中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义11 一次函数（教师版）
专题 11 一次函数
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 变量与函数
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】
1、 变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、 区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时
y=b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值。
【函数概念的解读】
1、 有两个变量。
2、 一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、 对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量 x 允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值 a，函数对应的值为 b，那么 b 叫做当自变量取值为 a
时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点
1、解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种
表示法叫做解析法。
优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。
缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。
2、 列表法：把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。
缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。
3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。
缺：图像中只能得到近似的数量关系。
【典型例题】
1．（2013·河北中考真题）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：
假设嘉嘉抽到牌的点数为 x，淇淇猜中的结果应为 y，则 y =（ ）
A．2 B．3 C．6 D．x+3
【答案】B
【解析】
依题可得： 2x 6y x 32
．故选 B．
2．（2019·广西中考模拟）下列各曲线中哪个不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：显然 A、B、C 三选项中，对于自变量 x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，y 是 x 的函数；
D、对于 x＞0 的部分值，y 都有二个或三个值与之相对应，则 y 不是 x 的函数；
故选：D．
3．（2019·新疆中考模拟）下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
A，B，D 的图象都满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故 A、B、D 的图象是函数，
C 的图象不满足对于 x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故 C 错误．
故选 C．
4．（2019·浙江中考模拟）用 100 元钱在网上书店恰好可购买 m 本书，但是每本书需另加邮寄费 6 角，购买
n 本书共需费用 y 元，则可列出关系式（ ）
A． 100 0.6y n m
B． 100 0.6y n m
C． 100 0.6y n m D． 100 0.6y n m
【答案】A
【详解】
解：平均每本书价格为 100
m
，
购买 n 本书共需费用 100 0.6y n m
.
故选：A．
5．（2019·浙江中考模拟）已知 y 关于 x 的函数图象如图所示，则当 y＜0 时，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x＜0 B．﹣1＜x＜1 或 x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 或 1＜x＜2
【答案】B
【解析】
y<0 时，即 x 轴下方的部分，
∴自变量 x 的取值范围分两个部分是−1
2.
故选 B.
【考查题型汇总】
考查题型一 确定自变量取值范围
1．（2018·山东中考模拟）函数 y=
1
2x
的自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【答案】D
解：∵函数 y=
1
2x
有意义,
∴x-2 0,
即 x＞2
故选 D
2．（2007·江苏中考真题）在函数
香䁕
中，自变量
的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≤-2 C．x≠-2 D．x≥-2
【答案】C
【解析】
根据题意得：x+2≠0，解得：x≠-2.故选 C．
3．（2019·湖南中考模拟）函数
䁕 香
䁕
中自变量
的取值范围是（ ）
A．
䁕
B．
䁕
C．
‴ 䁕
且
䁕
D．
䁕
且
䁕【答案】B
【详解】
根据题意得：
䁕
䁕 解得：x≤2
故选 B
4．（2019·湖南中考模拟）函数 y＝ 1
2
x
x
中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1 且 x≠2 D．x≠2
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意得：x﹣1≥0 且 x﹣2≠0，
解得 x≥1 且 x≠2．
故选 C．
5．（2012·湖南中考真题）下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x≥3 的是（ ）
A． 1y= x 3 B． 1y=
x 3 C． y=x 3 D． y= x 3
【答案】D
【解析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式
分母不为 0 的条件，要使各函数在实数范围内有意义，必须：
A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3；B、二次根式和分式有意义，x﹣3＞0，解得 x＞3；C、函数式为整
式，x 是任意实数；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得 x≥3。故选 D。
考查题型二 从函数图形中获取信息
1．（2019·吉林中考模拟）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车
上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下
是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是多少米；
（2）小明在书店停留了多少分钟；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
【答案】（1）1500 米；（2）4 分钟; (3)2700 米；共用 14 分钟．
【详解】
(1)根据图象，学校的纵坐标为 1500，小明家的纵坐标为 0，
故小明家到学校的路程是 1500 米；
(2)根据题意,小明在书店停留的时间为从(8 分)到(12 分)，
故小明在书店停留了 4 分钟.
