高中数学人教a版选修1-2学业分层测评4演绎推理word版含解析

高中数学人教a版选修1-2学业分层测评4演绎推理word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．(2016·保定高二检测)下面几种推理中是演绎推理的为( ) A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B．猜想数列 1 1×2 ， 1 2×3 ， 1 3×4 ，…的通项公式为 an＝ 1 nn＋1(n∈N＋) C．半径为 r 的圆的面积 S＝πr2，则单位圆的面积 S＝π D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐 标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 【解析】 A，B 为归纳推理，D 为类比推理，C 为演绎推理． 【答案】 C 2．已知△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b. 证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推 理的( ) A．大前提 B．小前提 C．结论 D．三段论 【解析】 结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三 角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提． 【答案】 B 3．“因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，而 y＝log1 3x 是对数函数(小 前提)，所以 y＝log1 3x 是增函数(结论)．”上面推理错误的是( ) A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 【解析】 大前提 y＝logax 是增函数错误，当 0BC，CD 是 AB 边上的高，求证：∠ACD> ∠BCD”． 图 217 证明：在△ABC 中， 因为 CD⊥AB，AC>BC，① 所以 AD>BD，② 于是∠ACD>∠BCD.③ 则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)． 【解析】 由 AD>BD，得到∠ACD>∠BCD 的推理的大前提应是“在同一 三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而 AD 与 BD 不在同一三角形中， 故③错误． 【答案】 ③ 三、解答题 9．用三段论证明通项公式为 an＝cqn(c，q 为常数，且 cq≠0)的数列{an}是 等比数列． 【证明】 设 an＋1，an 是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项 的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)， 因为an＋1 an ＝cqn＋1 cqn ＝q(常数)(小前提)， 所以{an}是等比数列．(结论) 10．已知 a>0 且函数 f(x)＝2x a ＋a 2x 是 R 上的偶函数，求 a 的值． 【解】 由于 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)对 x∈R 恒成立，即2－x a ＋ a 2－x ＝ 2x a ＋a 2x ，所以 1 a·2x ＋a·2x＝2x a ＋ a 2x ，整理得 a－1 a (2x－2－x)＝0，必有 a－1 a ＝0.又因 为 a>0，所以 a＝1. [能力提升] 1．(2016·海淀区模拟)下面是一段“三段论”推理过程：若函数 f(x)在(a，b) 内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0 恒成立．因为 f(x)＝x3 在(－1,1)内可 导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0 恒成立．以上推理中( ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误 【解析】 f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0 恒成立， 故大前提错误，选 A. 【答案】 A 2．设⊕是 R 内的一个运算，A 是 R 的非空子集．若对于任意 a，b∈A，有 a⊕b∈A，则称 A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等 于零)四则运算都封闭的是( ) A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集 【解析】 A 错，因为自然数集对减法不封闭；B 错，因为整数集对除法不 封闭；C 对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对 加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、 减、乘、除法都不封闭． 【答案】 C 3．(2016·西城高二检测)若 f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且 f(1)＝2，则f2 f1 ＋ f4 f3 ＋…＋f2 018 f2 017 ＝________. 【解析】 ∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)． 令 b＝1，则fa＋1 fa ＝f(1)＝2(小前提)． ∴f2 f1 ＝f4 f3 ＝…＝f2 018 f2 017 ＝2(结论)， ∴原式＝2＋2＋…＋ 21 009 个 ＝2 018. 【答案】 2 018 4 ． 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 ＝ a≠ 1 4 ， 且 an ＋ 1 ＝ 1 2an，n 为偶数， an＋1 4 ，n 为奇数. 记 bn＝a2n－1－1 4 ，n＝1,2,3，…. (1)求 a2，a3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论． 【解】 (1)a2＝a1＋1 4 ＝a＋1 4 ， a3＝1 2a2＝1 2a＋1 8. (2)∵a4＝a3＋1 4 ＝1 2a＋3 8 ， ∴a5＝1 2a4＝1 4a＋ 3 16. ∴b1＝a1－1 4 ＝a－1 4 ≠0， b2＝a3－1 4 ＝1 2 a－1 4 ， b3＝a5－1 4 ＝1 4 a－1 4 . 猜想{bn}是公比为1 2 的等比数列． 证明如下： ∵bn＋1＝a2n＋1－1 4 ＝1 2 a2n－1＋1 4 －1 4 ＝1 2 a2n－1－1 4 ＝1 2bn(n∈N*)， ∴{bn}是首项为 a－1 4 ，公比为1 2 的等比数列.