高考数学热点难点突破技巧第05讲函数的零点问题处理方法

高考数学热点难点突破技巧第05讲函数的零点问题处理方法

第 05 讲：函数的零点问题处理方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数 （ ，把使 成立的实数 叫做函数 （ 的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的数学概念有截距和极 值点等. （2）函数零点的意义：函数 的零点就是方程 的实数根，亦即函数 的图像与 轴的交点的横坐标，即：方程 有实数根 函数 的图 像与 轴有交点 函数 有零点. （3）零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线， 并且有 ，那么函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 使得 ，这个 也就是方程的根. 函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 是函 数 在区间 内至少有一个零点的一个充分不必要条件. 零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定， 一般通过数形结合解决. 二、二分法 （1）二分法及步骤 对于在区间 上连续不断，且满足 的函数 ，通过不断地把函 数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值 的方法叫做二分法. （2）给定精确度 ，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间 ，验证 ，给定精确度 . 第二步：求区间 的中点 . 第三步：计算 ：①若 =0，则 就是函数的零点；②若 ，则令 （此时零点 ）③若 ，则令 （此时零点 ） 第四步：判断是否达到精确度 即若 ，则得到零点值 或 ，否则重复第二至第 四步. 三、一元二次方程 的根的分布 讨论一元二次方程 的根的分布一般从以下个方面考虑列不 等式组： （1） 的符号； （2）对称轴 的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布 的区间端点的函数值的符号. 四、精确度为 0.1 指的是零点所在区间的长度小于 0.1，其中的任意一个值都可以取；精确 到 0.1 指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结 1、函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 2、高考考查单调函数的零点时，一般要找到两个变量 ，并且要证明 . 这是一个难点，一般利用放缩法证明 . 【方法讲评】 方法一 方程法 使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解. 【例 1 】已知函数 区间 内有零点，求实数 的取值 范围. 【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能 直接解出来.（2）对于含有参数的一元二次函数要比较敏感，看到它就要想到因式分解，如 果不好因式分解，再考虑其它方法. 【反馈检测 1】函数 在区间 上的零点个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D． 7 方法二 图像法 使用情景 函数是一些简单的初等函数（反比例函数、一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数、三角函数等）或单调性容易求出，比较容易画出函数 的图像. 解题步骤 先求函数的单调性，再根据函数的单调性画出函数的图像分析. 【例 2】（2016 年北京高考文科）设函数 （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 ，若函数 有三个不同零点，求 c 的取值范围； （3）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件. （2）当 时， ，所以 ． 令 ，得 ，解得 或 ． 与 在区间 上的情况如下： 所以，当 且 时，存在 ， ， ，使得 ． 由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同 零点． （3）当 时， ， ， 此时函数 在区间 上单调递增，所以 不可能有三个不同零点． 当 时， 只有一个零点，记作 ． 当 时， ， 在区间 上单调递增； 当 时， ， 在区间 上单调递增． 所以 不可能有三个不同零点． 【点评】（1）本题的第 2 问是用数形结合解答的，画图分析得只有满足极大值大于零且极小 值小于零，则函数图像与 轴会有三个不同的交点，函数 有三个不同零点.(2)本题的 第 3 问， ，是一个二次函数，但是由于该二次函数与 轴的交点的 个数不确定，所以要就判别式 分类讨论，分类讨论时结合数形结合比较直观 地看到函数的单调性，从而得到零点的个数. 