【数学】2019届一轮复习北师大版考点纵横——大常考考点之神思妙解学案文
三、考点纵横——6大常考考点之神思妙解
常考点1 最值问题的5大解法
方法1 函数法
(1)利用已知函数性质求最值
根据已知函数解析式,直接利用基本初等函数的性质(单调性、奇偶性等)是函数法的主要类型之一.
典例1 函数y=cos 2x+2cos x的最小值是 .
思路点拨 利用余弦倍角公式转化为关于cos x的二次函数在闭区间上的最值.
答案 -
解析 y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1
=2-,
当且仅当cos x=-时,函数取得最小值-.
(2)构建函数模型求最值
很多最值问题需要先建立函数模型,然后使用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量,利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是一个角度(如果使用弧度制实际上也可以看作一个实数),还可以是一个变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域.
典例2 在△ABC中,点D满足=,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是( )
A. B. C. D.
思路点拨 根据点E在线段AD上移动,利用共线向量定理设出变量x,建立求解目标关于x的函数关系后利用函数性质求解.
答案 C
解析 设=x(0≤x≤1),
因为=+=+=+(-)=+,所以=x+x,
又=λ+μ,且,不共线,所以λ=x,μ=x,
所以t=(λ-1)2+μ2=+=(5x2-4x+8),在x=时取得最小值.故选C.
方法2 不等式法
(1)利用基本不等式求最值
基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:①基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;②变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件.
典例3 已知圆O的半径为1,HM,HN为该圆的两条切线,M,N为两切点,那么·的最小值为 .
思路点拨 以∠OHM为变量建立求解目标的函数关系后,通过变换使用基本不等式.
答案 2-3
解析 连接OH,OM,ON,设∠OHM=∠OHN=θ,0<θ<,则||=||=,
所以·=||·||·cos 2θ
===
==
=(1-cos 2θ)+-3≥2-3,
当且仅当1-cos 2θ=,即cos 2θ=1-时等号成立.
(2)建立求解目标的不等式求最值
把求解目标归入一个不等式,通过解不等式得出目标的最值,是求最值的常用方法之一.
典例4 在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是 .
思路点拨 根据直线与圆的位置关系建立关于k的不等式,解不等式得k的取值范围即可得出其最小值.
答案 -
解析 圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,
由题意知只要圆C的圆心(4,0)到直线kx-y+2=0的距离不大于2即可,即≤2,
解得-≤k≤0,故k的最小值为-.
典例5 已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),c>0,且c2=a2-b2.若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的最大值为 .
思路点拨 根据椭圆与圆的位置关系,建立关于e的不等式即可求出e的最大值.
答案
解析 由题意得可得结合e∈(0,1),可得0
0, f(x)单调递增,
当x>2时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
所以f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4,
又f '(n)=-3n2+6n在[-1,1]上单调递增,
所以f '(n)的最小值为f '(-1)=-9.
故[f(m)+f '(n)]min=f(m)min+f '(n)min=-4-9=-13.
(2)构造函数利用导数求最值
不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值,需要通过构造函数求函数最值,而求函数最值中导数方法是最有效的.注意使用导数求函数最值的基本步骤.
典例7 已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.若存在x∈(e是自然对数的底数,e=2.718 28…)使不等式2f(x)≥g(x)成立,求实数a的最大值.
思路点拨 2f(x)≥g(x)可变形为a≤2ln x+x+,x∈,由题意可知a小于或等于2ln x+x+的最大值,从而将问题转化为求函数h(x)=2ln x+x+,x∈的最大值问题.
解析 由题意知2xln x≥-x2+ax-3,x∈,即a≤2ln x+x+,x∈
令h(x)=2ln x+x+,x∈,则h'(x)=+1-=,当x∈时,h'(x)<0,此时h(x)单调递减;
当x∈(1,e]时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增.
所以h(x)max=max,
因为存在x∈,使2f(x)≥g(x)成立,
所以a≤h(x)max,又h=-2++3e,h(e)=2+e+,
所以h-h(e)=-4+2e->0,
故h>h(e),所以a≤+3e-2.
即a的最大值为+3e-2.
方法4 数形结合法
(1)曲线上的点与直线上点的距离的最值
求与直线不相交的曲线上的点与该直线上的点的距离的最值的最直观方法就是“平行切线法”(数形结合思想的具体体现).
