【数学】2020届一轮复习(文)通用版选修4-5第一节绝对值不等式学案

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【数学】2020届一轮复习(文)通用版选修4-5第一节绝对值不等式学案

选修4-5不等式选讲 第一节 绝对值不等式 ‎1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:(1)|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R).‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.‎ 突破点一 绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|<a ‎∅‎ ‎∅‎ ‎|x|>a R ‎(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解;‎ ‎②利用零点分段法求解;‎ ‎③构造函数,利用函数的图象求解.‎ 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1)不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}.(  )‎ ‎(2)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.(  )‎ ‎(3)不等式|2x-3|≤5的解集为{x|-1≤x≤4}.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)√‎ 二、填空题 ‎1.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是________.‎ 答案:[1,+∞)‎ ‎2.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=________.‎ 答案:2‎ ‎3.函数y=|x-4|+|x+4|的最小值为________.‎ 答案:8‎ ‎[典例] 解下列不等式:‎ ‎(1)|2x+1|-2|x-1|>0;‎ ‎(2)|x+3|-|2x-1|<+1.‎ ‎[解] (1)法一:原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|,‎ 两边平方得4x2+4x+1>4(x2-2x+1),‎ 解得x>,‎ 所以原不等式的解集为.‎ 法二:原不等式等价于 或或 解得x>,所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)①当x<-3时,‎ 原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<+1,‎ 解得x<10,∴x<-3.‎ ‎②当-3≤x≤时,‎ 原不等式化为(x+3)-(1-2x)<+1,‎ 解得x<-,∴-3≤x<-.‎ ‎③当x>时,‎ 原不等式化为(x+3)-(2x-1)<+1,‎ 解得x>2,∴x>2.‎ 综上可知,原不等式的解集为.‎ ‎[方法技巧]‎ 绝对值不等式的常用解法 ‎(1)基本性质法 对a∈R+,|x|<a⇔-a<x<a,‎ ‎|x|>a⇔x<-a或x>a.‎ ‎(2)平方法 两边平方去掉绝对值符号.‎ ‎(3)零点分区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.  ‎ ‎[针对训练]‎ ‎1.(2019·广州模拟)已知函数f(x)=|x+a|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≤|2x+1|-1的解集;‎ ‎(2)若函数g(x)=f(x)-|x+3|的值域为A,且[-2,1]⊆A,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|,‎ ‎①当x≤-1时,原不等式可化为-x-1≤-2x-2,解得x≤-1;‎ ‎②当-1<x<-时,原不等式可化为x+1≤-2x-2,解得x≤-1,此时原不等式无解;‎ ‎③当x≥-时,原不等式可化为x+1≤2x,解得x≥1.‎ 综上可知,原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥1}.‎ ‎(2)因为||x+a|-|x+3||≤|(x+a)-(x+3)|=|a-3|,‎ 所以g(x)=f(x)-|x+3|=|x+a|-|x+3|∈[-|a-3|,|a-3|].‎ 所以函数g(x)的值域A=[-|a-3|,|a-3|].‎ 因为[-2,1]⊆A,所以 解得a≤1或a≥5.‎ 所以a的取值范围是(-∞,1]∪[5,+∞).‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,‎ 即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.‎ 若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax-1|≥1;‎ 若a>0,则|ax-1|<1的解集为,‎ 所以≥1,故0<a≤2.‎ 综上,a的取值范围为(0,2].‎ 突破点二 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式定理 定理1‎ 如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立 定理2‎ 如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1)|a+b|+|a-b|≥|2a|.(  )‎ ‎(2)不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0.(  )‎ 答案:(1)√ (2)√‎ 二、填空题 ‎1.设a,b为满足ab<0的实数,那么下列正确的是________(填序号).‎ ‎①|a+b|>|a-b|;      ②|a+b|<|a-b|;‎ ‎③|a-b|<||a|-|b||; ④|a-b|<|a|+|b|.‎ 解析:∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|.‎ 答案:②‎ ‎2.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,‎ 要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,‎ ‎∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.‎ 答案:[-2,4]‎ ‎3.若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________.