(3)一共行驶的总路程=1200+(1200−600)+(1500−600)=1200+600+900=2700 米；
共用了 14 分钟.
2．（2005·江苏中考真题）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其
中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y(升)与时间 x(分钟)之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问
题：
(1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？
(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升．
①求排水时洗衣机中的水量 y(升)与时间 x(分钟)与之间的关系式；
②如果排水时间为 2 分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．
【答案】（1）洗衣机的进水时间是 4 分钟；清洗时洗衣机中水量为 40 升．（2）排水时间为 2 分钟，排水结
束时洗衣机中剩下的水量为 2 升．
【解析】
解：（1）依题意得洗衣机的进水时间是 4 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 40 升；
（2）①∵洗衣机的排水速度为每分钟 19 升，从第 15 分钟开始排水，排水量为 40 升，
∴y=40-19（x-15）=-19x+325，
②∵排水时间为 2 分钟，
∴y=-19×（15+2）+325=2 升．
∴排水结束时洗衣机中剩下的水量 2 升．
（1）根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间，清洗时洗衣机中的水量；
（2）①由于洗衣机的排水速度为每分钟 19 升，并且从第 15 分钟开始排水，排水量为 40 升，由此即可确
定排水时 y 与 x 之间的关系式；
②根据①中的结论代入已知数值即可求解．
3．（2019·甘肃中考模拟）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会
合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的 2 倍，小颖在小亮出发后 50 分才乘上缆车，缆
车的平均速度为 180 米/分，设小亮出发 x 分后行走的路程为 y 米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中
y 随 x 的变化关系.
（1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分；
（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；
（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？
【答案】（1）3600 ，20；（2）65（米/分），55（米/分）；（3）1100（米）.
【详解】
(1)根据图象可知：小亮行驶的总路程为 3600m，中途休息时间为：50﹣30=20min，
故答案为；3600，20；
(2)观察图象可知小亮休息前走了 30 分钟，1950 米，所以小亮休息前的速度为： 1950 6530
(米/分)，
小亮休息后的速度为： 3600 1950 5580 50
(米/分)，
答：小亮休息前的速度为 65 米/分，休息后的速度为 55 米/分；
(3)缆车到山顶的线路长为 3600÷2=1800 米，
缆车到达终点所需时间为 1800÷180=10 分钟，
小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为 10+50=60 分钟，
80－60＝20(分)，
∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20 55=1100(米)，
答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是 1100 米.
考查题型三 利用函数图形求解实际问题
1．（2019·湖北中考真题）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再
比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输
掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
A、兔子后出发，先到了，不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，而早到终点，符合题意；
C、乌龟先出发后到，不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意，
故选 B．
2．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度 h 与时间t 的
函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升
高的速度；因为 D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是
先快后慢;
故选 D.