典例8 设点P在曲线y=x2+1(x≥0)上,点Q在曲线y=(x≥1)上,则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
思路点拨 根据图象的对称性转化为求曲线上的点与直线上的点之间的最近距离.
答案 B
解析 在同一坐标系中分别画出两个函数的图象(图略),可知两个函数的图象关于直线y=x对称.考虑函数y=x2+1(x≥0)图象上某点处斜率为1的切线的切点坐标,由y'=2x=1,得x=,进而y=,即函数y=x2+1(x≥0)图象上在点处的切线斜率等于1,该点到直线x-y=0的距离为=,这个距离的二倍即为所求的最小值,即|PQ|的最小值为.故选B.
(2)根据求解目标的几何意义求最值
把求解目标的代数表达式赋予其几何意义,就可以把代数问题转化为几何问题、函数问题.常见的目标函数的几何意义有:两点连线的斜率、两点间的距离等.
典例9 (1)(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
(2)已知实数a,b,c,d满足==1,其中e是自然对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )
A.4 B.8 C.12 D.18
思路点拨 (1)点(x,y)为平面区域内的动点,x2+y2的几何意义是动点到坐标原点的距离的平方.
(2)将(a,b),(c,d)看作点的坐标,则这两个点各自在一条曲线与一条直线上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方.
答案 (1)C (2)B
解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),
x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.
(2)由==1,得b=a-2ea,d=-c+2.(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线y=x-2ex上的点(a,b)与直线y=-x+2上的点(c,d)的距离的平方.对y=x-2ex求导,得y'=1-2ex,令1-2ex=-1,解得x=0,故曲线y=x-2ex在x=0处的切线的斜率等于-1,此时切点坐标为(0,-2),该点到直线y=-x+2的距离即为曲线y=x-2ex与直线y=-x+2上点距离的最小值,此时的最小距离为=2,故所求的最小值为(2)2=8.
方法5 构造法
(1)构造函数求最值
任意实数a,b,当b≠0时,一定存在实数λ,使得a=λb,用它可以把某些以比值形式出现的二元不等式转化为一元不等式.
典例10 若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )
A.2 B. C. D.
思路点拨 分离参数后转化为函数的最值问题,对含变量x,y的表达式构造函数,求函数最值.
答案 D
解析 不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立等价于a≥恒成立,即a≥.
令y=tx,则=.
令m=1+2t(m>1),则t=,
则===.
≤=,
故a≥.故a的最小值为,选D.
(2)构造模型求最值
根据求解目标的特点,通过联想已知知识构造恰当的模型(如正方形、正方体、函数、数列等)求解最值.
典例11 函数y=+的最小值为 .
思路点拨 联想两点间的距离公式,构造平面直角坐标系中的一个图形模型,根据几何意义求解.
答案
解析 将函数化为y=+,则问题可以转化为在x轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点距离之和最小的几何模型问题.
将点A(1,1)关于x轴对称,得A'(1,-1),连接A'B交x轴于点P,则线段A'B的长就是所求的最小值,即|A'B|==.故填.
常考点2 范围问题的6大解题妙招
方法1 构建函数模型法
选定一个变量建立求解目标的函数关系式,利用函数的性质得出其取值范围,这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法.
典例1 (1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,两曲线在第一象限的交点记为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)在锐角△ABC中,AC=6,B=2A,则BC的取值范围是 .
思路点拨 (1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c,以其为变量建立求解目标的函数关系式,然后求解;(2)求出角A的取值范围,以其为变量表示出BC,利用三角函数性质得出其范围.
答案 (1)C (2)(2,3)
解析 (1)根据已知可知|PF2|=2c,在椭圆中,根据定义知2c+10=2a1,a1=c+5,则离心率e1=,在双曲线中,根据定义知10-2c=2a2,a2=5-c,则离心率e2=.由于P,F1,F2三点构成三角形,所以2c+2c>10,即c>,根据10-2c=2a2>0可得0.故选C.
(2)根据正弦定理,得=,又B=2A,
所以=,所以BC=.
由于△ABC为锐角三角形,所以B=2A<,即A<,
又A+B=3A>,所以A>,所以1时, f(x)>ln x恒成立,求实数a的取值范围.
思路点拨 分离参数后,转化为求函数的最值问题.
解析 依题意知f(x)-ln x>0,即x2+aln x-ln x>0,
∴(a-1)ln x>-x2,∵x>1,∴ln x>0,∴a-1>,
∴a-1>.
