【数学】2020届江苏一轮复习通用版21-1离散型随机变量及其概率分布、超几何分布作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版21-1离散型随机变量及其概率分布、超几何分布作业

专题二十一　概率统计 ‎【真题典例】‎ ‎21.1　离散型随机变量及其概率分布、超几何分布 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 离散型随机变量及其概率分布,超几何分布 ‎1.离散型随机变量及其分布列 ‎2.超几何分布 ‎2014江苏,22‎ 随机事件的概率 ‎★★★‎ 分析解读　　随机变量的分布列及期望是江苏高考附加题的热点和重点,试题一般涉及随机事件的概率和随机变量的分布列及期望,难度不大.对于两点分布、超几何分布的分布列和期望要求不高.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　离散型随机变量及其概率分布、超几何分布 ‎1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为 X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1‎‎2‎ ‎1-2q q2‎ 求q的值.‎ 解析　由分布列的性质知‎1-2q≥0,‎q‎2‎‎≥0,‎‎1‎‎2‎‎+1-2q+q‎2‎=1,‎∴q=1-‎2‎‎2‎.‎ ‎2.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每个球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.求X的分布列.‎ 解析　由题意得X取3,4,5,6,‎ 且P(X=3)=C‎5‎‎3‎C‎9‎‎3‎=‎5‎‎42‎,P(X=4)=C‎4‎‎1‎‎·‎C‎5‎‎2‎C‎9‎‎3‎=‎10‎‎21‎,‎ P(X=5)=C‎4‎‎2‎‎·‎C‎5‎‎1‎C‎9‎‎3‎=‎5‎‎14‎,P(X=6)=C‎4‎‎3‎C‎9‎‎3‎=‎1‎‎21‎,‎ 所以X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎5‎‎42‎ ‎10‎‎21‎ ‎5‎‎14‎ ‎1‎‎21‎ ‎3.(2019届江苏前黄中学月考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.‎ ‎(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;‎ ‎(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.‎ ‎(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)‎ 解析　(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为 P=C‎4‎‎3‎‎+‎C‎3‎‎3‎C‎9‎‎3‎=‎5‎‎84‎.‎ ‎(2)X的所有可能值为1,2,3,且 P(X=1)=C‎4‎‎2‎C‎5‎‎1‎‎+‎C‎4‎‎3‎C‎9‎‎3‎=‎17‎‎42‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎2‎‎1‎‎+C‎3‎‎2‎C‎6‎‎1‎+‎C‎3‎‎3‎C‎9‎‎3‎=‎43‎‎84‎,‎ P(X=3)=C‎2‎‎2‎C‎7‎‎1‎C‎9‎‎3‎=‎1‎‎12‎,‎ 故X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎17‎‎42‎ ‎43‎‎84‎ ‎1‎‎12‎ 从而E(X)=1×‎17‎‎42‎+2×‎43‎‎84‎+3×‎1‎‎12‎=‎47‎‎28‎.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　求离散型随机变量分布列的方法 ‎1.(2019届江苏盛泽中学月考)一批零件中有9个合格品与3个废品,安装机器时,从这批零件中随机抽取,取出废品不放回,求在第一次取到合格品之前已取出的废品数的概率分布列.‎ 解析　设在第一次取到合格品之前已取出的废品数为X,则X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=C‎9‎‎1‎C‎12‎‎1‎=‎3‎‎4‎;‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎C‎12‎‎1‎×C‎9‎‎1‎C‎11‎‎1‎=‎9‎‎44‎;‎ P(X=2)=C‎3‎‎1‎C‎12‎‎1‎×C‎2‎‎1‎C‎11‎‎1‎×C‎9‎‎1‎C‎10‎‎1‎=‎9‎‎220‎;‎ P(X=3)=C‎3‎‎1‎C‎12‎‎1‎×C‎2‎‎1‎C‎11‎‎1‎×C‎1‎‎1‎C‎10‎‎1‎=‎1‎‎220‎.‎ 所以所求的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎3‎‎4‎ ‎9‎‎44‎ ‎9‎‎220‎ ‎1‎‎220‎ ‎2.(2018江苏丹阳中学月考)某品牌汽车4S店经销A,B,C三种排量的汽车,其中A,B,C三种排量的汽车依次有5,4,3款不同车型.某单位计划购买3辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能.‎ ‎(1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率;‎ ‎(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X,求X的分布列.‎ 解析　(1)设“该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车”为事件M,则P(M)=C‎4‎‎3‎C‎12‎‎3‎=‎1‎‎55‎.‎ 所以该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率为‎1‎‎55‎.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.‎ 则P(X=1)=C‎5‎‎3‎‎+C‎4‎‎3‎+‎C‎3‎‎3‎C‎12‎‎3‎=‎3‎‎44‎,P(X=3)=C‎5‎‎1‎C‎4‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎12‎‎3‎=‎3‎‎11‎,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=‎29‎‎44‎.