中考数学三角形复习
考点15 三角形
利川铜锣坝中学 王明利
知识概要
1.三角形概念和分类
(1)概念:在同一平面内,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,叫做三角形.
(2)分类:三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形,等腰三角形包括底和腰不等的三角形和等边三角形;按角分为斜三角形和直角三角形,斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形.
2.三角形的三线(高线、角平分线、中线)
(1)概念
三角形的高线:从三角形的一顶点向其对边作垂线,顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线.
三角形的角平分线:三角形中一个角的平分线与对边相交,交点与顶点间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的中线:连结三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线.
(2)三角形三线的比较
相同点:①都是线段;②都有三条;③三线或延长线都会交于一点.
不同点:锐角三角形三条高都在三角形内部,直角三角形三条高有两条是直角边,钝角三角形三条高有两条高在三角形外部.三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形内部.
3.三角形的性质
(1)边与边的关系:任意两边这和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(2)角与角的关系:
①内角和定理:三角形的三个内角之和等于180º;
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和;
③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
(3)三角形具有稳定性.
4.全等三角形
(1)概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
(2)判定:
①三边对应相等的两个三角形全等(简称为“边边边”或“SSS”);
②两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(简称为“角边角”或“ASA”);
③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简称为“角角边”或“AAS”);
④两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简称为“边角边”或“SAS”);
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等(简称为“斜边和直角边”或“HL”).
(3)性质:
①全等三角形的对应角相等,对应线段(边、高线、角平分线、中线)相等;
②全等三角形的周长相等,面积相等.
5.等腰三角形
(1)概念:有两条边相等的三角形叫等腰三角形.
(2)性质:
①等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”);
②等腰三角形的顶角平分线平分并且垂直于底边(三线合一).
(3)判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角对的边也相等(简称为“等角对等边”).
6.等边三角形
(1)概念:三边相等的三角形叫做等边三角形.
(2)性质:等边三角形的三边相等,三个角都等于60º.
(3)判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形;
②有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形.
7.直角三角形
(1)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)直角三角形的两锐角互余.
(3)直角三角形中,如果有一锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
范例解释
例1 （2008山东威海）若三角形的三边长分别为3，4，x-1，则x的取值范围是
A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6
解 由三角形任意两边之和大于第三边和三角形任意两边之差小于第三边有
解这个不等式得2
∠QPC ∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即DP≠DE
故恒成立的有①②③⑤
点评 本题中的各种关系较为复杂,渗透了很多知识,比如等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行线的判定,等腰三角形的判定,三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和等知识.这在一定程度上给学生造成思维上的障碍,易造成推理上的错误.要对5个结论作出正确的判断,必须熟悉相关知识并会灵活运用.
例4 (2008湖北恩施）如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.
E
D
C
B
A
解: (1)
(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小
(3)如下图所示,作BD=12,过点B作
AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,
连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式
的最小值.
F
E
D
C
B
A
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,
得矩形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=8.
所以AE==13即
的最小值为13.
点评 本道试题新颖,别具匠心.它集观察与探究、归纳与发现、
运用与推广于其中,主要考查了直角三形的有关知识,同时也考查了数形结合的重要数学思想,是一道代数与几何的综合试题,但试题难度不是很大,三个问题由浅入深,循序渐进,由特殊到一般,从归纳发现到推广运用环环相扣,引导学生一步一步地去完成.是值得参加升学考试的学生关注的题型.
D
(1)
(2)
A
C
B
E
D’
E’′′′′′′′′′′′
A
C
B
E
D
l
(3)
l
D’
F’
A
C
B
E
D
(4)
A
C
B
E
D
l
E’
C’
例5 （2008湖北荆门）将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点
C旋转的度数=______；
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．
解 (1) 3-；
(2)30°；
(3)证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC, D’ B=D’ C-BC，
又AC=D’ C,EC=BC，∴AE=D’ B．
又 ∠AEF=∠D’ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD’E=30°，
∴△AEF≌△D’ BF．∴AF=FD’．
点评 这是一道以两块全等的含30º的三角尺为工具的操作题,涉及到旋转和翻折,解决动态几何题要善于从“动”中求“静”,从变中探索不变.解决此题时要注意的是，在旋转和翻折的过程中,三角尺只是位置的变化，其形状大小没有改变.动态几何题也是近年来中考命题的热点.