令g(x)=,则g'(x)=,
令g'(x)=0,解得x=,
当10,g(x)在(1,)上单调递增;
当x>时,g'(x)<0,g(x)在(,+∞)上单调递减.
∴g(x)max=g()=-e,
∴a-1>-e,即a>1-e,即a的取值范围是(1-e,+∞).
方法3 参数与变量整体处理法
当参数与变量交织在一起,分离参数不方便时,把参数作为常数,构成一个含参数的函数、不等式、方程等,根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件,得出其取值范围.
典例4 已知函数f(x)=x+-2aln x在区间(1,2)内是增函数,则实数a的取值范围是 .
思路点拨 由题意知f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立,结合函数图象分类讨论其成立时a的取值范围.
答案
解析 f '(x)=1--=.
函数f(x)在区间(1,2)内是增函数等价于f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,即x2-2ax-3a2≥0在(1,2)上恒成立.
令g(x)=x2-2ax-3a2.当a≤1时,g(x)在(1,2)上单调递增,只要g(1)=1-2a-3a2≥0,解得-1≤a≤;
当1m对任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. B. C.(-∞,) D.(-∞,2)
思路点拨 根据两点间的距离公式得出(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义,然后求解.
答案 A
解析 式子(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义是直线y=x上的点(x,x)到曲线y=ln x上的点(a,ln a)距离的平方.y=ln x的导函数为y'=,令=1,得x=1,即曲线y=ln x上横坐标为1的点处的切线平行于直线y=x,此时切点(1,0)到直线y=x的距离最小,最小值为,此即为曲线y=ln x上的点与直线y=x上点的距离的最小值,所以[(x-a)2+(x-ln a)2]min=,不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,只需m<,故m的取值范围是.故选A.
方法5 转化为参数与函数值比较法
(1)参数与函数的最值比较
求不等式恒成立、等式恒成立等问题中参数范围的主要方法之一就是化为参数与函数最值的比较,得出参数满足的不等式求得其范围.
典例7 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x∈(0,2]时, f(x)=当x∈(0,4]时,t2-≤f(x)≤3-t恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.[1,2] B. C. D.[2,+∞)
思路点拨 由题意知t2-t≤f(x)min且f(x)max≤3-t.
答案 A
解析 易知函数f(x)在(0,2]上的值域为∪.当x∈(2,4]时, f(x)=2f(x-2)-2,其中x-2∈(0,2],故函数f(x)在(2,4]上的值域为∪[-1,0].
综上可知,函数f(x)在(0,4]上的最小值为-,最大值为1.不等式t2-≤f(x)≤3-t对x∈(0,4]恒成立等价于t2-t≤f(x)min且f(x)max≤3-t,
即t2-t≤-且1≤3-t,
即1≤t≤且t≤2,即1≤t≤2.
故实数t的取值范围是[1,2].故选A.
(2)参数与函数值域的端点值比较
在函数、数列问题中有些函数不存在最值,该类问题中参数值就要与值域的端点值进行比较,值得注意的是“等号”能否取得.
典例8 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn0,设a,b的夹角为θ,则4|b|2-4×2|b|·|b|·cos θ>0,
即cos θ<,由于θ∈[0,π],所以θ∈.故选B.
典例11 若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是 .
思路点拨 f '(x)有且只有一个变号零点.
答案
解析 f '(x)=4x3-3ax2+2x=x(4x2-3ax+2),函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且只有一个极值点的充要条件是函数y=4x2-3ax+2不存在变号零点,即9a2-32≤0,解得-≤a≤.
(2)利用基本不等式
基本不等式是求最值和范围问题最常用的工具之一,在使用时注意使用条件(一正、二定、三相等).
典例12 若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则+的取值范围是( )
A.(3.5,+∞) B.[1,+∞)
C.(4,+∞) D.(4.5,+∞)
思路点拨 利用指数函数与对数函数图象的特点,得出m+n=4,进行常数代换后利用基本不等式求解.
答案 B
解析 直线y=x与直线y=4-x的交点坐标为(2,2),函数y=ax,y=logax与直线y=4-x的交点关于点(2,2)对称,所以两个函数零点之和为4,即m+n=4,所以+=(m+n)·=≥×(2+2)=1,其中当a=时可以使m=n=2,故可以取得等号,即+的取值范围是[1,+∞).故选B.
(3)建立求解目标的不等式(组)
建立求解目标的不等式(组),通过解不等式(组)得出求解目标的取值范围是求解范围问题的一个基本方法,很多问题均可使用这个方法解决,如一元二次方程的实根问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题等.
