高中数学人教a版必修四课时训练：第三章 章末复习课3 word版含答案

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章末复习课 课时目标 1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切 公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高 推理和运算能力． 知识结构 一、选择题 1．tan 15°＋ 1 tan 15° 等于( ) A．2 B．2＋ 3 C．4 D.4 3 3 2．若 3sin α＋cos α＝0，则 1 cos2α＋sin 2α 的值为( ) A.10 3 B.5 3 C.2 3 D．－2 3．函数 f(x)＝sin4x＋cos2x 的最小正周期是( ) A.π 4 B.π 2 C．π D．2π 4．已知θ是第三象限角，若 sin4 θ＋cos4 θ＝5 9 ，那么 sin 2θ等于( ) A.2 2 3 B．－2 2 3 C.2 3 D．－2 3 5．已知函数 f(x)＝ 3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线 y＝2 的两个相邻交点的距离 等于π，则 f(x)的单调递增区间是( ) A. kπ－ π 12 ，kπ＋5π 12 ，k∈Z B. kπ＋5π 12 ，kπ＋11π 12 ，k∈Z C. kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ，k∈Z D. kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ，k∈Z 6．设△ABC 的三个内角为 A，B，C，向量 m＝( 3sin A，sin B)，n＝(cos B， 3cos A)，若 m·n ＝1＋cos(A＋B)，则 C 的值为( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．函数 f(x)＝sin2(x＋π 4)－sin2(x－π 4)的最小正周期是________． 8．函数 y＝2cos2x＋sin 2x 的最小值是________． 9．若 8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则 sin(α＋β)＝________. 10．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－3 5 ，则 tan π 4 ＋2α ＝________. 三、解答题 11．已知 tan α＝－1 3 ，cos β＝ 5 5 ，α，β∈(0，π)． (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求函数 f(x)＝ 2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值． 12．设函数 f(x)＝sin π 4x－π 6 －2cos2π 8x＋1. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若函数 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，求当 x∈ 0，4 3 时，y＝g(x)的最大值． 能力提升 13．函数 f(x)＝ sin x sin x＋2sin x 2 是( ) A．以 4π为周期的偶函数 B．以 2π为周期的奇函数 C．以 2π为周期的偶函数 D．以 4π为周期的奇函数 14．设α为第四象限的角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则 tan 2α＝________. 本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函 数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快 速化到最简，再进一步研究函数的性质． 章末复习课 作业设计 1．C 2．A [∵3sin α＋cos α＝0， ∴tan α＝－1 3 ， ∴ 1 cos2α＋sin 2α ＝ sin2α＋cos2α cos2α＋2sin αcos α ＝ tan2α＋1 1＋2tan α ＝ －1 3 2＋1 1＋2×－1 3  ＝10 3 .] 3．B [f(x)＝sin4x＋1－sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1 ＝1－sin2xcos2x＝1－1 4sin22x＝1－1 4 ×1－cos 4x 2 ＝1 8cos 4x＋7 8 ∴T＝2π 4 ＝π 2.] 4．A [∵sin4 θ＋cos4 θ＝(sin2 θ＋cos2 θ)2－2sin2 θcos2 θ＝1－1 2sin2 2θ＝5 9 ，∴sin2 2θ＝8 9. ∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝2 2 3 .] 5．C [f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωt＝2sin ωx＋π 6 .因为函数 y＝f(x)的图象与 y＝2 的两个相邻交点 的距离为π，故函数 y＝f(x)的周期为π.所以2π ω ＝π，即ω＝2.所以 f(x)＝2sin 2x＋π 6 .