【数学】2020届一轮复习北师大版立体几何中的折叠问题课时作业

【数学】2020届一轮复习北师大版立体几何中的折叠问题课时作业

‎1.【2017辽宁省六校协作体下期期初】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和,,侧面展开图是一个长方形,这个长方形的长是宽的2倍,则该圆柱的表面积与侧面积的比是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题设,即,所以圆柱的表面积与侧面积的比是,应选答案A.‎ ‎2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①平面；②为等边三角形；③平面平面；④点在平面内的射影为的外接圆圆心.其中正确的有（ ）‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于三角形为等腰直角三角形,故,所以平面,故①正确,排除选项.由于,且平面平面,故平面,所以,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除选项.由于,且为等边三角形,故点在平面内的射影为的外接圆圆心, ④正确,故选.‎ ‎3.【2017河南省信阳市上期期末教质量监测】已知梯形如下图所示,其中,,为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行折叠,使得平面平面,得到如图所示的几何体.已知当点满足时,平面平面,则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为四边形为正方形,且平面平面,所以两两垂直,且,所以建立空间直角坐标系（如图所示）,又因为,,所以,‎ 则,,设平面的法向量为,则由得,取,平面的法向量为,则由得,取,‎ 因为平面平面,所以,解得.故选C.‎ ‎4.【2016年湖南师大附中第三次检测】如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）‎ A．点到的距离为 ‎ B．与所成角是 C．三棱锥的体积是 ‎ D．与是异面直线 ‎【答案】D ‎【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,中到的距离为,正确；与所成角是,正确；三棱锥的体积是,正确；,错误．‎ ‎5.【2016年四川省成都七中】把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为（ ）度 A．90 B．60 C．45 D．30‎ ‎【答案】C ‎【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面垂直平面时三棱锥的体积最大．设的中点为,则即为所求,而是等腰直角三角形,所以,故选C．‎ ‎6.【辽宁省辽阳市2018届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为， ， ， ， 为圆上的点， ， ， ， 分别以， ， ， 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以， ， ， 为折痕折起， ， ， ，使得， ， ， ‎ 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】如图：‎ 连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x，则OI=， .‎ 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则， ，解得，外接球的体积 ‎ ‎7．【2017甘肃省天水市第一中上期期末】表面积为的球面上有四点,且是边长为的等边三角形,若平面在侧棱长为的正三棱锥中,,过作截面,交于,交于,则截面周长的最小值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】将棱锥的侧面沿侧棱展开,如图,的长就是截面周长的最小值,由题意,由等腰三角形的性质得.‎ ‎8.如图所示,在四边形中,,将四边形沿对角线折成四面体,使平面平面,则下列结论正确的是 ．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）与平面所成的角为； ‎ ‎（4）四面体的体积为．‎ ‎【答案】（2）（4）‎ ‎【解析】平面平面平面,与平面所成的角为 ‎,四面体的体积为,,综上（2）（4）成立．‎ ‎9．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】如图,矩形中,,为边的中点,将沿直线翻折成,若为线段的中点,则在翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)‎ ‎（1）是定值 ‎ ‎（2）点在某个球面上运动 ‎（3）存在某个位置,使 ‎ ‎（4）存在某个位置,使平面 ‎【答案】（1）（2）（4）．‎ ‎10．【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形中， ， ， 是的中点，以为折痕将向上折起， 变为，且平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：∵， ，‎ ‎∴，∴， ‎ 取的中点，连结，则， ‎ ‎∵ 平面平面，‎ ‎∴平面，∴ ，‎ 从而平面，∴‎ ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，‎ 则、、、，‎ ‎，从而=（4,0,0），， .