【数学】2019届一轮复习北师大版第4章三角函数解三角形第6节学案
第6节 正弦定理和余弦定理
最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
[常用结论与微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A. B. C.2 D.3
解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3.
答案 D
3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为( )
A.＋1 B.－1
C.4 D.2
解析 法一 由余弦定理可得(2)2＝22＋a2－2×2×acos，即a2－2a－4＝0，解得a＝＋或a＝－(舍去)，△ABC的面积S＝absin C＝×2×(＋)sin＝×2××(＋)＝＋1，选A.
法二 由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.
答案 A
4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
解析 由正弦定理，得sin B＝＝＝，
结合b0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.判定三角形形状的途径 (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
解析 ∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，
∴由正弦定理得sin C－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
∴cos A(sin B－sin A)＝0，
∴cos A＝0或sin B＝sin A，
∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
∴△ABC为等腰或直角三角形.
答案 D
考点三 和三角形面积有关的问题
【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.
解 (1)由sin A＋cos A＝0及cos A≠0，
得tan A＝－，又0
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