3．（2019·安徽中考模拟）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提
起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数 y(单位 N)与铁块被提起的高度 x(单位 cm)
之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据浮力的知识，铁块露出水面前读数 y 不变，出水面后 y 逐渐增大，离开水面后 y 不变。因为小明用弹
簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。故选 C。
4．（2018·陕西中考模拟）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h 随时间 t
的变化规律如图所示（图中 OABC 为折线），这个容器的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应
的排列顺序就为 D．故选 D．
考查题型四 函数模型
1.（2012·浙江中考模拟）某中学九年级甲、乙两班同学商定举行一次远足活动，A、B 两地相离 10 千米，
甲班从 A 地出发匀速步行到 B 地，乙班从 B 地出发匀速步行到 A 地,两班同学各自到达目的地后都就地活
动. 两班同时出发，相向而行. 设步行时间为 x 小时，甲、乙两班离 A 地的距离分别为 y1 千米、y2 千米，
y1、y2 与 x 的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
1）分别求出 y1、y2 与 x 的函数关系式
2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？
【答案】
1）y1=4x，y2=-5x+10．
由图象可知甲班速度为 4km/h，乙班速度为 5km/h，
设甲、乙两班学生出发后，x 小时相遇，则
4x+5x=10，
解得 x=
．（8 分）
2．（2019·天津中考模拟）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程 x（千米）之
间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米时，
司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油
站的路程是多少千米？
【答案】（1）该一次函数解析式为 y=﹣
x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离
加油站的路程是 10 千米．
【详解】（1）设该一次函数解析式为 y=kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入 y=kx+b 中，得
ͷ Ͳ 香 ݇ ͷ
݇ 〱
，解得：
Ͳ
݇ 〱
，
∴该一次函数解析式为 y=﹣
x+60；
（2）当 y=﹣
x+60=8 时，
解得 x=520，
即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升．
530﹣520=10 千米，
油箱中的剩余油量为 8 升时，距离加油站 10 千米，
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是 10 千米．
考查题型五 分段函数的应用
1．（2019·山东中考模拟）某班同学在研究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到相应的数据如下
表：
砝码的质量 x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500
指针位置 y/cm 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5
则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题干内容可得，一次函数过点（0，2）和（100，4）.设一次函数解析式为 y=kx+b，代入点（0,2）和
点（100,4）可解得，k=0.02，b=2.则一次函数解析式为 y=0.02x+2.显然当 y=7.5 时，x=275，故选 B.
2．（2019·湖北中考真题）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出水，容器
内存水8L ，在随后的8min 内既进水又出水，容器内存水12L ，接着关闭进水管直到容器内的水放完.若每
分钟进水和出水量是两个常数，容器内的水量 y （单位： L ）与时间 x （单位： min ）之间的函数关系的
图象大致的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
∵从某时刻开始 4min 内只进水不出水，容器内存水8L ；
∴此时容器内的水量随时间的增加而增加，
∵随后的8min 内既进水又出水，容器内存水12L ，
∴此时水量继续增加，只是增速放缓，
∵接着关闭进水管直到容器内的水放完，
∴水量逐渐减少为 0，
综上，A 选项符合，
故选 A．
3.（2019·北京市通州区姚村中学中考模拟）如图，点 P 是▱ABCD 边上的一动点，E 是 AD 的中点，点 P 沿
E→D→C→B 的路径移动，设 P 点经过的路径长为 x，△BAP 的面积是 y，则下列能大致反映 y 与 x 的函数
关系的图象是（ ）
A． B． C
． D．
【答案】D
【详解】
通过已知条件可知，当点 P 与点 E 重合时，△BAP 的面积大于 0；当点 P 在 AD 边上运动时，△BAP 的底
边 AB 不变，则其面积是 x 的一次函数，面积随 x 增大而增大；当 P 在 DC 边上运动时，由同底等高的三角
形面积不变，△BAP 面积保持不变；当点 P 带 CB 边上运动时，△BAP 的底边 AB 不变，则其面积是 x 的
一次函数，面积随 x 增大而减小；
故选 D．
4．（2019·合肥寿春中学中考模拟）如图, 甲乙两城市相距 600 千米,一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀
速行驶至乙城市,已知货车出发1小时后客车再出发,先到终点的车辆原地休息,在汽车行驶过程中,设两车之
间的距离为 s (千米),客车出发的时间为t (小时),它们之间的关系如图所示,则下列结论：
①货车的速度是 60 千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发
地到终点共用时 7 小时；④客车到达终点时，两车相距180千米.正确的有（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】C
【详解】
由函数图象，得：货车的速度为 60÷1=60 千米/小时，客车的速度为 600÷6=100 千米/小时，故①正确；.
设客车离开起点 x 小时后，两车第一次相遇，根据题意得：.
100x=60+60x，.
解得：x=1.5，.
∴离开起点后，两车第一次相遇时，距离起点为：1.5×100=150（千米），.
故②正确；.
货车从起点到终点共用时为：600÷60=10（小时），.
故③错误；.
∵客车到达终点时，所用时间为 6 小时，货车先出发 1 小时，.
∴此时货车行走的时间为 7 小时，.
