高考数学数列题型专题汇总

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高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 ‎1、已知无穷等比数列的公比为,前n项和为,且.下列条件中,使得恒成立的是( )‎ (A) ‎ (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】B ‎2、已知等差数列前9项的和为27,,则 ‎(A)100 (B)99 (C)98 (D)97‎ ‎【答案】C ‎3、定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有 ‎(A)18个 (B)16个 (C)14个 (D)12个 ‎【答案】C ‎4、如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且,‎ ‎,().‎ 若 A.是等差数列 B.是等差数列 ‎ C.是等差数列 D.是等差数列 ‎【答案】A 二、填空题 ‎1、已知为等差数列,为其前项和,若,,则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎2、无穷数列由k个不同的数组成,为的前n项和.若对任意,,则k的最大值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎3、设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎4、设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎1、设数列A: , ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;‎ ‎(2)证明:若数列A中存在使得>,则 ;‎ ‎(3)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.‎ 如果,取,则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素,所以.‎ ‎2、已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列,且 ‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令 求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和,‎ ‎ 所以,当时,‎ ‎,‎ 又对也成立,所以.‎ 又因为是等差数列,设公差为,则.‎ 当时,;当时,,‎ 解得,所以数列的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)由,‎ 于是,‎ 两边同乘以2,得 ‎,‎ 两式相减,得 ‎.‎ ‎3、若无穷数列满足:只要,必有,则称具有性质.‎ ‎(1)若具有性质,且,,求;‎ ‎(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,判断是否具有性质,并说明理由;‎ ‎(3)设是无穷数列,已知.求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据已知条件,得到,结合求解.‎ ‎(2)根据的公差为,的公比为,写出通项公式,从而可得 ‎.‎ 通过计算,,,,即知不具有性质.‎ ‎(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明. ‎ 试题解析:(1)因为,所以,,.‎ 于是,又因为,解得.‎ ‎(2)的公差为,的公比为,‎ 所以,.‎ ‎.‎ ‎,但,,,‎ 所以不具有性质.‎ ‎(3)[证]充分性:‎ 当为常数列时,.‎ 对任意给定的,只要,则由,必有.‎ 充分性得证.‎ 必要性:‎ 用反证法证明.假设不是常数列,则存在,‎ 使得,而.‎ 下面证明存在满足的,使得,但.‎ 设,取,使得,则 ‎,,故存在使得.‎ 取,因为(),所以,‎ 依此类推,得.‎ 但,即.‎ 所以不具有性质,矛盾.‎ 必要性得证.‎ 综上,“对任意,都具有性质”的充要条件为“是常数列”.‎ ‎4、已知数列{ }的首项为1, 为数列{ }的前n项和, ,其中q>0, .‎ ‎(I)若 成等差数列,求an的通项公式;‎ ‎(ii)设双曲线 的离心率为 ,且 ,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.‎ 解析:(Ⅰ)由已知, 两式相减得到.‎ 又由得到,故对所有都成立.‎ 所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.‎ 从而.‎ 由成等比数列,可得,即,则,‎ 由已知,,故 .‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.‎ 所以双曲线的离心率 .‎ 由解得.‎ 因为,所以.‎ 于是,‎ 故.‎ ‎5、已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等比中项.‎ ‎(Ⅰ)设,求证:是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)设 ,求证:‎ ‎【解析】⑴‎ 为定值.‎ ‎∴为等差数列 ‎⑵(*)‎ 由已知 将代入(*)式得 ‎∴,得证 ‎6、为等差数列的前n项和,且记,其中表示不超过的最大整数,如.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前1 000项和.‎ ‎【解析】⑴设 的公差为,,‎ ‎∴,∴,∴.‎ ‎∴,,.‎ ‎⑵ 记的前项和为,则 ‎.‎ 当时,;‎ 当时,;‎ ‎ 当时,;‎ 当时,.‎ ‎∴.‎ ‎7、已知数列的前n项和,其中.‎ ‎(I)证明是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(II)若 ,求.‎ ‎【解析】‎ ‎8、设数列满足,.‎ ‎(I)证明:,;‎ ‎(II)若,,证明:,.‎ ‎(II)任取,由(I)知,对于任意,‎ ‎,‎ 故 ‎.‎ 从而对于任意,均有
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