【数学】2019届一轮复习北师大版第1章集合与常用逻辑用语第3节学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版第1章集合与常用逻辑用语第3节学案

第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”‎ 最新考纲 1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 知 识 梳 理 ‎1.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p且q,p或q,綈p的真假判断 p q p且q p或q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词与存在量词 ‎(1)常见的全称量词有 “任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.‎ ‎(2)常见的存在量词有 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.‎ ‎3.全称命题与特称命题 ‎(1)含有全称量词的命题叫全称命题.‎ ‎(2)含有存在量词的命题叫特称命题.‎ ‎4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 任意x∈M,p(x)‎ 存在x0∈M,綈p(x0)‎ 存在x0∈M,p(x0)‎ 任意x∈M,綈p(x)‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀 p或q→见真即真,p且q→见假即假,p与綈p→真假相反.‎ ‎2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“5>6或5>2”是假命题.(  )‎ ‎(2)命题綈(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.(  )‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(  )‎ ‎(4)存在x0∈M,p(x0)与任意x∈M,綈p(x)的真假性相反.(  )‎ 解析 (1)错误.命题p或q中,p,q有一真则真.‎ ‎(2)错误.p且q是真命题,则p,q都是真命题.‎ ‎(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.(教材习题改编)命题p 存在x0∈R,x0>1的否定是(  )‎ A.綈p 任意x∈R,x≤1 B.綈p 存在x∈R,x≤1‎ C.綈p 任意x∈R,x<1 D.綈p 存在x∈R,x<1‎ 解析 特称命题的否定为全称命题.∴綈p 任意x∈R,x≤1.‎ 答案 A ‎3.(2018·安康调研)下列命题中的假命题是(  )‎ A.存在x0∈R,lg 0=1 B.存在x0∈R,sin 0=0‎ C.任意x∈R,x3>0 D.任意x∈R,2x>0‎ 解析 当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,任意x∈R,2x>0,则D为真命题.‎ 答案 C ‎4.(2017·山东卷)已知命题p 存在x∈R,x2-x+1≥0;命题q 若a20恒成立,‎ ‎∴p是真命题,綈p为假命题.‎ ‎∵当a=-1,b=-2时,(-1)2<(-2)2,但-1>-2,‎ ‎∴q为假命题,綈q为真命题.‎ 根据真值表可知p且綈q为真命题,p且q,綈p且q,綈p且綈q为假命题.‎ 答案 B ‎5.若“任意x∈,tan ≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 解析 ∵函数y=tan 在上是增函数,∴ymax=tan =1,依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.‎ 答案 1‎ 考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎【例1】 (1)设a,b,c是非零向量.已知命题p 若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q 若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是(  )‎ A.p或q B.p且q C.(綈p)且(綈q) D.p且(綈q)‎ ‎(2)(2018·深圳联考)已知命题p 不等式ax2+ax+1>0的解集为R,则实数a∈(0,4),命题q “x2-2x-8>0”是“x>5”的必要不充分条件,则下列命题正确的是(  )‎ A.p且q B.p且(綈q)‎ C.(綈p)且(綈q) D.(綈p)且q 解析 (1)取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,∴p是假命题.‎ 又a,b,c是非零向量,‎ 由a∥b知a=xb,由b∥c知b=yc,‎ ‎∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题.‎ 综上知p或q是真命题,p且q是假命题.‎ 又∵綈p为真命题,綈q为假命题.‎ ‎∴(綈p)且(綈q),p且(綈q)都是假命题.‎ ‎(2)命题p 当a=0时,有1>0恒成立;‎ 当a≠0时 ,得解之得00,得x>4或x<-2.‎ 因此“x2-2x-8>0”是“x>5”的必要不充分条件,q为真命题.故(綈p)且q为真命题.‎ 答案 (1)A (2)D 规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是 (1)明确其构成形式;(2)判断其中命题p,q的真假;(3)确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.‎ ‎2.p且q形式是“一假必假,全真才真”,p或q形式是“一真必真,全假才假”,非p则是“与p的真假相反”.‎ ‎【训练1】 (2018·郑州调研)命题p 函数y=log2(x-2)的单调增区间是[1,+∞),命题q 函数y=的值域为(0,1).下列命题是真命题的为(  )‎ A.p且q B.p或q C.p且(綈q) D.綈q 解析 由于y=log2(x-2)在(2,+∞)上是增函数,‎ ‎∴命题p是假命题.‎ 由3x>0,得3x+1>1,所以0<<1,‎ 所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.