‎ 所以X的概率分布为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎3‎‎44‎ ‎29‎‎44‎ ‎3‎‎11‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎　(2014江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.‎ ‎(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;‎ ‎(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).‎ 解析　(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,‎ 所以P=C‎4‎‎2‎‎+C‎3‎‎2‎+‎C‎2‎‎2‎C‎9‎‎2‎=‎6+3+1‎‎36‎=‎5‎‎18‎.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为2,3,4.‎ ‎{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=C‎4‎‎4‎C‎9‎‎4‎=‎1‎‎126‎;‎ ‎{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,‎ 故P(X=3)=C‎4‎‎3‎C‎5‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎3‎C‎6‎‎1‎C‎9‎‎4‎=‎20+6‎‎126‎=‎13‎‎63‎;‎ 于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-‎13‎‎63‎-‎1‎‎126‎=‎11‎‎14‎.‎ 所以随机变量X的概率分布如下表:‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎11‎‎14‎ ‎13‎‎63‎ ‎1‎‎126‎ 因此随机变量X的数学期望 E(X)=2×‎11‎‎14‎+3×‎13‎‎63‎+4×‎1‎‎126‎=‎20‎‎9‎.‎ 思路分析　(1)取出两个颜色相同的球:取出两个绿球,有C‎2‎‎2‎种情况,取出两个黄球,有C‎3‎‎2‎种情况,取出两个红球,有C‎4‎‎2‎种情况,任取两个球有C‎9‎‎2‎种情况,根据古典概型概率公式求概率即可.(2)先确定X的所有可能取值,然后分别求出每个取值情况下的概率,然后可得分布列,进而求得数学期望.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点　随机变量及其分布、超几何分布 ‎1.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?‎ ‎(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.‎ ‎(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;‎ ‎(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.‎ 解析　本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=k)=C‎4‎k‎·‎C‎3‎‎3-kC‎7‎‎3‎(k=0,1,2,3).‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎35‎ ‎12‎‎35‎ ‎18‎‎35‎ ‎4‎‎35‎ 随机变量X的数学期望E(X)=0×‎1‎‎35‎+1×‎12‎‎35‎+2×‎18‎‎35‎+3×‎4‎‎35‎=‎12‎‎7‎.‎ ‎(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.‎ 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),‎ 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=‎6‎‎7‎.‎ 所以,事件A发生的概率为‎6‎‎7‎.‎ 名师点睛　超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:‎ ‎(1)考察对象分两类;‎ ‎(2)已知各类对象的个数;‎ ‎(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.‎ 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.‎ ‎2.(2017课标全国Ⅲ理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?‎ 解析　本题考查随机变量的分布列,数学期望.‎ ‎(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知 P(X=200)=‎2+16‎‎90‎=0.2,‎ P(X=300)=‎36‎‎90‎=0.4,‎ P(X=500)=‎25+7+4‎‎90‎=0.4.‎ 因此X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时,‎ 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温位于区间[20,25),‎ 则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.‎ 因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.‎ 当200≤n<300时,若最高气温不低于20,‎ 则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.‎ 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.‎ 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.‎ ‎3.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.