典例13 (1)已知实数x,y满足若不等式ax-y≤3恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,4] B.
C. D.[2,4]
(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,过点A的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,若|PQ|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的取值范围是 .
思路点拨 (1)只要ax-y在不等式组表示的平面区域的顶点处的取值不大于3即可;(2)建立关于双曲线离心率的不等式求解即可.
答案 (1)B (2)(1,3]
解析 (1)不等式组表示的是平面直角坐标系中以点(1,1),(1,-1),(2,0)为顶点的三角形及其内部,由题意知,只要ax-y在上述三点处均不大于3即可,所以实数a满足不等式组解得a≤,
即实数a的取值范围为.故选B.
(2)设F(c,0),则圆心坐标为(c,0),因为圆F过点A,所以半径为a+c,取双曲线的一条渐近线方程bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d==b,
则|PQ|=2≥2b,
故(a+c)2≥2b2,
即c2-2ac-3a2≤0,
即e2-2e-3≤0,
解得-1≤e≤3,
又e>1,所以所求的双曲线的离心率的取值范围是(1,3].
常考点3 数列问题的5大常用技巧
技巧1 整体利用数列的性质
等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量,解题中可以不必求出每个量,从整体上使用公式.
典例1 (1)等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.5
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6>S7>S5,则满足SkSk+1<0的正整数k= .
思路点拨 (1)可直接把a1+a3看作一个整体,利用等比数列的性质求解公比,然后代入即可;也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程,求出公比后再求和.(2)利用等差数列的前n项和的性质.
答案 (1)C (2)12
解析 (1)解法一:因为{an}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),
故a9+a11===2.
同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,
所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),
故a13+a15===1.
所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.
解法二:设等比数列{an}的公比为q,
则a5=a1q4,a7=a3q4,
所以q4===.
又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×=2,
a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×=1,
所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.
(2)依题意得a6=S6-S5>0,
a7=S7-S6<0,
a6+a7=S7-S5>0,
则S11==11a6>0,
S12==>0,
S13==13a7<0,
所以S12S13<0,即满足SkSk+1<0的正整数k=12.
技巧2 奇偶项分类
当题中涉及(-1)n或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时,按照n为奇数和偶数分别求解,最后再整合求解结果.
典例2 (1)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2 016= .
(2)若数列{an}的通项公式为an=22n+1,令bn=(-1)n-1·,则数列{bn}的前n项和Tn= .
思路点拨 (1)由已知数列的递推关系,利用累加法求出数列的通项公式,然后利用分组求和法进行求和.(2)分n为奇数和偶数分别求和.
答案 (1)3×21 008-3 (2)-(-1)n
解析 (1)由an+1·an=2n,得an+1·an+2=2n+1,
则=2,即=2,
所以数列a1,a3,a5,…,a2k+1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2k,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,则S2 016=(a1+a3+a5+…+a2 015)+(a2+a4+a6+…+a2 016)=+=3×21 008-3.
(2)由题意得bn=(-1)n-1
=(-1)n-1=(-1)n-1,
当n为偶数时,Tn=-+…+-=-,
当n为奇数时,Tn=-+…-+=+,
所以Tn=-(-1)n.
技巧3 分裂通项
裂项相消法是数列求和的基本方法之一,在通项为分式的情况下,注意尝试裂项,裂项的基本原则是an=f(n)-f(n+1).
典例3 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,若数列{Sn+1}是公比为4的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn.
思路点拨 (1)先求Sn,再利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求an;(2)把通项分解为两项的差,再消项求和.
解析 (1)由题意知Sn+1=(S1+1)·4n-1=4n,
所以Sn=4n-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×4n-1,且a1=3满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=3×4n-1.
(2)bn==
=,
所以Tn=b1+b2+…+bn=×+×+…+×
==-.
技巧4 构造新数列
当出现an=an-1+m(n≥2)时,构造等差数列;
当出现an=xan-1+y(n≥2)时,构造等比数列.
典例4 (1)设数列{an}满足a1=2,an+1-4an=3×2n+1,求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
思路点拨 (1)(2)构造新数列求解即可.
解析 (1)由an+1-4an=3×2n+1得,-=3,设bn=,则bn+1=2bn+3,设bn+1+t=2(bn+t),所以2t-t=3,解得t=3,所以bn+1+3=2(bn+3),所以=2,又b1+3=+3=1+3=4,所以数列{bn+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以bn+3=4×2n-1=2n+1,所以bn=2n+1-3,所以an=bn·2n=(2n+1-3)×2n=22n+1-3×2n.