∴货车走的路程为：7×60=420（千米），.
∴客车到达终点时，两车相距：600-420=180（千米），故④正确．.
故选 C．
知识点二 一次函数的图形与性质
正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k 为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k 叫做比例系数。
一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b 是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k 叫比例系数。
注意：当 b=0 时，一次函数 y=kx+b 变为 y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定
系数法。
待定系数法求函数解析式的一般步骤：
1、 设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中
2、 解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中
正比例函数图像与一次函数图像特征
b>0 b<0 b=0
k>0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
总结如下：
k>0 时，y 随 x 增大而增大，必过一、三象限。
k>0，b>0 时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）
k>0，b<0 时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）
k>0，b=0 时, 函数的图象经过一、三象限。 （正比例函数）
k<0 时, y 随 x 增大而减小，必过二、四象限。
k<0，b>0 时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）
k<0，b<0 时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）
k<0，b=0 时，函数的图象经过二、四象限。 （正比例函数）
直线 y1=kx＋b 与 y2=kx 图象的位置关系：
1、当 b>0 时，将 y2=kx 图象向 x 轴上方平移 b 个单位，就得到 y1=kx＋b 的图象．
2、当 b<0 时，将 y2=kx 图象向 x 轴下方平移－b 个单位，就得到了 y2=kx＋b 的图象．
k，b 符号与直线 y=kx+b（k≠0）的关系
正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。
一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和
݇
Ͳ 洠
的一条直线。
1、当
݇
Ͳ ‴
,则 k，b 异号，直线与 x 轴交与正半轴
2、当
݇
Ͳ
,则 b=0，直线过原点
3、当
݇
Ͳ
,则 k，b 同号，直线与 x 轴交与负半轴
在两个一次函数表达式中： 直线 l1：y1=k1x＋b1 与 l2：y2=k2x＋b2 的位置关系
k 相同， b 也相同时，两一次函数图像重合；
k 相同， b 不相同时，两一次函数图像平行；
k 不相同，b 不相同时，两一次函数图像相交；
k 不相同，b 相同时， 两一次函数图像交于 y 轴上的同一点（0，b）。
特殊位置关系：直线 l1：y1=k1x＋b1 与 l2：y2=k2x＋b2
两直线平行，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等 。即： bkk 2121 b 且
两直线垂直，其函数解析式中 K 值互为负倒数（即两个 K 值的乘积为-1）。即: 121 kk
直线 l1 与坐标原点构成的三角形面积为 s=
䁕
݇
Ͳ ݇【考查题型汇总】
考查题型六 根据一次函数的概念求字母的值
1．（2018·天津中考模拟）已知函数 y＝（m﹣1）x+m2﹣1 是正比例函数，则 m＝_____．
【答案】-1
【详解】
解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且 m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
2．（2019·吉林中考模拟）若 y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则 m 的值为_____.
【答案】-1
【详解】
由题意得：m−1≠0，|m|=1，
解得：m=−1.
故答案为：−1.
3．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数 y=(m﹣3)x+m2﹣9 是正比例函数，则 m 的值为_______．
【答案】m=﹣3
【解析】
∵y=(m﹣3)x+m2﹣9 是正比例函数，
∴ 2 9 0
3 0
m
m
＝
解得 m=-3．
故答案是：-3.
4．（2015·四川中考真题）已知函数 22 2a by x a b 是正比例函数，则 a= ，b= ．
【答案】 2
3
； 1
3
．
【解析】
根据题意可得： 2 1a b ， 2 0a b ，解得： 2
3a ， 1
3b ．故答案为 2
3
； 1
3
．
5．（2019·锦州市第十九中学初二期中）若 23 my m x m 是一次函数，则 m ______。
【答案】-3
【详解】
∵ 23 my m x m 是一次函数，
∴ 2 1m 且 m-3≠0，
∴m=±3 且 m≠3，
∴m=-3，
故答案是：-3.
