【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第四章第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第四章第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;‎ cos(α∓β)=cos αcos β±sin αsin β;‎ tan(α±β)=.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin αcos α;‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;‎ tan 2α=.‎ ‎3.三角公式的关系 ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α,β使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(  )‎ ‎(2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定.(  )‎ ‎(3)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.(  )‎ ‎(4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(  )‎ ‎(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√‎ ‎ (教材习题改编)化简cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°的值为(  )‎ A.          B. C.- D.- 解析:选B.法一:原式=cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=.‎ 法二:原式=sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin(72°-42°)=sin 30°=.‎ ‎ (教材习题改编)已知sin(α-kπ)=(k∈Z),则cos 2α的值为(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:选A.由sin(α-kπ)=(k∈Z)得sin α=±.‎ 所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×(±)2=1-=.故选A.‎ ‎ (教材习题改编)已知cos α=-,α是第三象限角,则cos(+α)的值为(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:选A.因为cos α=-,α是第三象限的角,‎ 所以sin α=-=- =-,‎ 所以cos(+α)=cos cos α-sin sin α=×(-)-×(-)=.‎ ‎ (2017·高考江苏卷)若tan=,则tan α=________.‎ 解析:tan α=tan===.‎ 答案: ‎ (教材习题改编)-=________.‎ 解析:原式===tan 30°=.‎ 答案: 三角函数公式的直接应用 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)已知sin=cos,则tan α=(  )‎ A.-1          B.0‎ C. D.1‎ ‎(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈,tan α=2,则cos=__________.‎ ‎【解析】 (1)因为sin=cos,‎ 所以cos α-sin α=cos α-sin α.‎ 所以cos α=sin α.‎ 所以tan α==-1,故选A.‎ ‎(2)因为α∈,tan α=2,‎ 所以sin α=,cos α=,‎ 所以cos=cos αcos +sin αsin =×=.‎ ‎【答案】 (1)A (2) 三角函数公式的应用策略 ‎(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.‎ ‎(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.‎ ‎[注意] 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知sin α=,α∈,则=________.‎ 解析:因为sin α=,α∈,所以cos α=-.‎ 所以==cos α-sin α=-.‎ 答案:- ‎2.设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是________.‎ 解析:因为sin 2α=2sin αcos α=-sin α,‎ 所以cos α=-.‎ 又α∈,所以sin α=,‎ 所以tan α=-.‎ 所以tan 2α===.‎ 答案: 三角函数公式的逆用与变形应用 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)计算的值为(  )‎ A.- B. C. D.- ‎(2)已知θ∈,且sin θ-cos θ=-,则=(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 (1)= ‎===.‎ ‎(2)由sin θ-cos θ=-得sin=,‎ 因为θ∈,所以0<-θ<,‎ 所以cos=.‎ === ‎=2cos=.‎ ‎【答案】 (1)B (2)D ‎(1)三角函数公式活用技巧 ‎①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.‎ ‎②tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.‎ ‎(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 ‎①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.‎ ‎②注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为(  )‎ A.- B. C. D.- 解析:选B.由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1,又A+B∈(0,π),所以A+B=,则C=,cos C=.‎ ‎2.已知cos+sin α=,则sin的值是(  )‎ A.- B. C. D.- 解析:选D.由cos+sin α=,可得cos α+sin α+sin α=,即sin α+cos α=‎ eq f(4r(3),5),所以sin=,sin=,‎ 所以sin=-sin=-.‎ 角的变换 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β等于(  )‎ A. B. C.或 D.或 ‎(2)对于锐角α,若sin=,则cos=________.‎ ‎【解析】 (1)依题意得sin α==,‎ cos(α+β)=±=±.‎ 又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,‎ cos α>cos(α+β).‎ 因为>>-,所以cos(α+β)=-.