‎ ‎(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;‎ ‎(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.‎ 解析　本题考查离散型随机变量的分布列,期望.‎ ‎(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,‎ 则P(M)=C‎8‎‎4‎C‎10‎‎5‎=‎5‎‎18‎.‎ ‎(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=C‎6‎‎5‎C‎10‎‎5‎=‎1‎‎42‎,‎ P(X=1)=C‎6‎‎4‎C‎4‎‎1‎C‎10‎‎5‎=‎5‎‎21‎,‎ P(X=2)=C‎6‎‎3‎C‎4‎‎2‎C‎10‎‎5‎=‎10‎‎21‎,‎ P(X=3)=C‎6‎‎2‎C‎4‎‎3‎C‎10‎‎5‎=‎5‎‎21‎,‎ P(X=4)=C‎6‎‎1‎C‎4‎‎4‎C‎10‎‎5‎=‎1‎‎42‎.‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎‎42‎ ‎5‎‎21‎ ‎10‎‎21‎ ‎5‎‎21‎ ‎1‎‎42‎ X的数学期望是 EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×‎5‎‎21‎+2×‎10‎‎21‎+3×‎5‎‎21‎+4×‎1‎‎42‎=2.‎ 解后反思　(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:‎ ‎①理解X的含义,写出X所有可能的取值.‎ ‎②求X取每个值时的概率;‎ ‎③写出X的分布列.‎ ‎(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理,古典概型概率公式等知识.‎ ‎4.(2016山东理,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是‎3‎‎4‎,乙每轮猜对的概率是‎2‎‎3‎;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.‎ 解析　(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.‎ 由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD,‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)‎ ‎=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)·P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)·P(D)‎ ‎=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎+2×‎‎1‎‎4‎‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎‎2‎‎3‎ ‎=‎2‎‎3‎.‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.‎ 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎=‎1‎‎144‎,‎ P(X=1)=2×‎3‎‎4‎‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎‎1‎‎3‎=‎10‎‎144‎=‎5‎‎72‎,‎ P(X=2)=‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎25‎‎144‎,‎ P(X=3)=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎12‎‎144‎=‎1‎‎12‎,‎ P(X=4)=2×‎3‎‎4‎‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎‎2‎‎3‎=‎60‎‎144‎=‎5‎‎12‎,‎ P(X=6)=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎=‎36‎‎144‎=‎1‎‎4‎.‎ 可得随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P ‎1‎‎144‎ ‎5‎‎72‎ ‎25‎‎144‎ ‎1‎‎12‎ ‎5‎‎12‎ ‎1‎‎4‎ 所以数学期望EX=0×‎1‎‎144‎+1×‎5‎‎72‎+2×‎25‎‎144‎+3×‎1‎‎12‎+4×‎5‎‎12‎+6×‎1‎‎4‎=‎23‎‎6‎.‎ 评析本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变量可能的取值是解题的关键.属于中档题.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率;‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.‎ 解析　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎5‎‎1‎C‎10‎‎3‎=‎1‎‎4‎.‎ ‎(2)X的所有可能值为0,1,2,且 P(X=0)=C‎8‎‎3‎C‎10‎‎3‎=‎7‎‎15‎,P(X=1)=C‎2‎‎1‎C‎8‎‎2‎C‎10‎‎3‎=‎7‎‎15‎,‎ P(X=2)=C‎2‎‎2‎C‎8‎‎1‎C‎10‎‎3‎=‎1‎‎15‎.‎ 综上知,X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎7‎‎15‎ ‎7‎‎15‎ ‎1‎‎15‎ 故E(X)=0×‎7‎‎15‎+1×‎7‎‎15‎+2×‎1‎‎15‎=‎3‎‎5‎(个).‎ ‎2.(2012江苏,22,10分)设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.‎ ‎(1)求概率P(ξ=0);‎ ‎(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).