‎ 设为平面的法向量，‎ 则可以取 设为平面的法向量，‎ 则可以取 因此， ，有，即平面 平面，‎ 故二面角的大小为.‎ ‎11．【2017安徽省黄山市上期期末质量检测】如图1,在中,,是斜边上的高,沿将折成的二面角.如图2.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在图2中,设为的中点,求异面直线与所成的角.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明：因为折起前是边上的高,则当△折起后,‎ ‎,,‎ 又,则平面,‎ 因为平面,所以平面平面．‎ ‎（2）解：取的中点,连结,则,‎ 所以为异面直线与所成的角,‎ 连结、,设,则,,,,‎ 在中,,‎ 在中,由题设,则,‎ 即,‎ 从而,,‎ 在△中,,‎ 在中,．‎ 在△中,,‎ 所以异面直线与所成的角为.‎ ‎12．【2017辽宁省六校协作体下期期初】如图（1）所示,在直角梯形中,,,,,、、分别为线段、、的中点,现将折起,使平面平面（图（2））．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若点是线段的中点,求证：平面.‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3） ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵、分别是的中点,‎ ‎∴‎ 又．∴．‎ ‎∵平面,平面,‎ ‎∴平面．‎ 同理,平面,∵,‎ 平面,平面 ‎∴平面平面. ‎ ‎（2）连接,,‎ ‎∵、分别是、的中点,∴,又．‎ ‎∴‎ ‎∵平面平面,,‎ ‎∴平面．‎ ‎∴,‎ 又,,∴平面,∴．‎ 在中,,是的中点,∴,‎ ‎∵,∴平面,即平面． ‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎13．【2017届河北省正定中高三上期第三次月考】如图,菱形的对角线与交于点,,,点分别在上,,交于点,将沿折到的位置,．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) ‎ ‎【解析】(1)由已知得,,又由得,故∥,因此 ‎ ,从而⊥.由得. ‎ 由∥得.所以,. ‎ 于是,故.又,而,‎ ‎ 所以平面. ‎ 如图,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则 ‎ ,,,,,,,‎ ‎ . ‎ ‎ 设是平面的法向量,‎ ‎ 则,即,可取.‎ ‎ 设是平面的法向量,‎ ‎ 则,即,可取 ‎ ‎ 于是, ‎ 设二面角的大小为,.因此二面角的正弦值是. ‎ ‎14. 如图1所示,正的边长为,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC的中点.现将沿CD翻折,使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）‎ 求三棱锥C-DEF的体积.‎ ‎【解析】过点E作EMDC于点M,‎ ‎∵面ACD面BCD,面ACD面BCD＝CD,而EM面ACD ‎∴EM平面BCD ‎ 即EM是三棱锥E-CDF的高 ‎∴.‎ 又∵为的中点,‎ ‎∴‎ ‎∵为的中点,,‎ ‎∴EM＝‎ ‎∴三棱锥C-DEF的体积为：.‎ ‎15.如图1,在直角梯形中,,,且．‎ 现以为一边向梯形外作正方形,然后沿边将正方形折叠,使平面与平面垂直,为的中点,如图2．‎ ‎ （1）求证：∥平面;‎ ‎（2）求证：;‎ 图2‎ ‎ （3）求点到平面的距离.‎ 图1‎ ‎ ‎ 解析：（1）证明：取中点,连结．‎ 在△中,分别为的中点,‎ 所以∥,且．‎ 由已知∥,,‎ 所以∥,且． ‎ 所以四边形为平行四边形．‎ 所以∥． ‎ 又因为平面,且平面,‎ 所以∥平面． ‎ ‎ ‎ ‎（3）解法一：因为平面, 所以平面平面．‎ 过点作的垂线交于点,则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 ‎ 在直角三角形中,‎ 所以 所以点到平面的距离等于. ‎ 解法二：平面,所以 所以 ‎ ‎ 又,设点到平面的距离为 则 ,所以 所以点到平面的距离等于. ‎ ‎16.正△的边长为4,是边上的高,分别是和边的中点,现将△沿翻折成直二面角．‎ ‎（1）试判断直线与平面的位置关系,并说明理由；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点,使？证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）问可利用翻折之后的几何体侧面的中位线得到,便可由线面平行的判定定理证得；（2）先根据直二面角将条件转化为面,然后做出过点且与面垂直的直线,再在平面内过作的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把作为已知条件利用,利用中过与垂直的直线确定点的位置.‎ ‎【解析】（1）如图：在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,‎ 又AB平面DEF,EF平面DEF．‎ ‎∴AB∥平面DEF． ‎ ‎（2）∵AD⊥CD,BD⊥CD ‎ ‎ ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角 ‎∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF ‎∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角,‎ 在Rt△EMN中,EM=1,MN=‎ ‎∴tan∠MNE=,cos∠MNE=‎