考查题型七 解正比例关系的问题
1．（2018·沈阳市第七中学初二期中）已知 y﹣2 与 x 成正比例，且 x＝2 时，y＝﹣6．则 y 与 x 的函数关系
式为_____．
【答案】y＝﹣4x+2．
【详解】
解：设 y﹣2＝kx（k≠0），
则由 x＝2 时，y＝﹣6，
得到：﹣6﹣2＝2k，
解得 k＝﹣4．
则 y 与 x 的函数关系式为：y＝﹣4x+2；
故答案为：y＝﹣4x+2．
2．（2019·平阳县鳌江中学中考模拟）若 y 与 x2﹣1 成正比例，且当 x＝2 时，y＝6，则 y 与 x 的函数关系式
是_____．
【答案】y＝2x2﹣2．
【详解】
设 y＝k（x2﹣1），把 x＝2，y＝6 代入得：k×（22﹣1）＝6，解得：k＝2，所以 y＝2（x2﹣1），即 y＝2x2﹣2．
故答案为 y＝2x2﹣2．
3．（2017·湖南中考模拟）已知 y=y1+y2，其中 y1 与 x 成正比例，y2 与（x﹣2）成反比例．当 x=1 时，y=2；
x=3 时，y=10．求：
（1）y 与 x 的函数关系式；
（2）当 x=﹣1 时，y 的值．
【答案】（1）y 与 x 的函数关系式为 y=3x+ 1
2x
；（2）-10
3 .
【解析】
解：（1）∵y=y1+y2，其中 y1 与 x 成正比例，y2 与（x﹣2）成反比例，
∴设 y1=ax，y2= 2
b
x
，
∴y 与 x 的函数关系式为 y=ax 2
b
x
．
将点（1，2）、（3，10）代入 y=ax 2
b
x
．中，
得： 2
10 3
a b
a b
，解得： 3
1
a
b
，
∴y 与 x 的函数关系式为 y=3x+ 1
2x .
（2）令 x=﹣1，则 y=﹣3﹣ 1
3 =﹣10
3
，
∴当 x=﹣1 时，y 的值为﹣ 10
3
．
考查题型八 一次函数解析式的确定
1．（2017·安徽中考模拟）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出水，在随后的
8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：L）与时间 x（单位：
min）之间的关系如图所示．则 8min 时容器内的水量为（ ）
A．20 L B．25 L C．27L D．30 L
【答案】B
【解析】
试题分析：由图形可得点（4，20）和（12，30），然后设直线的解析式为 y=kx+b，代入可得 4 20{12 30
k b
k b
，
解得
5
{ 4
15
k
b
，得到函数的解析式为 y= 5
4 x+15，代入 x=8 可得 y=25.
故选：B
2．（2017·广东省东莞市中堂星晨学校中考模拟）已知一次函数的图象经过点(－1,2)和(－3,4)，则这个一次
函数的解析式为________．
【答案】 1y x
【解析】
设一次函数解析式为 y=kx+b，
将(−1,2)与(−3,4)代入得： 2{ 3 4
k b
k b
，
解得：k=−1，b=1，
则一次函数解析式为 y=−x+1.
故答案为 y=−x+1
3．（2017·山东中考模拟）如图所示，四边形 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 的坐标分别为(－1，1)、(－1，
－3)、(5，3)、(1，3)，则其对称轴的函数表达式为______________.
【答案】y=－x+2
【解析】
观察可得，四边形 ABCD 的对称轴是线段 AD、BC 的垂直平分线，对称轴与线段 AD、BC 的交点坐标是（0，
2）、（2，0），设对称轴的解析式为 y=kx+b，代入可得
݇ 䁕
䁕Ͳ 香 ݇
，解得 b=2，k=-1，所以对称轴的函数表
达式为 y=－x+2.