‎ 解析　(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C‎3‎‎2‎对相交棱,因此P(ξ=0)=‎8‎C‎3‎‎2‎C‎12‎‎2‎=‎8×3‎‎66‎=‎4‎‎11‎.‎ ‎(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或‎2‎,其中距离为‎2‎的共有6对,‎ 故P(ξ=‎2‎)=‎6‎C‎12‎‎2‎=‎1‎‎11‎,‎ 于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=‎2‎)=1-‎4‎‎11‎-‎1‎‎11‎=‎6‎‎11‎,‎ 所以随机变量ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P(ξ)‎ ‎4‎‎11‎ ‎6‎‎11‎ ‎1‎‎11‎ 因此E(ξ)=1×‎6‎‎11‎+‎2‎×‎1‎‎11‎=‎6+‎‎2‎‎11‎.‎ 评析本题主要考查概率分布、数学期望等基础知识,考查运算求解能力.‎ ‎3.(2013课标全国Ⅰ理,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为‎1‎‎2‎,且各件产品是不是优质品相互独立.‎ ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ 解析　(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,‎ 所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=‎4‎‎16‎×‎1‎‎16‎+‎1‎‎16‎×‎1‎‎2‎=‎3‎‎64‎.‎ ‎(2)X可能的取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-‎4‎‎16‎-‎1‎‎16‎=‎11‎‎16‎,‎ P(X=500)=‎1‎‎16‎,P(X=800)=‎1‎‎4‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎11‎‎16‎ ‎1‎‎16‎ ‎1‎‎4‎ EX=400×‎11‎‎16‎+500×‎1‎‎16‎+800×‎1‎‎4‎=506.25.‎ ‎4.(2014北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):‎ 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1‎ ‎22‎ ‎12‎ 客场1‎ ‎18‎ ‎8‎ 主场2‎ ‎15‎ ‎12‎ 客场2‎ ‎13‎ ‎12‎ 主场3‎ ‎12‎ ‎8‎ 客场3‎ ‎21‎ ‎7‎ 主场4‎ ‎23‎ ‎8‎ 客场4‎ ‎18‎ ‎15‎ 主场5‎ ‎24‎ ‎20‎ 客场5‎ ‎25‎ ‎12‎ ‎(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;‎ ‎(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;‎ ‎(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.(只需写出结论)‎ 解析　(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.‎ 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.‎ ‎(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则C=AB∪AB,A,B独立.‎ 根据投篮统计数据,可知P(A)=‎3‎‎5‎,P(B)=‎2‎‎5‎.‎ P(C)=P(AB)+P(AB)=‎3‎‎5‎×‎3‎‎5‎+‎2‎‎5‎×‎2‎‎5‎=‎13‎‎25‎.‎ 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为‎13‎‎25‎.‎ ‎(3)EX=x.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2019届江苏扬州中学月考)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=i‎2a(i=1,2,3),则P(X=2)等于　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎2.(2019届江苏苏州十中月考)随机变量X的概率分布列如下:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ p ‎0.3‎ 则p的值为　　　　. ‎ 答案　0.2‎ ‎3.(2019届江苏兴化中学月考)设随机变量X等可能取1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,则n的值为　　　　. ‎ 答案　10‎ ‎4.(2018江苏昆山中学月考)已知随机变量X只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差d的取值范围为　　　　. ‎ 答案　-‎1‎‎3‎≤d≤‎‎1‎‎3‎ 二、解答题(共50分)‎ ‎5.(2019届江苏南京十三中月考)设袋子中装有3个红球,2个黄球,1个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列.‎ 解析　由题意得,ξ=2,3,4,5,6.‎ P(ξ=2)=‎3×3‎‎6×6‎=‎1‎‎4‎,‎ P(ξ=3)=‎2×3×2‎‎6×6‎=‎1‎‎3‎,‎ P(ξ=4)=‎2×3×1+2×2‎‎6×6‎=‎5‎‎18‎,‎ P(ξ=5)=‎2×2×1‎‎6×6‎=‎1‎‎9‎,‎ P(ξ=6)=‎1×1‎‎6×6‎=‎1‎‎36‎,‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎3‎ ‎5‎‎18‎ ‎1‎‎9‎ ‎1‎‎36‎ ‎ 6.(2019届江苏如皋中学月考)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:‎ ‎(1)该顾客中奖的概率;‎ ‎(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列.