‎ 解析:|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+2|y-2|+2≤5.‎ 答案:5‎ 考法一 证明绝对值不等式 ‎ ‎[例1] 已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤,‎ 求证:|x+5y|≤1.‎ ‎[证明] ∵|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|,‎ ‎∴由绝对值不等式的性质,得 ‎|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|‎ ‎=3|x+y|+2|x-y|≤3×+2×=1.‎ 即|x+5y|≤1.‎ ‎[方法技巧]‎ 绝对值不等式证明的3种主要方法 ‎(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明.‎ ‎(2)利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.‎ ‎(3)转化为函数问题,数形结合进行证明.  ‎ 考法二 与绝对值不等式有关的参数范围问题 ‎ ‎[例2] 设函数f(x)=|x+3|,g(x)=|2x-1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<g(x);‎ ‎(2)若2f(x)+g(x)>ax+4对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)由已知,可得|x+3|<|2x-1|,‎ 即|x+3|2<|2x-1|2,‎ 则有3x2-10x-8>0,‎ ‎∴x<-或x>4.‎ 故所求不等式的解集为∪(4,+∞).‎ ‎(2)设h(x)=2f(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1|= 当x≤-3时,-4x-5>ax+4,即ax<-4x-9,‎ ‎∵x≤-3<0,∴a>=-4-.‎ ‎∴a>max,∴a>-1.‎ 当-3<x<时,7>ax+4,即ax-3<0.‎ 则∴∴-1≤a≤6.‎ 当x≥时,4x+5>ax+4,即ax<4x+1.‎ ‎∵x≥>0,∴a<=4+.‎ ‎∵4+>4,且无限趋近于4,∴a≤4.‎ 综上,a的取值范围是(-1,4].‎ ‎[方法技巧]‎ 两招解不等式问题中的含参问题 转化 ‎①把存在性问题转化为求最值问题;‎ ‎②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题;‎ ‎③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题,此类问题都可转化为最值问题,即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max,f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min 求最值 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:‎ ‎①利用绝对值的几何意义;‎ ‎②利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||;‎ ‎③利用零点分区间法 ‎1.已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M为不等式f(x)>0的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)求证:当x,y∈M时,|x+y+xy|<15.‎ 解:(1)f(x)= 当x<-2时,由x-3>0,得x>3,舍去;‎ 当-2≤x≤时,由3x+1>0,得x>-,‎ 即-<x≤;‎ 当x>时,由-x+3>0,得x<3,即<x<3,‎ 综上,M=.‎ ‎(2)证明:∵x,y∈M,∴|x|<3,|y|<3,‎ ‎∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x|·|y|<3+3+3×3=15.‎ ‎2.已知函数f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,a∈R,g(x)=x2-2x-4+.‎ ‎(1)若f(2a2-1)>4|a-1|,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若存在实数x,y,使f(x)+g(y)≤0,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)∵f(2a2-1)>4|a-1|,‎ ‎∴|2a2-2a|+|a2-1|>4|a-1|,‎ ‎∴|a-1|(2|a|+|a+1|-4)>0,‎ ‎∴|2a|+|a+1|>4且a≠1.‎ ‎①若a≤-1,则-2a-a-1>4,∴a<-;‎ ‎②若-1<a<0,则-2a+a+1>4,∴a<-3,此时无解;‎ ‎③若a≥0且a≠1,则2a+a+1>4,∴a>1.‎ 综上所述,a的取值范围为∪(1,+∞).‎ ‎(2)∵g(x)=(x-1)2+-5≥‎ ‎2-5=-1,显然可取等号,‎ ‎∴g(x)min=-1.‎ 于是,若存在实数x,y,使f(x)+g(y)≤0,只需f(x)min≤1.‎ 又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|≥|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2,‎ ‎∴(a-1)2≤1,∴-1≤a-1≤1,∴0≤a≤2,‎ 即实数a的取值范围为[0,2].‎ ‎[课时跟踪检测] ‎ ‎1.(2019·广东宝安中学等七校联考)已知函数f(x)=|2x-1|-|x-a|,a∈R.‎ ‎(1)当a=1时,解不等式f(x)<1;‎ ‎(2)当x∈(-1,0)时,f(x)>1有解,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,‎ f(x)=|2x-1|-|x-1|= 当x≤时,-x<1,解得x>-1,∴-1<x≤;‎ 当<x≤1时,3x-2<1,解得x<1,∴<x<1;‎ 当x>1时,x<1,无解.‎ 综上所述,不等式f(x)<1的解集为{x|-1<x<1}.‎ ‎(2)当x∈(-1,0)时,f(x)>1有解⇔|x-a|<-2x有解⇔2x<x-a<-2x有解⇔3x<a<-x有解,‎ ‎∵3x>-3,-x<1,‎ ‎∴-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1).‎ ‎2.