‎ 所以p且q为假命题,p或q为真命题,p且(綈q)为假命题,綈q为假命题.‎ 答案 B 考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定 ‎【例2】 (1)命题“任意n∈N+,f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.任意n∈N+,f(n)∉N+且f(n)>n B.任意n∈N+,f(n)∉N+或f(n)>n C.存在n0∈N+,f(n0)∉N+且f(n0)>n0‎ D.存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0‎ ‎(2)(2018·宜春质检)已知命题p 任意x∈R,x+≥2;命题q 存在x0∈(0,+∞),x>x,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.(綈p)且q B.p且(綈q)‎ C.(綈p)且(綈q) D.p且q 解析 (1)全称命题的否定为特称命题,‎ ‎∴命题的否定是 存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0.‎ ‎(2)对于p 当x=-1时,x+=-2,∴p为假命题.取x0∈(0,1),此时x>x,∴q为真命题.‎ 从而綈p为真命题,(綈p)且q为真命题.‎ 答案 (1)D (2)A 规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.‎ ‎2.判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.‎ ‎【训练2】 命题p 存在x∈,使sin +cos >;命题q “存在x0∈(0,+∞),ln 0=x0-1”的否定是“任意x∈(0,+∞),ln ≠x-1”,则四个命题 (綈p)或(綈q),p且q,(綈p)且q,p或(綈q)中,正确命题的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析 因为sin +cos =sin≤,所以命题p是假命题;又特称命题的否定是全称命题,因此命题q为真命题.则(綈p)或(綈q)为真命题,p且q为假命题,(綈p)且q为真命题,p或(綈q)为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题.‎ 答案 B 考点三 由命题的真假求参数的取值范围 ‎【例3】 (1)已知命题p “任意x∈[0,1],a≥ex”,命题q “存在x0∈R,x+4x0+a=0”.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(4,+∞) B.[1,4] C.[e,4] D.(-∞,-1)‎ ‎(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若对任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________.‎ 解析 (1)由题意知p与q均为真命题,由p为真,可知a≥e,由q为真,知x2+4x+a=0有解,则Δ=16-4a≥0,∴a≤4.综上可知e≤a≤4.‎ ‎(2)当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.‎ 答案 (1)C (2) 规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤 ‎ ‎(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;‎ ‎(2)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.‎ ‎2.全称命题可转化为恒成立问题.‎ 含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.‎ ‎【训练3】 本例(2)中,若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是____________.‎ 解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=-m,由f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,∴m≥.‎ 答案  基础巩固题组 ‎(建议用时 25分钟)‎ 一、选择题 ‎1.命题p “任意x∈N+,≤”的否定为(  )‎ A.任意x∈N+,> B.任意x∉N+,> C.存在x∉N+,> D.存在x∈N+,> 解析 命题p的否定是把“任意”改成“存在”,再把“≤”改为“>”.‎ 答案 D ‎2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p 存在n∈N,n2>2n,则綈p为(  )‎ A.任意n∈N,n2>2n B.存在n∈N,n2≤2n C.任意n∈N,n2≤2n D.存在n∈N,n2=2n 解析 命题p的量词“存在”改为“任意”,“n2>2n”改为“n2≤2n”,∴綈p 任意n∈N,n2≤2n.‎ 答案 C ‎3.(2016·江西师大附中模拟)若命题p 任意x∈R,log2x>0,命题q 存在x0∈R,2x0<0,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p或(綈q) B.p且q C.(綈p)且q D.p或q 解析 命题p和命题q都是假命题,则命题綈p和命题綈q都是真命题,故选A.‎ 答案 A ‎4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕,在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为(  )‎ A.(綈p)或(綈q) B.p或(綈q)‎ C.(綈p)且(綈q) D.p或q 解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况 “甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(綈p)或(綈q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p且q”的否定选A.‎ 答案 A ‎5.(2018·上饶调研)已知命题p 对任意x∈R,总有|x|≥0;q x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p且(綈q) B.