‎ 解析　(1)该顾客中奖,说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张,由于是等可能地抽取,所以该顾客中奖的概率P=C‎4‎‎1‎C‎6‎‎1‎‎+‎C‎4‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎30‎‎45‎=‎2‎‎3‎.‎或用间接法,即P=1-C‎6‎‎2‎C‎10‎‎2‎=1-‎15‎‎45‎=‎‎2‎‎3‎ ‎(2)依题意可知,X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元),且 P(X=0)=C‎4‎‎0‎C‎6‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎1‎‎3‎,P(X=10)=C‎3‎‎1‎C‎6‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎2‎‎5‎,‎ P(X=20)=C‎3‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎1‎‎15‎,P(X=50)=C‎1‎‎1‎C‎6‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎2‎‎15‎,‎ P(X=60)=C‎1‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎1‎‎15‎.‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎1‎‎3‎ ‎2‎‎5‎ ‎1‎‎15‎ ‎2‎‎15‎ ‎1‎‎15‎ ‎7.(2018江苏常州高三期末,22)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:‎ 若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);‎ 若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;‎ 若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).‎ ‎(1)求ξ=0的概率;‎ ‎(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).‎ 解析　根据题意知四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD为等腰直角三角形.ξ的可能取值为0,π‎3‎,π‎2‎,共C‎8‎‎2‎=28种情况,其中:‎ ξ=0时,有2种;ξ=π‎3‎时,有3×4+2×4=20种;ξ=π‎2‎时,有2+4=6种.‎ ‎(1)P(ξ=0)=‎2‎‎28‎=‎1‎‎14‎.‎ ‎(2)Pξ=‎π‎3‎=‎20‎‎28‎=‎5‎‎7‎,Pξ=‎π‎2‎=‎6‎‎28‎=‎3‎‎14‎.‎ 随机变量ξ的分布列如下表:‎ ξ ‎0‎ π‎3‎ π‎2‎ P ‎1‎‎14‎ ‎5‎‎7‎ ‎3‎‎14‎ 故E(ξ)=0×‎1‎‎14‎+π‎3‎×‎5‎‎7‎+π‎2‎×‎3‎‎14‎=‎29‎‎84‎π.‎ 评析理解随机变量ξ的含义,按照变量的取值分类,求出分布列,进而求得期望,难度适中.‎ ‎8.(2017江苏苏州高三调研测试)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.‎ ‎(1)ξ为何值时,其发生的概率最大?说明理由;‎ ‎(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ).‎ 解析　(1)依题意,随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.‎ 因为P(ξ=2)=‎3‎‎2‎‎8‎‎2‎=‎9‎‎64‎;‎ P(ξ=3)=‎2×‎‎3‎‎2‎‎8‎‎2‎=‎18‎‎64‎;‎ P(ξ=4)=‎3‎‎2‎‎+2×3×2‎‎8‎‎2‎=‎21‎‎64‎;‎ P(ξ=5)=‎2×3×2‎‎8‎‎2‎=‎12‎‎64‎;‎ P(ξ=6)=‎2×2‎‎8‎‎2‎=‎4‎‎64‎.‎ 所以,当ξ=4时,其发生的概率最大,最大值为P(ξ=4)=‎21‎‎64‎.‎ ‎(2)由(1)知E(ξ)=2×‎9‎‎64‎+3×‎18‎‎64‎+4×‎21‎‎64‎+5×‎12‎‎64‎+6×‎4‎‎64‎=‎15‎‎4‎,‎ 所以,随机变量ξ的数学期望E(ξ)=‎15‎‎4‎.‎ ‎9.(2018江苏南通高三调研,22)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖,由电脑随机生成一张3×3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在表中随机不重复点击3格,记中奖的总金额为X元.‎ ‎(1)求概率P(X=600);‎ ‎(2)求X的概率分布列及数学期望E(X).‎ 解析　(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格,共有C‎9‎‎3‎种不同情形.‎ 则事件:“X=600”包含两类情形:‎ 第一类是3格各为200元;‎ 第二类是1格为300元,一格为200元,一格为100元,‎ 其中第一类包含C‎4‎‎3‎种情形,第二类包含C‎1‎‎1‎·C‎4‎‎1‎·C‎4‎‎1‎种情形.‎ 所以P(X=600)=C‎4‎‎3‎‎+C‎1‎‎1‎·C‎4‎‎1‎·‎C‎4‎‎1‎C‎9‎‎3‎=‎5‎‎21‎.‎ ‎(2)X的所有可能值为300,400,500,600,700.‎ 则P(X=300)=C‎4‎‎3‎C‎9‎‎3‎=‎4‎‎84‎=‎1‎‎21‎,‎ P(X=400)=C‎4‎‎1‎‎·‎C‎4‎‎2‎C‎9‎‎3‎=‎24‎‎84‎=‎2‎‎7‎,‎ P(X=500)=C‎1‎‎1‎‎·C‎4‎‎2‎+C‎4‎‎1‎·‎C‎4‎‎2‎C‎9‎‎3‎=‎30‎‎84‎=‎5‎‎14‎,‎ P(X=600)=‎5‎‎21‎,‎ P(X=700)=C‎1‎‎1‎‎·‎C‎4‎‎2‎C‎9‎‎3‎=‎6‎‎84‎=‎1‎‎14‎.‎ 所以X的概率分布列为 X ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ P ‎1‎‎21‎ ‎2‎‎7‎ ‎5‎‎14‎ ‎5‎‎21‎ ‎1‎‎14‎ 所以E(X)=300×‎1‎‎21‎+400×‎2‎‎7‎+500×‎5‎‎14‎+600×‎5‎‎21‎+700×‎3‎‎42‎=500(元).‎