例6 （2008浙江杭州）如图，在等腰ΔABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F.
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG
（点E与点F重合于点G），记ΔABC和ΔABG的面积分别
为SΔABC和SΔABG，如果存在点P，能使SΔABC=SΔABG，求∠C的
取值范围.
解 (1) ∵△是等腰△，是底边上的高线，∴，
又∵, ∴△ ≌△，
∴, 即;
(2) ∵, ，,
∴△ ≌△，∴;
(3) 由(2)知△是以为底边的等腰△，∴ 等价于，
1）当∠为直角或钝角时，在△中，不论点在何处，均有，所以结论不成立;
2）当∠为锐角时， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此时，∠180°–2∠，只须180°–2∠∠，
解得 60°∠ 90°. (也可在中通过比较和的大小而得到结论)
点评 本题是一道几何存在性探究题,还重视了分类讨论等数学方法的考查.第(1)题并不难,只需证明△ ≌△即可.第(2)题运用第(1)题的结论证明△ ≌△得证.第(3)题要分两种情况讨论: 1）当∠为直角或钝角时; 2）当∠为锐角时.从而得到不同的结果.
巩固训练
一、选择题
A
B
C
D
E
1. （2008浙江丽水）如图，在三角形中，＞，、分别是、上的点，△沿线段翻折，使点落在边上，记为．若四边形是菱形，则下列说法正确的是( )
A. 是△的中位线
B. 是边上的中线
C. 是边上的高
D. 是△的角平分线
C
A
D
P
B
2. (2008湖南邵阳)如图，点是上任意一点， ，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ）
A．
B．
C．
C
B
A
D．
3.（2008黑龙江大庆）如图，在中，， 点为所在平面内一点，且点与的
任意两个顶点构成均是等腰
三角形，则满足上述条件的所有点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
4.（2008湖北十堰）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．1cm，2 cm，3cm B．2cm，3 cm，6 cm
C．4cm，6 cm，8cm D．5cm，6 cm，12cm
5. （2008湖北十堰）如图，将ΔPQR向右平
移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
则顶点P平移后的坐标是( )
A． (-2,-4) B． (-2,4)
C．(2,-3) D．(-1,-3)
6. （2008山东烟台）如图，在Rt△ABC内有边
长分别为的三个正方形，则满足
的关系式是（ ）
A、 B、
C、 D、
7. (2008浙江杭州)如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…，Pn-1，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Qn-1，再记直角三角形
OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，
这样就有，，…；
记W=S1+S2+…+Sn-1，当n越来越大时，你猜
想W最接近的常数是( )
A. B. C. D.
二、填空题
8. （2008浙江湖州）已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为 度
9.（2008四川资阳）如图4，□ABCD中，
对角线AC、BD交于点O，请你写出
其中的一对全等三角形_________________．
B
C
F
EA
D
A
10.(2008湖北天门）如图，已知AE＝CF，
A
D
B
C
D
∠A＝∠C，要使△ADF≌△CBE，还需
添加一个条件______________________
(只需写一个)．
11.（2008湖北黄冈）如图，和
都是边长为2的等边三角形，
点在同一条直线上，连接
，则的长为 ．
12.（2008广东肇庆）如图3，P是∠AOB
C
A
B
D
的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，
PD⊥OB于点D，写出图中一对相等
的线段（只需写出一对即可）
.
13.（2008湖北鄂州）如图，在中，，
于点，已知，则高
的长为 ．
14.（2008山东荷泽）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小
正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的
正三角形，……如此继续下去，结果如下表．
所剪次数
1
2
3
4
…
n
正三角形个数
4
7
10
13
…
an
则an＝ （用含n的代数式表示）
三、解答题
15. (2008广东肇庆)如图4， E、F、G分别是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点.
（1） 图中有多少个三角形？
（2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明.