(綈p)且q C.(綈p)且(綈q) D.p且q 解析 由题意知命题p是真命题,命题q是假命题,故綈p是假命题,綈q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p且(綈q)是真命题.‎ 答案 A ‎6.命题p 任意x∈R,ax2+ax+1≥0,若綈p是真命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,4] B.[0,4]‎ C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)‎ 解析 因为命题p 任意x∈R,ax2+ax+1≥0,‎ 所以命题綈p 存在x0∈R,ax+ax0+1<0,‎ 则a<0或解得a<0或a>4.‎ 答案 D ‎7.以下四个命题 ①任意x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②存在x∈Q,x2=2;③‎ 存在x∈R,x2+1=0;④任意x∈R,4x2>2x-1+3x2,其中真命题的个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ 解析 ∵Δ=(-3)2-4×2>0,‎ ‎ ∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,‎ ‎∴①为假命题;‎ 当且仅当x=±时,x2=2,∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题;‎ 对任意x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题;‎ ‎④中,当x=1时,4x2=2x-1+3x2;‎ 则④为假命题.‎ 答案 A ‎8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“任意x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B.(1,+∞)‎ C. D.∪(1,+∞)‎ 解析 ∵函数f(x)=a2x-2a+1,‎ 命题“任意x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,‎ ‎∴原命题的否定是 “存在x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,‎ ‎∴f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,‎ ‎∴(a-1)2(2a-1)>0,解得a>,且a≠1,‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1,+∞).‎ 答案 D 二、填空题 ‎9.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“存在x0∈R,12‎ ‎10.若命题“存在x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________.‎ 解析 ∵“存在x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0”是真命题,‎ ‎∴Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,‎ ‎∴a-1>2或a-1<-2,∴a>3或a<-1.‎ 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)‎ ‎11.(2018·渭南调研)已知下列四个命题 ‎ ‎①“若x2-x=0,则x=0或x=1”的逆否命题为“若x≠0且x≠1,则x2-x≠0”;‎ ‎②“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件;‎ ‎③命题p 存在x0∈R,使得x+x0+1<0,则綈p 任意x∈R,都有x2+x+1≥0;‎ ‎④若p且q为假命题,则p,q均为假命题.‎ 其中为真命题的是________(填序号).‎ 解析 显然①③正确;‎ ‎②中,x2-3x+2>0⇔x>2或x<1.‎ ‎∴“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,②正确;‎ ‎④中,若p且q为假命题,则p,q至少有一个假命题,④错误.‎ 答案 ①②③‎ ‎12.已知命题p x2+2x-3>0;命题q >1,若“(綈q)且p”为真,则x的取值范围是________.‎ ‎ 解析 因为“(綈q)且p”为真,即q假p真,而q为真命题时,<0,即2<x<3,所以q为假命题时,有x≥3或x≤2;p为真命题时,由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,由得x≥3或10,当m<0时,m-x2<0,‎ 所以命题p为假命题;‎ 当m=时,因为f(-1)=3-1=,‎ 所以f(f(-1))=f=-=0,‎ 所以命题q为真命题,‎ 逐项检验可知,只有(綈p)且q为真命题.‎ 答案 B ‎15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p 存在x0∈R,(m+1)(x+1)≤0,命题q 任意x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p且q为假命题,则实数m的取值范围为________.‎ 解析 由命题p 存在x0∈R,(m+1)(x+1)≤0可得m≤-1;由命题q 任意x∈R,x2+mx+1>0恒成立,即Δ=m2-4<0,可得-2-1.‎ 答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)‎ ‎16.(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是________.‎ 解析 依题意知f(x)max≤g(x)max.‎ ‎∵f(x)=x+在上是减函数,‎ ‎∴f(x)max=f=.‎ 又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数,‎ ‎∴g(x)max=8+a,‎ 因此≤8+a,则a≥.‎ 答案 
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