【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第二章 第8讲 函数与方程学案
第8讲 函数与方程
一、知识梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图像
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
两个
一个
零个
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、教材衍化
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3个零点．故选B.
2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C.和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.
3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．
解析：由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
二、易错纠偏
(1)错用零点存在性定理；
(2)误解函数零点的定义；
(3)忽略限制条件；
(4)错用二次函数在R上无零点的条件．
1．函数f(x)＝x＋的零点个数是______．
解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点．
答案：0
2．函数f(x)＝x2－3x的零点是______．
解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，
即x＝0和x＝3.
答案：0和3
3．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．
解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8
0，
所以x0所在的区间是(1，2)．
答案：(1，2)
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．
(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
函数零点的个数(师生共研)
(1)函数f(x)＝的零点个数是______．
(2)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为______．
【解析】 (1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
(2)f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．
【答案】 (1)2 (2)2
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．
当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.
则ex＝－x＋3.
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．
又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为______．
解析：由f(x)＝0，得|log0.5x|＝，作出函数y1＝|log0.5x|和y2＝的图象，
由右图知两函数图象有2个交点，
故函数f(x)有2个零点．
答案：2
函数零点的应用(多维探究)
角度一 根据函数零点个数求参数
(2020·安徽合肥二模)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪{0} D．(0，1]
【解析】 令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2 )，由f′(x)<0得ex(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－20，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
3．(2020·福建晋江四校联考)设函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选C.令m(x)＝log3x＋x－3，则函数m(x)＝log3x＋x－3的零点所在的区间即为函数y＝log3x与y＝3－x的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m(x)＝log3x＋x－3递增且连续，且满足m(2)m(3)<0，所以m(x)＝log3x＋x－3的零点在(2，3)内，从而可知方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y＝log3x与y＝3－x的图象交点的横坐标x0所在的区间是(2，3)．故选C.
4．(2020·河南焦作统考)已知函数f(x)＝则函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由题知函数f(x)＝在(－6，＋∞)上有零点，则
eq blc{(avs4alco1(x≥0，,2x－x2＝0))或解得x＝2或x＝4或x＝e－6，即函数f(x)在(－6，＋∞)上的零点个数为3.故选C.
5．(2020·河北张家口模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝f(x)－mx恰有三个零点，则实数m的取值范围是( )
A. B．
C．(0，1) D．
解析：选A.g(x)有三个零点，即y＝f(x)与y＝mx的图象有三个交点，作出y＝f(x)和y＝mx的图象如图．当y＝mx与y＝f(x)相切时，设切点坐标为(x0，ln x0)，则解得m＝.则当00)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当00，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故选B.
2．(2020·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于( )
A．1 B．－1
C．e D．
解析：选A.考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A.
3．(2020·湘赣十四校联考)已知函数f(x)＝，有且只有1个零点，则实数a的取值范围是______．
解析：当a>0时，函数y＝ax－3(x>0)必有一个零点，又因为－<0，故a＋2＋a>0，解得a>1；当a＝0时，f(x)＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f(x)＝ax－3<0，若x≤0，则f(x)＝ax2＋2x＋a，此时，f(x)恒小于0，所以当a<0时，f(x)无零点，故答案为a＝0或a>1.
答案：a＝0或a>1
4．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：
在同一平面直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝a|x|的图象可知，若满足条件，则a＞0.
当a≥2时，在y轴右侧，两函数图象只有一个公共点，
此时在y轴左侧，射线y＝－ax(x≤0)与抛物线y＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)需相切．
由消去y，
得x2＋(5－a)x＋4＝0.
由Δ＝(5－a)2－16＝0，解得a＝1或a＝9.
a＝1与a≥2矛盾，a＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意．
当0＜a＜2，此时，在y轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a＜－1，即a＞1.故1＜a＜2.
答案：(1，2)
5．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得
g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
6．设函数f(x)＝，x∈R且x≠1.
(1)求f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)的值；
(2)就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)＋x＝m在x∈[2，3]上解的个数．
解：(1)根据题意，函数f(x)＝，则f＝＝＝－，
则f(x)＋f＝0，
则f＋f＋f＋f＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝f＋f(10)＋f＋f
(8)＋f＋f(6)＋f＋f(4)＝0.
(2)根据题意，设g(x)＝f(x)＋x＝＋x＝(x－1)＋＋2，
令t＝x－1，又由x∈[2，3]，则t∈[1，2]，
则设h(t)＝t＋＋2，有h′(t)＝1－＝，
分析可得，在区间[1，)上，h(t)递减，在区间[，2]上，h(t)递增；
则h(t)在[1，2]有最小值h()＝2＋2，
且h(1)＝h(2)＝5，
则函数h(t)在区间[1，2]上有最大值5，最小值2＋2，
方程f(x)＋x＝m的解的个数即为函数g(x)与直线y＝m的交点个数，
分析可得，当m＜2＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；
当m＝2＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解；
当2＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；
当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；
综上可得，当m＜2＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解；
当m＝2＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解；
当2＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．