4．（2018·安徽中考模拟）若方程组
3
2
1
a b
b c
c a
的解满足 k=a+b+c，求关于 x 的函数 y=kx﹣k 的解析式．
【答案】y=3x﹣3．
【解析】
方程组
3
2
1
a b
b c
c a
中三个方程相加可得 2a+2b+2c=6，
∴a+b+c=3，
又∵k=a+b+c，
∴k=3，
∴把 k=3 代入 y=kx﹣k 得：y=3x﹣3．
考查题型九 函数值大小的比较
1．（2019·河南省实验中学中考模拟）已知点 A（x1， y1)、B(x2， y2)在直线 y=kx+b 上，且直线经过第一、
二、四象限，当 x1＜x2 时，y1 与 y2 的大小关系为________.
【答案】y1>y2
【解析】详解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1 与 y2 的大小关系为：y1＞y2．
故答案为：＞．
2．（2015·江苏中考模拟）点
，
洠
，
䁕
，
䁕洠
是直线
Ͳ 香 ݇ Ͳ ‴ 洠
上的两点，则
䁕
0
（填“>”或“<”）．
【答案】＞．
【解析】
试题分析：根据 k＜0，一次函数的函数值 y 随 x 的增大而减小解答：
∵直线
Ͳ 香 ݇
的 k＜0，∴函数值 y 随 x 的增大而减小．
∵点
，
洠
，
䁕
，
䁕洠
是直线
Ͳ 香 ݇ Ͳ ‴ 洠
上的两点，-1＜3，
∴y1＞y2，即
䁕
＞
．
3．（2018·山东中考模拟）已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线 y＝kx＋b 上，且直线经过第一、三、四象限，
当 x1＜x2 时，y1 与 y2 的大小关系为______________．
【答案】y10
或 ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式 y=ax+b 函数值大于或小于 0 时，自变量 x 的取
值范围。
【考查题型汇总】
考查题型十五 利用一次函数求解方程组或不等式的方法
1．（2019·江苏中考真题）已知一次函数 1 2y kx （k 为常数，k≠0）和 2 3y x ．
（1）当 k＝﹣2 时，若 1y ＞ 2y ，求 x 的取值范围；
（2）当 x＜1 时， 1y ＞ 2y ．结合图像，直接写出 k 的取值范围．
【答案】（1） 5
3x ；（2） 4 1k 且 0k .
【详解】
解：（1）当 2k 时， 1 2 2y x .
根据题意，得 2 2 3x x .
解得 5
3x .
（2）当 x＝1 时，y＝x−3＝−2，
把（1，−2）代入 y1＝kx＋2 得 k＋2＝−2，解得 k＝−4，
当−4≤k＜0 时，y1＞y2；
当 0＜k≤1 时，y1＞y2．
∴k 的取值范围是： 4 1k 且 0k .
2．（2017·湖北中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，存在直线 y1＝2x 和直线 y2＝－x＋3
(1) 直接写出直线 y2＝－x＋3 与坐标轴的交点坐标：__________、__________
(2) 求出直线 y1＝2x 和直线 y2＝－x＋3 的交点坐标
(3) 结合图象，直接写出 0＜y2＜y1 的解集：_________________
【答案】（1）（3，0）（0，3）；（2）交点坐标（1，2）；（3）1＜x＜3
【解析】
（1）令 y=0，得 x=3，令 x=0，得 y=3，所以直线和 x 轴交点为（3，0），和 y 轴交点为（0，3）；
（2）由 2{ 3
y x
y x
，解得 1
2
x
y
，所以两直线交点坐标为（1，2）；
（3）
由图象可知 0＜y2＜y1 的解集为 1＜x＜3.
知识点四 一次函数的实践与探索
考查题型十六 利用数形结合的思想解一次函数应用题
1．（2019·浙江中考真题）如图 1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两
人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度 h（单位：m ）与下行时间 x（单
位： s ）之间具有函数关系 3 610h x ，乙离一楼地面的高度 y （单位： m ）与下行时间 x （单位： s ）
的函数关系如图 2 所示．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．
【答案】（1） 1 65y x （2）甲
【详解】
（1）设 y 关于 x 的函数解析式是 y kx b ，
6
15 3
b
k b
，解得，
1
5
6
k
b
，
即 y 关于 x 的函数解析式是 1 65y x ；
（2）当 0h 时， 30 610 x ，得 20x = ，
当 0y 时， 10 65 x ，得 30x ，
∵ 20 30 ，
∴甲先到达地面．
2．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路
开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟有一班车从入
口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午 7:40 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出
发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林．离入口处的路程 y （米）与时间 x （分)的函数关系如图 2 所示.