‎ 于是cos β=cos[(α+β)-α]‎ ‎=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ‎=-×+×=.‎ ‎(2)由于α为锐角,且sin=,可得cos=,那么cos=cos=coscos-sinsin=,于是cos=2cos2-1=2×-1=-.‎ ‎【答案】 (1)A (2)- 利用角的变换求三角函数值的策略 ‎(1)当“已知角”有两个时:一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;‎ ‎(2)当“已知角”有一个时:此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ ‎[注意] 常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知tan(α+β)=1,tan=,则tan的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.tan=tan===.‎ ‎2.若sin=,则cos=(  )‎ A.- B.- C. D. 解析:选A.cos=cos ‎=-cos=-=-.‎ ‎ 两角和、差及倍角公式的逆用和变用 ‎(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.‎ ‎(2)和差角公式变形:‎ sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β,‎ cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β,‎ tan α±tan β=tan(α±β)·(1∓tan α·tan β),‎ ‎(3)倍角公式变形:降幂公式cos2α=,sin2α=,‎ 配方变形:1±sin α=,1+cos α=2cos2,1-cos α=2sin2.‎ ‎ 三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路 ‎(1)角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的拆分与组合的技巧,半角与倍角的相互转化,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,+=,=2×等.‎ ‎(2)名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦.    ‎ ‎1.的值为(  )‎ A.          B. C.- D.- 解析:选B.原式===tan(45°+15°)=.‎ ‎2.(1+tan 18°)·(1+tan 27°)的值是(  )‎ A. B.1+ C.2 D.2(tan 18°+tan 27°)‎ 解析:选C.原式=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°=1+tan 18°tan 27°+tan 45°(1-tan 18°tan 27°)=2,故选C.‎ ‎3.已知sin α+cos α=,则sin2(-α)=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.由sin α+cos α=两边平方得1+sin 2α=,‎ 解得sin 2α=-,‎ 所以sin2(-α)====.‎ ‎4.已知sin=,cos 2α=,则sin α=(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:选C.由sin=得 sin α-cos α=,①‎ 由cos 2α=得cos2α-sin2α=,‎ 所以(cos α-sin α)·(cos α+sin α)=,②‎ 由①②可得cos α+sin α=-,③‎ 由①③可得sin α=.‎ ‎5.已知cos(-2x)=-,则sin(x+)的值为(  )‎ A. B. C.± D.± 解析:选C.因为cos[π-(-2x)]=cos(2x+)=,所以有sin2(x+)=(1-)=,从而求得sin(x+)的值为±,故选C.‎ ‎6.已知cos θ=-,θ∈,则sin的值为________.‎ 解析:由cos θ=-,θ∈得sin θ=-=-,故sin=sin θcos-cos θsin =-×-×=.‎ 答案: ‎7.已知cos=-,则cos x+cos=________.‎ 解析:cos x+cos=cos x+cos x+sin x ‎=cos x+sin x=cos ‎=×=-1.‎ 答案:-1‎ ‎8.计算=________.‎ 解析:====.‎ 答案: ‎9.已知函数f(x)=sin,x∈R.‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)若cos θ=,θ∈,求f的值.‎ 解:(1)f=sin=sin=-.‎ ‎(2)f=sin=sin=(sin 2θ-cos 2θ).‎ 因为cos θ=,θ∈,所以sin θ=.‎ 所以sin 2θ=2sin θcos θ=,‎ cos 2θ=cos2 θ-sin2θ=,‎ 所以f=(sin 2θ-cos 2θ)=×=.‎ ‎10.已知α∈,且sin+cos=.‎ ‎(1)求cos α的值;‎ ‎(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.‎ 解:(1)因为sin+cos=,‎ 两边同时平方,得sin α=.‎ 又<α<π,所以cos α=-=-.‎ ‎(2)因为<α<π,<β<π,‎ 所以-<α-β<.‎ 又由sin(α-β)=-,‎ 得cos(α-β)=.‎ 所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)‎ ‎=-×+×=-.‎ ‎1.-=(  )‎ A.4 B.2‎ C.-2 D.-4‎ 解析:选D.-=-====-4,故选D.‎ ‎2.若α,β都是锐角,且cos α=,sin(α-β)=,‎ 则cos β=(  )‎ A. B. C.或- D.或 解析:选A.因为α,β都是锐角,且cos α=,sin(α-β)=,所以sin α=,cos(α-β)=,从而cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=,故选A.‎ ‎3.=________.‎ 解析:原式= ‎= ‎= ‎==-4.‎ 答案:-4 ‎4.设α为锐角,若cos=,则sin的值为________.‎ 解析:因为α为锐角,cos=,‎ 所以sin=,sin=,cos=,‎ 所以sin=sin ‎=×-×=.‎ 答案: ‎5.若sin=,cos=,且0<α<<β<π,求cos(α+β)的值.‎ 解:因为0<α<<β<π.‎ 所以π<π+α<π,-<-β<0.‎ 又sin=,‎ cos=,‎ 所以cos=-,sin=-,‎ 所以cos(α+β)=sin=sin ‎=sincos-cossin=-.‎ ‎6.已知coscos=-,α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值;‎ ‎(2)求tan α-的值.‎ 解:(1)因为coscos=cossin ‎=sin=-,‎ 所以sin=-.‎ 因为α∈,所以2α+∈,‎ 所以cos=-,‎ 所以sin 2α=sin ‎=sincos-cossin=.‎ ‎(2)因为α∈,所以2α∈,‎ 又由(1)知sin 2α=,所以cos 2α=-.‎ 所以tan α-=-= ‎==-2×=2.‎
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