(2019·惠州调研)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|,g(x)=|x-a|+|x+a|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>9;‎ ‎(2)∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.‎ 解:(1)f(x)= f(x)>9等价于或或 综上,原不等式的解集为{x|x>3或x<-3}.‎ ‎(2)|x-a|+|x+a|≥2|a|.由(1)知f(x)≥f=,‎ 所以2|a|≤,-<a<,‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎3.(2019·陕西部分学校摸底测试)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-a|(a∈R).‎ ‎(1)若a=1,求不等式f(x)≥5的解集;‎ ‎(2)若函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.‎ 解:(1)若a=1,‎ 则f(x)=2|x+1|+|x-1|= 当x≥1时,3x+1≥5,即x≥,∴x≥;‎ 当-1<x<1时,x+3≥5,即x≥2,此时x无解;‎ 当x≤-1时,-3x-1≥5,即x≤-2,∴x≤-2.‎ 综上所述,不等式f(x)≥5的解集为.‎ ‎(2)当a=-1时,f(x)=3|x+1|的最小值为0,不符合题意;‎ 当a>-1时,f(x)= ‎∴f(x)min=f(-1)=1+a=3,此时a=2;‎ 当a<-1时,f(x)= ‎∴f(x)min=f(-1)=-1-a=3,此时a=-4.‎ 综上所述,a=2或a=-4.‎ ‎4.(2019·惠州模拟)已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.‎ ‎(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;‎ ‎(2)若二次函数y=x2+2x+3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)当m=5时,f(x)= 由f(x)>2得不等式的解集为.‎ ‎(2)二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2,‎ 该函数在x=-1处取得最小值2,‎ 因为f(x)= 在x=-1处取得最大值m-2,‎ 所以要使二次函数y=x2+2x+3的图象与函数f(x)的图象恒有公共点,‎ 只需m-2≥2,即m≥4.‎ 所以实数m的取值范围为[4,+∞).‎ ‎5.(2019·长春模拟)设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.‎ ‎(1)求集合A;‎ ‎(2)若a,b,c∈A,求证:>1.‎ 解:(1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|‎ ‎= 由|f(x)|<2得-1<x<1,‎ 即A={x|-1<x<1}.‎ ‎(2)证明:要证>1,只需证|1-abc|>|ab-c|,‎ 只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,‎ 只需证1-a2b2>c2(1-a2b2),‎ 只需证(1-a2b2)(1-c2)>0,‎ 由a,b,c∈A,得-1<ab<1,c2<1,‎ 所以(1-a2b2)(1-c2)>0恒成立.‎ 综上,>1.‎ ‎6.(2019·太原模拟)已知函数f(x)=|x-a|+(a≠0).‎ ‎(1)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立,求实数m的最大值;‎ ‎(2)当a<时,函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)∵f(x)=|x-a|+(a≠0),‎ ‎∴f(x+m)=|x+m-a|+,‎ ‎∴f(x)-f(x+m)=|x-a|-|x+m-a|≤|m|,‎ ‎∴|m|≤1,∴-1≤m≤1,∴实数m的最大值为1.‎ ‎(2)当a<时,‎ g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+ ‎= 又函数g(x)有零点,‎ ‎∴g(x)min=g=-a+=≤0,‎ ‎∴或∴-≤a<0,‎ ‎∴实数a的取值范围是.‎ ‎7.(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)= 当x<-1时,由2x+4≥0,解得-2≤x<-1;‎ 当-1≤x≤2时,显然满足题意;‎ 当x>2时,由-2x+6≥0,解得2<x≤3,‎ 故f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.‎ 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.‎ 故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.‎ 由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.‎ 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).‎ ‎8.(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a∈R.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+3x,‎ 由f(x)≥3x+|2x+1|,得|x-1|-|2x+1|≥0,‎ 当x>1时,x-1-(2x+1)≥0,得x≤-2,无解;‎ 当-≤x≤1时,1-x-(2x+1)≥0,得-≤x≤0;‎ 当x<-时,1-x+(2x+1)≥0,得-2≤x<-.‎ ‎∴不等式的解集为{x|-2≤x≤0}.‎ ‎(2)法一:由|x-a|+3x≤0,‎ 可得或 即或 当a>0时,不等式的解集为.‎ 由-=-1,得a=2.‎ 当a=0时,不等式的解集为,不合题意.‎ 当a<0时,不等式的解集为.‎ 由=-1,得a=-4.‎ 综上,a=2或a=-4.‎ 法二:当x≥a时,f(x)=4x-a,函数f(x)为增函数,‎ 由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}得,‎ f(-1)=4×(-1)-a=0,得a=-4.‎ 当x<a时,f(x)=2x+a,函数f(x)为增函数,‎ 由不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}得,‎ f(-1)=2×(-1)+a=0,得a=2.‎ 经检验,a=2或a=-4都符合题意,‎ 故a的值为2或-4.‎
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