(2)因为an+1=(n∈N*),所以=+1,设+t=3,所以3t-t=1,解得t=,所以+=3,又+=1+=,所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,所以+=×3n-1=,所以an=.
技巧5 归纳推理——周期性
解数列问题时要注意归纳推理的应用,通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律.
典例5 在数列{an}中,已知a1=1,an+1+(-1)nan=cos[(n+1)π],记Sn为数列{an}的前n项和,则S2 015= .
思路点拨 根据递推式计算数列的前面若干项,发现规律,然后求S2 015的值.
答案 -1 006
解析 由a1=1,an+1+(-1)nan=cos[(n+1)π],得a2=a1+cos 2π=1+1=2,a3=-a2+cos 3π=-2-1=-3,a4=a3+cos 4π=-3+1=-2,a5=-a4+cos 5π=2-1=1,……
由此可知,数列{an}是以4为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4=-2,所以S2 015=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013+a2 014+a2 015=503×(-2)+a1+a2+a3=-1 006.
常考点4 立体几何问题的4大妙解
方法1 模型法
(1)模型法判断空间位置关系
在进行空间线面位置关系的分析判断时,借助几何体模型能起到非常直观的作用,提高解题的准确率.
典例1 已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题为真命题的序号是( )
①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β;
②若l⊂α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;
③若l∥α,α∥β,则l∥β;
④若l⊥α,l∥m,α∥β,则m⊥β.
A.①④ B.①③ C.②④ D.②③
思路点拨 长方体中存在各种平行、垂直关系,以长方体为模型,结合选项,考虑线面位置的各种可能,作出判断.
答案 C
解析 命题①,如图(1),显然不正确,排除选项A,B,根据选项C,D可知②一定正确,对于命题③,如图(2),有直线l在平面β内的可能,所以命题③不正确.综上可知,选C.
(2)模型法还原几何体
空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分,根据题目的实际情况,判断其可能是哪个几何体的一个部分,利用该几何体为模型,可以较为方便地判断出三视图表示的空间几何体.
典例2 (1)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
(2)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中最大的面积是( )
A.2 B.2 C. D.2
思路点拨 (1)(2)根据三视图可以判断该空间几何体都是正方体的一部分,先画出正方体,再根据三视图确定空间几何体.
答案 (1)A (2)D
解析 (1)该几何体的直观图如图,其体积为正方体体积的,即该几何体的体积为×1×1×1=.故选A.
(2)如图,所求最大面积为△ABC的面积,为×(2)2=2.故选D.
方法2 割补法
(1)分割法求空间几何体的体积
把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体,求出每个规则几何体的体积,然后进行体积求和即可.
典例3 如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.
思路点拨 该几何体为不规则几何体,可将其分割为规则几何体后求体积.
解析 解法一:如图(1),连接EB,EC,则该多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC.
V四棱锥E-ABCD=×42×3=16.
∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF.
连接AC,有V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=V三棱锥C-ABE=V三棱锥E-ABC=×V四棱锥E-ABCD=4.
故该多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.
解法二:如图(2),设G,H分别为AB,DC的中点,连接EG,EH,HG,则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得三棱柱EGH-FBC和四棱锥E-AGHD.
由题意得V四棱锥E-AGHD=S矩形AGHD×3=×4×2×3=8.
连接CE,BE,BH,则V三棱柱EGH-FBC=3V三棱锥E-BGH
=3×V四棱锥E-GBCH=V四棱锥E-AGHD=×8=12.
故该多面体的体积V=V四棱锥E-AGHD+V三棱柱EGH-FBC=8+12=20.
(2)补形法求空间几何体的体积
当求某些几何体的体积较困难时,可以将它放置在我们熟悉的几何体中,如正方体、长方体等对称性比较好的几何体,以此来求几何体的体积.
常见情况如下:
①将正四面体补为正方体,如图所示.
②将对棱长相等的三棱锥补成长方体,如图所示.
③将三条侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体或正方体,如图所示,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.
④将三棱锥补成三棱柱或平行六面体,如图(1)(2)所示.
⑤将三棱柱补成平行六面体,如图所示.
⑥将台体补成锥体,如图所示.
典例4 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.12 B.18 C.24 D.30
思路点拨 可将该几何体补为三棱柱后再求体积.