（1）求第一班车离入口处的路程 y （米）与时间 x （分）的函数表达式.
（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.
（3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到
草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度
不变）
【答案】（1） 150 3000 20 38y x x .；（2）10 分钟；（3）第 5 班车，7 分钟.
【详解】
（1）解：由题意得，可设函数表达式为： 0y kx b k .
把 20,0 ， 38,2700 代入 y kx b ，得 0 20
2700 38
k b
k b
，
解得 150
3000
k
b
.
∴第一班车离入口处的路程 y （米）与时间 x （分）的函数表达式为 150 3000 20 38y x x .
（2）解：把 1500y 代入 150 3000y x ，解得 30x ，
30 20 10- = （分）．
∴第一班车到塔林所需时间 10 分钟.
（3）解：设小聪坐上第 n 班车.
30 25 10 1 40n ，解得 4.5n ，
∴小聪最早坐上第 5 班车.
等班车时间为 5 分钟，
坐班车所需时间：1200 150 8 （分），
∴步行所需时间： 1200 1500 25 20 （分），
20 8 5 7 （分）．
∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早 7 分钟
考查题型十七 利用转化的思想解一次函数应用题
1．（2019·上海中考模拟）E-learning 即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了 A、B 两种在线
学习的收费方式．A 种：在线学习 10 小时（包括 10 小时）以内，收取费用 5 元，超过 10 小时时，在收取
5 元的基础上，超过部分每小时收费 0.6 元（不足 1 小时按 1 小时计）；B 种：每月的收费金额 y（元）与在
线学习时间是 x （时）之间的函数关系如图所示．
（1）按照 B 种方式收费，当 5x≥ 时，求 y 关于 x 的函数关系式．
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照 A 种方式支付了 20 元，那么在线学习的时间最多是多
少小时？如果该月他按照 B 种方式付费，那么他需要多付多少元？
【答案】(1) 5y x ; (2) 35 小时， 10 元.
【详解】
（1）当 5x 时，设 与 之间的函数关系式是： 0y kx b k
∵它经过点（5，0），（20，15），
∴ 5 0,
20 15
k b
k b
解得 1,
5.
k
b
∴ 5y x ．
（2）按照 A 种收费方式，设小明三月份在线学习时间为 小时，
得 5 10 0.6 20x ．解得 35x ．
当 35x 时， 5 30y x ．
30 20 10 （元）．
答：如果小明 3 月份按照 A 种方式支付了 20 元，那么他三月份在线学习的时间最多
是 35 小时，如果该月他按照 B 种方式付费，那么他需要多付 10 元.