16. （2008湖北宜昌）如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．
（1）请你在图中作出点E和点F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）
（2）连接AE，AF．若∠ABC＝∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．
17. (2008河南省)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”
图①
图②
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
A
G
C
F
E
B
D
图2
18. (2008北京市)已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
A
G
C
F
E
B
D
图1
（1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；
A
C
B
备用图
A
C
B
备用图
（2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
单元测试
D
C
B
A
E
H
一、选择题(每小题3分,共24分)
1. （2008新疆乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm
和 6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
2. （2008湖北鄂州）如图，已知中，，
，是高和 的交点，则线段的
长度为（ ）
A． B．4
C． D．5
3. 2008湖北宜昌）如图，已知△ABC的顶点B的坐标是(2，1)，将
△ABC向左平移两个单位后，点B平移到B1，则B1的坐标是（ ）．
A．(4， 1) B．(0，1)
C．(－1，1) D．(1，0)
4. （2008四川成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，
还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能
添加的一组条件是( )
A.∠B=∠E,BC=EF B.BC=EF，AC=DF
C.∠A=∠D，∠B=∠E D.∠A=∠D，BC=EF
A
D
E
B
C
5. （2008山西太原）如图，在中，
分别是边的中点，已知
，则的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
6. （山东淄博）如图，由4个小正方形组成的田字格中，
△ABC的顶点都是小正方形的顶点。在田字格上画
与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形
的顶点，则则这样的三角形（不包含△ABC本身）
共有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7. (2008广东汕头)已知的三边长分别为5，13，12，
则的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
8. (2008山东济宁)如图，是等腰直角三角形，
是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与
重合，如果，那么的长等于（ ）
A． B．
C． D．
C
B
A
二、填空题(每小题3分,共24分)
9. （2008赤峰）如图，是一块三角形木板的残余部分，
量得，，这块三角形木板另外
B C
A
D
E
一个角是 度．
10. （2008甘肃白银）已知等腰三角形的一条腰长是5，
底边长是6，则它底边上的高为 ．
11. （2008福建宁德）如图是一副三角尺拼成图案，
则∠AEB＝_________°
12. （2008彬州）如图，D是AB边上的中点，将
沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，
若，则 __________度．
13. （2008盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上
的高剪开，可以拼成不同形状的四边形．试写出
其中一种四边形的名称 ．
14. （2008黑龙江绥化）如图，，
D
O
C
B
AB
请你添加一个条件： ，使
（只添一个即可）．
15. （2008四川达州）如图所示，边长为2的等边三
角形木块，沿水平线滚动，则点从开始至结束
B F C
A H D
E G
所走过的路线长为 （结果保留准确值）．
B
A
C
A
B
C
A
16.（2008福建宁德）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.
三、解答题(72分)
A
C
E
D
B
17.(8分) (2008北京市)已知：如图，为上一点，点分别在两侧．，，．
求证：
18.(8分)（2008福建泉州）已知：如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF。
求证：△ABC≌△DEF
19.(8分)（2008湖北宜昌）如图，某种雨伞的伞面可以看成由12块完全相同的等腰三角形布料缝合而成，量得其中一个三角形OAB的边OA＝OB＝56cm．
（1）求∠AOB的度数；
（2）求△OAB的面积．（不计缝合时重叠部分的面积）
B
E
D
A
C
20.(8分) （2008新疆乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式：①，②，③，④．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：是等腰三角形．
证明：
21. (8分) （2008广东东莞）（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO
为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.
B
A
O
D
C
E
图2
C
B
O
D
图1
A
22.(10分) (2008浙江台州)经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且．
（1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题：
①如图1，若，，
则 ； （填“”，“”或“”）；
②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
A
B
C
E
F
D
D
A
B
C
E
F
A
D
F
C
E
B
（图1）
（图2）
（图3）
（2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
23. (10分)（2008四川资阳）阅读下列材料，按要求解答问题：
如图1，在ΔABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．小明通过以下计算：由题意，
∠B＝30°，∠C＝90°，c＝2b，a＝b，得a2－b2＝(b)2－b2＝2b2＝b·c．即
a2－b2＝ bc．于是，小明猜测：对于任意的ΔABC，当∠A＝2∠B时，关系式a2－b2＝bc都成立．
（1）如图2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；
（2）如图3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；
（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A＝2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．
图1
图2
图3
24.(12分)(2008湖北恩施) 如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和
AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.
G
图1
F
E
D
C
B
A
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
G
y
x
图2
O
F
E
D
C
B
A