令 2kπ－π 2 ≤2x ＋π 6 ≤2kπ＋π 2 得 2kπ－2π 3 ≤2x≤2kπ＋π 3 ，即 kπ－π 3 ≤x≤kπ＋π 6(k∈Z)．] 6．C [∵m·n＝ 3sin Acos B＋ 3cos Asin B＝ 3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)， ∴ 3sin(A＋B)－cos(A＋B)＝ 3sin C＋cos C＝2sin π 6 ＋C ＝1. ∴sin π 6 ＋C ＝1 2 ， ∴π 6 ＋C＝5 6π或π 6 ＋C＝π 6(舍去)， ∴C＝2 3π.] 7．π 解析 f(x)＝sin2(x＋π 4)－sin2(x－π 4) ＝cos2(π 4 －x)－sin2(x－π 4) ＝cos2(x－π 4)－sin2(x－π 4) ＝cos(2x－π 2)＝sin 2x. ∴T＝π. 8．1－ 2 解析 ∵y＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋ 2sin(2x＋π 4)， ∴ymin＝1－ 2. 9.47 80 解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2 ＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β) ＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136. ∴80sin(α＋β)＝47， ∴sin(α＋β)＝47 80. 10．－1 7 解析 由题意，得 2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π 2 (k∈Z)， ∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π.∴sin 2α＞0. ∴sin 2α＝ 1－cos22α＝4 5. ∴tan 2α＝sin 2α cos 2α ＝－4 3. ∴tan π 4 ＋2α ＝ tanπ 4 ＋tan 2α 1－tanπ 4 tan 2α ＝ 1－4 3 1＋4 3 ＝－1 7. 11．解 (1)由 cos β＝ 5 5 ，β∈(0，π)， 得 sin β＝2 5 5 ，tan β＝2， 所以 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝1. (2)因为 tan α＝－1 3 ，α∈(0，π)， 所以 sin α＝ 1 10 ，cos α＝－ 3 10 ， f(x)＝ 2(sin xcos α－cos xsin α)＋cos xcos β－sin xsin β ＝－3 5 5 sin x－ 5 5 cos x＋ 5 5 cos x－2 5 5 sin x ＝－ 5sin x， 又－1≤sin x≤1，所以 f(x)的最大值为 5. 12．解 (1)f(x)＝sinπ 4xcosπ 6 －cosπ 4xsinπ 6 －cosπ 4x＝ 3 2 sinπ 4x－3 2cosπ 4x＝ 3sin π 4x－π 3 ， 故 f(x)的最小正周期为 T＝2π π 4 ＝8. (2)在 y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于 x＝1 的对称点为(2－x，g(x))． 由题设条件，点(2－x，g(x))在 y＝f(x)的图象上， 从而 g(x)＝f(2－x)＝ 3sin π 4 2－x－π 3 ＝ 3sin π 2 －π 4x－π 3 ＝ 3cos π 4x＋π 3 . 当 0≤x≤4 3 时，π 3 ≤π 4x＋π 3 ≤2π 3 ，因此 y＝g(x)在区间 0，4 3 上的最大值为 g(x)max＝ 3cosπ 3 ＝ 3 2 . 13．A [由 sin x＋2sin x 2 ＝2sin x 2(cos x 2 ＋1)≠0，得 x≠2kπ，k∈Z. ∴f(x)定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}关于原点对称． ∵f(x)＝ sin x sin x＋2sin x 2 ＝ cos x 2 1＋cos x 2 . ∴f(－x)＝ cos－x 2  1＋cos－x 2  ＝ cos x 2 1＋cos x 2 ＝f(x)． ∴函数 f(x)为偶函数． 又 f(x＋2π)＝ cosx＋2π 2 1＋cosx＋2π 2 ＝ cosπ＋x 2  1＋cosπ＋x 2  ＝ －cos x 2 1－cos x 2 ≠f(x)． f(x＋4π)＝ cosx＋4π 2 1＋cosx＋4π 2 ＝ cos2π＋x 2  1＋cos2π＋x 2  ＝ cos x 2 1＋cos x 2 ＝f(x)， ∴函数 f(x)以 4π为周期．] 14．－3 4 解析 由sin 3α sin α ＝sin2α＋α sin α ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos2α＋cos 2α＝13 5 . ∵2cos2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝13 5 ，∴cos 2α＝4 5. ∵α为第四象限角， ∴2kπ＋3π 2 <α<2kπ＋2π，(k∈Z) ∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π，(k∈Z) 故 2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝4 5 ， ∴sin 2α＝－3 5 ，tan 2α＝－3 4.