【例 3】（2017 全国高考新课标 I 理科数学）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 a 的取值范围. (2) ①若 由（1）知 至多有一个零点. ②若 ，由（1）知当 时， 取得最小值， . （i）当 时， =0，故 只有一个零点. （ii）当 时，由于 >0，即 ，故 没有零点. （iii）当 时， ，即 . 故 在 只有一个零点. 【点评】（1）本题第 2 问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第 1 问已经求出了函数的单调性，所以第 2 问可以直接利用第 1 问的单调性作图分析. (2) 当 时 ， 要 先 判 断 的 零 点 的 个 数 ， 此 时 考 查 了 函 数 的 零 点 定 理 ， ， 还 必 须 在 该 区 间 找 一 个 函 数 值 为 正 的 值 ， 它 就 是 要说明 ，这里利用了放缩法，丢 掉了 .(3) 当 时，要判断 上的零点个数，也是在考查函数 的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是 ，再放缩证明 >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性. 【反馈检测 2】已知函数 ，其中 为实数，常数 . (1) 若 是函数 的一个极值点，求 的值；(2) 当 时，求函数 的单调 区间； (3) 当 取正实数时，若存在实数 ，使得关于 的方程 有三个实数根，求 的 取值范围. 方法三 方程 图像法 使用情景 函数比较复杂，不方便解方程，也不容易求函数的单调性. 解题步骤 先令 ,重新构造方程 ,再画函数 的图 像分析解答. 【 例 4 】【 2017 江 苏 ， 14 】 设 是 定 义 在 且 周 期 为 1 的 函 数 ， 在 区 间 上, 其 中集合 ，则方程 的解的个数是 . 因此 ，则 ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 ， 因此 不可能与每个周期内 对应的部分相等， 只需考虑 与每个周期 的部分的交点， 画出函数图象，图中交点除外 其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 的部 分， 且 处 ，则在 附近仅有一个交点， 因此方程 的解的个数为 8． 【点评】直接求方程 的解的个数比较困难，所以转化为方程 的 解的个数. 所以要先化出函数 和函数 的图像，再分析它们的交点个数， 即得到方程的解的个数. 【例 5】函数 ． （1）当 时，若函数 与 的图象有且只有 3 个不同的 交点，求实数 的值的取值范围；（2）讨论 的单调性． 【解析】（1）当 时，由题得 ， 两式相减得 ，故 ． 令 ， ， 故当 时， ；当 时， ； 当 时， ； ， ．故 ． 【点评】（1）由于函数 与函数 的图像不好画，即使能画出来，也不方便 研究两个函数图像的交点个数，所以把交点转化成方程组 的解来解答， 再 转 化 成 方 程 的 解 来 解 答 ， 再 分 离 参 数 化 成 的形式，利用数形结合分析解答. （2）对于一个函数 如果不方便解方程，也不方 便画图，则可以尝试利用 重新构造方程 ，再分别画出函数 和 函数 的图像分析解答. 【例 6】函数 的零点个数是 个. 当 时， 所以函数 在 上只有 一个零点. 综上所述，函数 零点个数为 2. 【点评】（1）函数 是一个分段函数，求出每一段的函数的零点个数再相加即可. （2） 上面一段宜选用解方程的方法求零点，因为它可以整理成一个关于 的一元二次方程. 下 面的一段宜选用图像法求零点.因为它的单调性比较容易求得. (3)要想灵活选择，主要取决 于熟练生巧. 【反馈检测 3】设函数 ． （1）求函数 的单调区间；（2）当 时，讨论函数 与 图象的交点个数． 高考数学热点难点突破技巧第 05 讲： 函数的零点问题处理方法参考答案 【反馈检测 1 答案】 【反馈检测 2 答案】（1） ；（2） 的单调增区间是 ， ； 的单调减区间是 ， ， ；（3） 的取值范围是 . 【反馈检测 2 详细解析】(1) 因为 是函数 的一个极值点，所以 ，即 . 而当 时， ， 可验证： 是函数 的一个极值点.因此 . (2) 当 时， 令 得 ，解得 ，而 . 所以当 变化时， 、 的变化是 极 小 极 大 值 值 因此 的单调增区间是 ， ； 的单调减区间是 ， ， ； (3) 当 取正实数时， ，令 得 ， 当 时，解得 . 在 和 上单调递 增，在 上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值 ，极小值 ，并且根据 指数函数和二次函数的变化速度可知当 时， ，当 时， .因此当 时，关于 的方程 一定总有三个 实数根，结论成立； 当 时， 的单调增区间是 ，无论 取何值，方程 最多有一 个实数根，结论不成立.因此所求 的取值范围是 . 【反馈检测 3 答案】（1）单调递增区间是 , 单调递减区间是 ；（2） ． 【反馈检测 3 详细解析】（1）函数 的定义域为 ． （2）令 ,问题等价于求函数 的零点个数， ,当 时， ，函数 为减函数， 注意到 ，所以 有唯一零点； 当 时， 或 时， 时， ， 所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增， 注意到 ，所以 有唯一零点． 综上，函数 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．