎ ‎（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）‎ ‎（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）△CDP的面积为S，求S关于m的关系式。‎ ‎【关键词】二次函数、图形的平移、等腰三角形、面积等 ‎【答案】解：（1）令-2x2+4x=0得x1=0，x2=2‎ ‎∴点A的坐标是（2，0），‎ ‎△PCA是等腰三角形，‎ ‎（2）存在。‎ OC=AD=m,OA=CD=2，‎ ‎（3）当02时，如图2‎ 作PH⊥x轴于H，设,‎ ‎∵A（2，0），C（m,0）,‎ ‎∴AC=m-2，∴AH=‎ ‎∴=OH= = ,‎ 把把=代入y=-2x2+4x，得 得, =‎ ‎∵CD=OA=2，‎ ‎∴．‎ ‎（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.‎ ‎⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；‎ ‎⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 ‎①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.‎ B E→ F→ C A D G ‎【答案】解：⑴ x，D点；‎ ‎⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；‎ ‎②分两种情况：‎ Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，‎ ‎△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，‎ ‎∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.‎ 由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，‎ 所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝.‎ Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，‎ ‎△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，‎ ‎∵EC＝6－x,‎ ‎∴y＝（6－x）2＝.‎ ‎⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，‎ ‎∴x＝2时，y最大＝；‎ 当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；‎ 当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，‎ ‎∴x＝3时，y最大＝.‎ B E C F A D G P H 图2‎ 综上所述：当x＝时，y最大＝.‎ B E F C A D G N M 图1‎ 二、等腰三角形（有两个定点一个动点）‎ ‎（两圆一线很给力，等腰三角一网灭，通常纵横各4点，六十特殊三合一。）‎ ‎1. 2如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C在x轴上，⑴若△ABC是等腰三角形，试求点C的坐标。⑵若点C在y轴上呢？试直接写出点C的坐标。（中）‎ 点C在x轴上（）（）（）（）‎ 点C在y轴上（0，6）（）（）（）‎ ‎2. (2010重庆市潼南县)如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.‎ 解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)‎ ‎∴‎ ‎ 解得： b=－ c=－1-------------------2分 ‎∴二次函数的解析式为 --------3分 ‎（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）‎ ‎∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得， --------------4分 ‎∴‎ ‎∴DE=-----------------------------------5分 ‎∴△CDE的面积=××m ‎==‎ 当m=1时，△CDE的面积最大 ‎∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分 ‎（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1‎ ‎∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）‎ 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ‎∴ 解得：k=-1 b=-1‎ ‎∴直线BC的解析式为: y=－x－1‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1‎ 由勾股定理得：AC=‎ ‎∵点B(－1,0) 点C（0，－1）‎ ‎∴OB=OC ∠BCO=450‎ ‎①当以点C为顶点且PC=AC=时，‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PH⊥y轴于H ‎∴∠HCP=∠BCO=450‎ CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=， k2=－‎ ‎∴P1（，－） P2（－，）---10分 ‎②以A为顶点，即AC=AP=‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣‎ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2‎ ‎（2－k)2+(－k－1)2=5‎ 解得：k1=1,k2=0(舍)‎ ‎∴P3(1, －2) ----------------------------------11分 ‎③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ‎∴L(k,0)‎ ‎∴△QPC为等腰直角三角形 ‎ PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=k ‎ ‎∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜‎ 在Rt△PLA中 ‎(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2‎ 解得：k=∴P4(,－) ------------------------12分 综上所述： 存在四个点：P1（，－） ‎ P2（-，） P3(1, －2) P4(,－)‎ 三、等腰三角形（有一个定点两个动点）‎ ‎（两个动点论等腰，勾股定理一肩挑，两两相等三情况，综合结论不可少。）‎ ‎1.（2006山东德州）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．‎ ‎（1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）；‎ ‎（2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；‎ Ｎ B A M P C O ‎（3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．‎ ‎[解] （1）由题意可知，，，‎ 点坐标为． ‎ ‎（2）设的面积为，在中，，边上的高为，其中． ‎ ‎． ‎ 的最大值为，此时． ‎ ‎（3）延长交于，则有．‎ Ｎ B A M P C O Ｑ ①若，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎． ‎ ②若，则，‎ ‎． ‎ ③若，则．‎ ‎，‎ 在中，．‎ ‎，． ‎ 综上所述，，或，或． ‎ ‎45．(2006年苏州市)如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点O从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了s．‎ ‎ (1)Q点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x的代数式表示）‎ ‎(2)当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形? ‎ ‎(3)记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由.‎ 解：(1)(2+，4－)。 (2)由题意，得P(5－x，0)，0≤x≤5．由勾股定理，求得PQ2=(一3)2+(4－)2,AP2=(3 －x)2+42，若AQ=AP，则x2=(3-x)2+42，解得x=，若PQ=AP，则(-3)2+(4－)2=(3-x)2+42，即x2-10x=0，解得x1=0(舍去)，x2=。经检验,当x=或x=时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形．(3)解：设AB，BO的中点分别为点M，N，则点G随点P，Q运动所形成的图形是线段MN．证法一：由M（，2），N(，0)，可求得线段MN的函数关系式为y=2x－5，(≤x≤)，由P(5-x，0),Q(2+,4－),则G(，G(满足y=2x－5 ∴点G在线段MN上．‎ 证法二：设MN，PQ相交于点G/，过点P作PK∥AO交AB于点K．‎ ‎∴PK∥AO∥MN．∴△A0B∽△KPB∽△MNB．∵AB=OB，∴BK=BP=AQ，BM=BN ‎∴BK－BM=AQ-BM．即KM=QM．∴PG/、=QG/，∴G/是PQ的中点，即点G/与点G重合．‎ 四、最短距离（两点位于线同侧，对称使之和最短，到线距离为定值，两条平行无重漏。）‎ ‎1.．(2010年北京崇文区) 已知抛物线经过点A（1，3）和点B（2，1）．‎ ‎（1）求此抛物线解析式；‎ ‎（2）点C、D分别是轴和轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；‎ ‎（3）过点B作轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）‎ ‎【关键词】二次函数与动点 ‎【答案】解：（1）依题意：‎ 解得 抛物线的解析式为．‎ ‎（2）点A（1，3）关于轴的对称点的坐标是（-1，3），点B（2，1）关于轴的对称点的坐标是（2，-1）．由对称性可知 ‎=‎ 由勾股定理可求AB=，．‎ 所以，四边形ABCD周长的最小值是．‎ ‎（3）确定F点位置的方法：过点E作直线EG使对称轴到直线EG成角，则EG与对称轴的交点为所求的F点．‎ 设对称轴于轴交于点H，在Rt中，由HE=1，，得HF=1．所以，点F的坐标是（1，1）．‎ ‎25．（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ E A D B C N M ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ ‎25．（满分13分）解：⑴∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BE，∠ABE＝60°.‎ ‎∵∠MBN＝60°，‎ ‎∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.‎ 即∠BMA＝∠NBE.‎ 又∵MB＝NB，‎ ‎∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ‎⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ………………7分 F E A D B C N M ‎②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，‎ AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，‎ ‎∴AM＝EN.‎ ‎∵∠MBN＝60°，MB＝NB，‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN.‎ ‎∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分 ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，‎ ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°.‎ 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.‎ 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，‎ ‎∴（）2＋（x＋x）2＝. ………………12分 解得，x＝（舍去负值）.‎ ‎∴正方形的边长为. ………………13分