答案 C
解析 由三视图可知,该几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的(如图所示).通过补形得到的三棱柱的体积为×3×4×5=30,而补上的三棱锥的体积为××3×4×3=6,所以该几何体的体积为30-6=24.
方法3 展开法
涉及空间几何体表面上折线、曲线长度之和的最值问题时,把空间几何体的表面展开.
典例5 如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(3)若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
思路点拨 (1)欲证线面垂直找线线垂直
(2)欲使三棱锥P-ABC
的体积最大因为高为定值|PO|,所以
只需△ABC的面积最大判断点C位置求最值求体积最值
(3)利用平面展开图求其最值
解析 (1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.
又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC.
因为DO∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.
(2)因为点C在圆O上,
所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.
又AB=2,所以△ABC面积的最大值为×2×1=1.
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,
故三棱锥P-ABC体积的最大值为×1×1=.
(3)解法一:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以PB==.
同理,PC=,所以PB=PC=BC.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
又因为OP=OB,C'P=C'B,
所以OC'垂直平分PB,即E为PB中点.
从而OC'=OE+EC'=+=,
亦即CE+OE的最小值为.
解法二:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以∠OPB=45°,PB==.同理,PC=.
所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
所以在△OC'P中,由余弦定理得:
OC'2=1+2-2×1××cos(45°+60°)
=1+2-2=2+.
从而OC'==.
所以CE+OE的最小值为.
方法4 球心位置分析法
决定球的几何要素是球心的位置和球的半径,在球与其他几何体的结合问题中,通过位置关系的分析,找出球心所在的位置是解题的关键,不妨称这个方法为球心位置分析法.
(1)由球的定义确定球心
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心.
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;
②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;
③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;
④正棱锥的外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到;
⑤若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
典例6 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )
A.16π B.20π C.24π D.32π
答案 C
解析 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,可求得底面边长为2,故球的直径为=2,则半径为,故球的表面积为24π,故选C.
典例7 已知某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为( )
A.16π B.4π C.8π D.2π
答案 B
解析 由三视图可知该三棱锥的高为1,底面为一个直角三角形,由于斜边上的中线的长为1,则底面外接圆的半径为1,顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上.由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等,则三棱锥的外接球的半径R为1,则三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π.
(2)构造长方体或正方体确定球心
①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥,可将三棱锥补形成长方体或正方体;
②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥,可将三棱锥补形成长方体或正方体;
③若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补形成长方体或正方体;
④若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补形成长方体或正方体.
典例8 已知某棱锥的三视图如图所示,俯视图为正方形(带一对角线),根据图中所给的数据,该棱锥外接球的体积是( )
A.π B.π C.π D.π
答案 C
解析 如图,该几何体是高为2的四棱锥S-ABCD,其底面是边长为的正方形.其中侧棱SD垂直于底面,与四棱柱SMNP-DABC具有相同的外接球.四棱柱的外接球半径r==,故其体积为×()3=.故选C.
典例9 如图,边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE,EF,FD折起,使A,B,C三点重合于点A',若四面体A'EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为( )
A. B. C. D.
思路点拨 (1)(2)根据几何体的形状补形,使之补形后的几何体与已知几何体具有相同的外接球.
答案 B
解析 易知四面体A'EFD的三条侧棱A'E,A'F,A'D两两垂直,且A'E=1,A'F=1,A'D=2,把四面体A'EFD补成从顶点A'出发的三条棱长分别为1,1,2的一个长方体,则长方体的外接球即为四面体A'EFD的外接球,球的半径为r==.故选B.
(3)由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O'的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.
典例10 正三棱锥A-BCD内接于球O,且底面边长为,侧棱长为2,则球O的表面积为 .
思路点拨 本题可运用公式R2=r2+d2求球的半径.
答案 π
解析 如图,M为底面正△BCD的中心,易知AM⊥MD,DM=1,AM=.在Rt△DOM中,OD2=OM2+MD2,即OD2=(-OD)2+1,解得OD=,故球O的表面积为4π×=π.
常考点5 解决解析几何问题的7种通法
方法1 中点问题点差法
直线y=kx+m与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中点为M(x0,y0),这类问题最常用的方法是“点差法”,即A,B在圆锥曲线上,坐标适合圆锥曲线方程,得两个方程作差,通过分解因式,然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程,解方程解决问题.
典例1 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 D
解析 由题意知直线AB的斜率k==,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
①-②整理得=-·,
即k=-·,∴=.