2．（2013·四川中考真题）某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品，在商场试销发现：销售单价 x(元/
件)与每天销售量 y(件)之间满足如图所示的关系：
(1)求出 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每
天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）y＝－x＋180；（2）售价定为 140 元/件时，每天最大利润 W＝1600 元．
【解析】
解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，
130 50
150 30
k b
k b
，解得 1
180
k
b
．
故 y 与 x 的函数关系式为 y=﹣x+180；
（2）∵y=﹣x+180，
∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180）
=﹣x2+280x﹣18000
=﹣（x﹣140）2+1600，
∵a=﹣1＜0，
∴当 x=140 时，W 最大=1600，
∴售价定为 140 元/件时，每天最大利润 W=1600 元．
考查题型十八 利用一次函数最值解决最优化问题
1．（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 x 时所需费用为 y 元，选
择这两种卡消费时，y 与 x 的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y 关于 x 的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
【答案】（1） 20y x甲 ， 10 100y x 乙 （2）见解析
【详解】
（1）设 1y k x甲 ，根据题意得 15 100k ，
解得 1 20k ，
∴ 20y x甲 ；
设 2 100y k x 乙 ，根据题意得：
220 100 300k ，
解得 2 10k ，
∴ 10 100y x 乙 ；
（2）① y y甲 乙 ，即 20 10 100x x ，解得 10x ，当入园次数小于 10 次时，选择甲消费卡比较合算；
② y y甲 乙 ，即 20 10 100x x ，解得 10x ，当入园次数等于 10 次时，选择两种消费卡费用一样；
③ y y甲 乙 ，即 20 10 100x x ，解得 10x ，当入园次数大于 10 次时，选择乙消费卡比较合算．
2．（2019·天津中考模拟）某学校计划组织全校 1441 名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租
用当地租车公司一共 62 辆 A，B 两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客
车的载客量和租金信息：
型号 载客量 租金单价
A 30 人/辆 380 元/辆
B 20 人/辆 280 元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用 A 型号客车 x 辆，租车总费用为 y 元．
（Ⅰ）求 y 与 x 的函数解析式，请直接写出 x 的取值范围；
（Ⅱ）若要使租车总费用不超过 21940 元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费
用是多少？
【答案】(1) 21≤x≤62 且 x 为整数；(2)共有 25 种租车方案，当租用 A 型号客车 21 辆，B 型号客车 41 辆时，
租金最少，为 19460 元．
【详解】
(1)由题意得 y＝380x＋280(62－x)＝100x＋17360，
∵30x＋20(62－x)≥1441，
∴x≥20.1，∴21≤x≤62 且 x 为整数；
(2)由题意得 100x＋17360≤21940，
解得 x≤45.8，∴21≤x≤45 且 x 为整数，
∴共有 25 种租车方案，
∵k＝100>0，∴y 随 x 的增大而增大，
当 x＝21 时，y 有最小值， y 最小＝100×21＋17360＝19460，
故共有 25 种租车方案，当租用 A 型号客车 21 辆，B 型号客车 41 辆时，租金最少，为 19460 元．
考查题型十九 构造一次函数模型解决动态几何问题
1．（2018·温岭市第三中学中考模拟）如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A，
图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则△ABC
的面积是( )
A．10 B．12 C．20 D．24
【答案】B
【详解】
解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，
由图象可知：点 P 从 B 向 C 运动时，BP 的最大值为 5，即 BC=5，
由于 M 是曲线部分的最低点，
∴此时 BP 最小，即 BP⊥AC，BP=4，
∴由勾股定理可知：PC=3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=3，
∴AC=6，
∴△ABC 的面积为： 1
2 ×4×6=12.
故选：B.
2．（2019·黄石市河口中学中考模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速
度沿着边 BC﹣CD﹣DA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边
BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动．设 P 点运动时间为 x（s），△BPQ 的面积为 y（cm2），则 y 关于 x 的
函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得 BQ=x．
①0≤x≤1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x，则△BPQ 的面积= 1
2 BP•BQ，解 y= 1
2 •3x•x= 23
2 x ；故 A 选项错误；
②1＜x≤2 时，P 点在 CD 边上，则△BPQ 的面积= 1
2 BQ•BC，解 y= 1
2 •x•3= 3
2 x ；故 B 选项错误；
③2＜x≤3 时，P 点在 AD 边上，AP=9﹣3x，则△BPQ 的面积= 1
2 AP•BQ，解 y= 1
2 •（9﹣3x）•x= 29 3
2 2x x ；
故 D 选项错误．
故选 C
3．（2018·山东中考模拟）如图，在 ABC 中， 90B ， 3AB cm ， 6BC cm ，动点 P 从点 A 开始
沿 AB 向点 B 以1 /cm s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2 /cm s 的速度移动.若 P ，Q 两点
分别从 A ， B 两点同时出发， P 点到达 B 点运动停止，则 PBQ 的面积 S 随出发时间t 的函数关系图象大
致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，
则△PBQ 的面积 S= 1
2 PB•BQ= 1
2
（3-t）×2t=-t2+3t，
故△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故选 C．