又a2-b2=c2=9,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为+=1,故选D.
方法2 对称问题几何意义法
圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题常见的解法:设P(x1,y1),Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-
x+m,代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P,Q的横(或纵)坐标即为方程的根,故Δ>0,从而求得k(或b)的取值范围.
典例2 已知抛物线C:y2=x与直线l:y=kx+,要使C上存在关于直线l对称的两点,求实数k的取值范围.
解析 设C上的A(x1,y1),B(x2,y2)两点关于直线l对称,线段AB的中点为M(x0,y0),
则两式相减,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2.
∵y1+y2=2y0,AB⊥l,
∴kAB==-=,
∴y0=-.
代入y=kx+得x0==--.
∵点M在抛物线内部,∴0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),P为双曲线上任一点,且·最小值的取值范围是,则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A.(1,] B.[,2] C.(0,] D.[2,+∞)
(2)已知双曲线C:-y2=1,点M的坐标为(0,1).设P是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点.记λ=·,则λ的取值范围是 .
思路点拨 (1)求出a,c满足的不等关系;(2)建立λ关于点P的坐标的函数关系式.
答案 (1)B (2)(-∞,-1]
解析 (1)设P(x0,y0),则·=(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=-c2+=a2-c2+,
当y0=0时,·取得最小值a2-c2,
根据题意有-c2≤a2-c2≤-c2,
即c2≤a2≤c2,即2≤≤4,即≤≤2,
所以所求离心率的取值范围是[,2].故选B.
(2)设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),所以λ=·=(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)=--+1=-+2,
因为|x0|≥,所以λ的取值范围是(-∞,-1].
方法4 最值问题不等式法
解析几何最值(范围)问题,有时需要使用双参数表达直线方程,解决方法:一是根据直线满足的条件,建立双参数之间的关系,把问题化为单参数问题;二是直接使用双参数表达问题,结合求解目标确定解题方案.
典例5 已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
解析 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)易知直线AB的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.
由消去y,整理得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.
由
解得点M的横坐标xM=,
又y1=,所以xM==.
同理,点N的横坐标xN=.
所以|MN|=|xM-xN|=
=8=.
令4k-3=t,t≠0,则k=.
当t>0时,|MN|=2>2.
当t<0时,|MN|=2≥.
综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|取得最小值.
方法5 定点问题参数法
证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.
典例6 已知椭圆C:+y2=1,过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为-的直线分别与椭圆交于点M,N.问:直线MN是否过定点D?若过定点D,求出点D的坐标;若不过定点,请说明理由.
思路点拨 解法一,以双参数表达直线MN的方程,求解双参数满足的关系.解法二,以直线AM的斜率为参数表达直线MN的方程.
解析 解法一:直线MN过定点D.当直线MN的斜率存在时,
设MN:y=kx+m,
代入椭圆方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
根据已知可知·=-,
即4y1y2+(x1-2)(x2-2)=0,
即(1+4k2)x1x2+(4km-2)(x1+x2)+4m2+4=0,
所以(1+4k2)·+(4km-2)+4m2+4=0,
即(4km-2)(-8km)+8m2(1+4k2)=0,
即m2+2km=0,得m=0或m=-2k.
当m=0时,直线y=kx经过定点D(0,0).
由于AM,AN的斜率之积为负值,故点M,N在椭圆上位于x轴两侧,直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部,而当m=-2k时,直线y=kx-2k过定点(2,0),故不可能.
当MN的斜率不存在时,点M,N关于x轴对称,此时AM,AN的斜率分别为,-,此时M,N恰为椭圆的上下顶点,直线MN也过定点(0,0).
综上可知,直线MN过定点D(0,0).
解法二:直线MN恒过定点D.
根据已知直线AM,AN的斜率存在且不为零,A(2,0).
设AM:y=k(x-2),
代入椭圆方程,得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0,
设M(x1,y1),则2x1=,
即x1=,y1=k(x1-2)=,
即M.
设直线AN的斜率为k',则kk'=-,即k'=-,
把点M坐标中的k替换为-,得N.
当M,N的横坐标不相等,即k≠±时,kMN=,直线MN的方程为y-=,即y=x,
该直线恒过定点(0,0).当k=±时,M,N的横坐标为零,直线MN也过定点(0,0).
综上可知,直线MN过定点D(0,0).
方法6 定值问题变量无关法
定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标,通过运算求证目标的取值与变化的量无关.
典例7 已知点F是椭圆+y2=1(a>0)的右焦点,M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴上的动点,且满足·=0.若点P满足=2+.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设过点F作任一直线与点P的轨迹交于A、B两点,直线OA、OB与直线x=-a分别交于点S、T(O为坐标原点),证明·为定值.
解析 (1)∵椭圆+y2=1(a>0)的右焦点F的坐标为(a,0),∴=(a,-n).
∵=(-m,n),∴由·=0,得n2+am=0.
设点P的坐标为(x,y),由=2+,有(m,0)=2(0,n)+(-x,-y),∴代入n2+am=0,得y2=4ax.
即点P的轨迹方程为y2=4ax.
(2)证明:设直线AB的方程为x=ty+a,
A,B,则lOA:y=x,lOB:y=x.
由得S,
同理得T,
∴=,=,
则·=4a2+.
由得y2-4aty-4a2=0,∴y1y2=-4a2,
则·=4a2+=4a2-4a2=0.
因此,·是定值,且定值为0.
方法7 探索问题推算法
首先假设所探求的问题结论成立或存在等,在这个假设下进行推理论证,如果得到了一个合情合理的推理结果,就肯定假设,对问题作出正面回答;如果得到一个矛盾的结果,就否定假设,对问题作出反面回答.
典例8 已知曲线T:+y2=1(y≠0),点M(,0),N(0,1),是否存在经过点(0,)且斜率为k的直线l与曲线T有两个不同的交点P和Q,使得向量+与共线?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
思路点拨 在假设存在的情况下,求出k的值,看k的值是否符合要求即可.
解析 假设存在,则l:y=kx+,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kx+2=0.
因为l与椭圆有两个不同的交点,
所以Δ=(4k)2-8(1+2k2)>0,解得k2>,
由题意知直线l不经过椭圆的左、右顶点,
即k≠±1,亦即k2>且k2≠1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,
得y1+y2=k(x1+x2)+2=-+2=.
所以+=(x1+x2,y1+y2)=,
又=(-,1),
向量+与共线等价于x1+x2=-(y1+y2),
所以-=(-)·,
解得k=,不符合题意,所以不存在这样的直线.
常考点6 含参导数问题的5种求解策略
方法1 分离参数,化为最值问题
典例1 设函数f(x)=x2-ln x,其中a为大于零的常数.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)>2恒成立,求a的取值范围.
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=1时, f '(x)=x-=,令f '(x)>0,得x>1,
令f '(x)<0,得02恒成立,即x2-ln x-2>0在x∈[1,2]上恒成立,分离参数得a<.
令h(x)=,则只需a0,故h(x)=在[1,2]上单调递增且在x=1处取得最小值,h(1)=,所以a的取值范围为.
点评 本题中,参数a可以用含x的代数式来表示,因此想到分离参数,进而转化为最值问题.上述解法可以实施的前提是变量a可以比较方便地“分离”出来,而且新函数的单调性容易确定.此类题的一般性解法见典例2.
方法2 分类讨论,逐一分析
典例2 设函数f(x)=x2-ln x,其中a为大于零的常数.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)>2恒成立,求a的取值范围.
解析 (1)同典例1.
(2)f '(x)=x-=(x>0).
f(x)>2在[1,2]上恒成立⇔f(x)在[1,2]上的最小值f(x)min>2.
令f '(x)=0,得x=.
①当0<≤1,即02,解得02,无解;
③当1<<2,即12,无解.
综上,a的取值范围为.
点评 典例1的解法可以避免分类讨论,明显优于典例2的解法,但例2的解法是求解此类问题的基本方法,适用范围较广,要引起足够的重视.
方法3 化为以参数为新元的问题
典例3 已知函数f(x)=x2+aln x-2,若f(x)+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解析 f '(x)=2x+=, f(x)+1≥0等价于f(x)≥-1恒成立,即f(x)min≥-1.
若a≥0,则f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→0时, f(x)→-∞,不符合题意.
若a<0,令f '(x)=0,则x=.当x>时, f '(x)>0;当00,则ln>0,得a<-2;若φ'(a)<0,则ln<0,得-20时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.
解析 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=ex-a.
若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,
所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.
故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<+x(x>0).①
令g(x)=+x,则g'(x)=+1=.
令h(x)=ex-x-2,由(1)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).
当x∈(0,α)时,g'(x)<0;
当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).
又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等价于k
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