数学北师大版（2019）必修第二册：1-7-3 正切函数的图象与性质 学案与作业
7.3 正切函数的图象与性质
(15 分钟 30 分)
1.(2020·青岛高一检测)与函数 y=tan 的图象不相交的一条
直线是( )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=
【解析】选 D.当 x= 时,2x+ = ,而 的正切值不存在,所以直线 x= 与
函数 y=tan 的图象不相交.
2.已知函数:①y=tan x;②y=sin ;③y= ;④y= ,其中周
期为π,且在 上单调递增的是 ( )
A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④
【解析】选 B.对于①,y=tan x 周期为π,由正切函数的图象可得在
上单调递增,所以①正确;
对于②,y=sin 为偶函数,根据图象判断它不是周期函数,所以②不
正确;
对于③,由于函数 y= 周期为 ·2π=π,利用正弦函数的图象可
得在 上单调递增,故③正确;
对于④,y= 的周期为π,利用余弦函数的图象可得在 上单
调递减,故④不正确.
3.下列关于函数 y=tan 的说法正确的是 ( )
A.在区间 上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点 成中心对称
D.图象关于直线 x= 成轴对称
【解析】选 B.kπ-
0)的图象相邻两支的交点
的距离为______.
【解析】直线 y=a 与函数 y=tan ωx 的图象相邻两支的交点的距离正
好是一个周期.
答案:
6.(2020·宁波高一检测)函数 y=lg 的定义域为
________.
【解析】由题可知 -tan x>0,所以 tan x< .
所以- +kπ0,f =tan =tan <0,
所以 f >f ,故 D 不正确.
3.(2020·北京高一检测)已知函数 f(x)=-2tan(2x+φ), ,
其函数图象的一个对称中心是 ,则该函数的一个单调递减区间
是( )
A. B.
C. D.
【解析】选 D.因为 是函数的对称中心,所以 2× +φ= (k∈Z),
解得φ= - (k∈Z),因为 0<φ< ,所以φ= ,f(x)=-2tan ,
令- +kπ<2x+ < +kπ(k∈Z),
解得- + b>c B.aa>c D.btan 2>tan(5-π).
二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3
分,有选错的得 0 分)
5.下列说法错误的是 ( )
A.y=sin x 在第一象限是增函数
B.y=cos 的最小正周期为 2π
C.y=tan x 是增函数
D.y=tan x 的所有对称中心坐标为 ,k∈Z
【解析】选 ACD.由于 390°>30°,且都是第一象限角,sin 390°=sin
30°= ,故函数 y=sin x 在第一象限不是增函数,故 A 不正确.
y=cos =cos x 其最小正周期为 2π,故 B 正确;
y=tan x 的单调递增区间为 ,k∈Z,故 C 不正确;
由于函数 y=tan x 的图象的对称中心是 ,k∈Z,故 D 不正确.
6.下列函数中,周期为π,且在 上为增函数的是 ( )
A.y=tan B.y=tan
C.y=cos D.y=sin
【解析】选AC.对于A选项,函数 y=tan 的周期为π,且在
上为增函数,符合题意,故 A 选项正确.对于 B 选项,函数
y=tan 的周期为 ,不合题意,故 B 选项错误.对于 C 选项,函数
y=cos =sin 2x 的周期为π,且在 上为增函数,符合题意,
故 C 选项正确.
对于 D 选项,函数 y=sin =cos 2x 在 上为减函数,不符
合题意,故 D 选项错误.
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
7.函数 y=tan 的单调递增区间为______.
【解析】令- +kπ< x+ < +kπ,k∈Z,解得-5+6k0 且 tan x>1,由 sin x>0
得 x∈ ,k∈Z.
由 tan x>1 得 x∈ ,k∈Z.
因为 ∩
= ,k∈Z,
所以原函数的定义域为 ,k∈Z.
答案: ,k∈Z
四、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.已知函数 f = .
(1)求函数 f 的定义域;
(2)用定义判断函数 f 的奇偶性;
(3)在 上作出函数 f 的图象.
【解析】(1)由 cos x≠0,得 x≠kπ+ (k∈Z),
所以函数 f 的定义域是 .
(2)由(1)知函数 f 的定义域关于原点对称,
因为 f = = =-f ,
所以 f 是奇函数.
(3)f =
所以 f 在 上的图象如图所示,
10.(2020·上海高一检测)求下列函数的值域:
(1)y= ,x∈ ;
(2)y=tan2x+3tan x-1,x∈ .
【解析】(1)因为 y= ,x∈ ,
所以 tan x∈ ,令 t=tan x,则 t∈ ,
所以 y= =-1+ ,
因为 t∈ ,所以 t-1∈ ,
∈ , ∈ ,-1+ ∈ ,
即 y∈ .
(2)因为 y=tan2x+3tan x-1,x∈ ,
所以 tan x∈ ,令 m=tan x,m∈ ,
所以 y=f =m2+3m-1= - ,
所以 f 在 上单调递增,在 上单调递
减,f =- ,f =3,f =2-3 ,
所以 f ∈ .
即函数的值域为 .
设函数 f(x)=tan(ωx+φ) ,已知函数 y=f(x)的
图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 ,且图象关于点 M 对称.
(1)求 f(x)的解析式;
(2)求 f(x)的单调区间;
(3)求不等式-1≤f(x)≤ 的解集.
【解析】(1)由题意知,函数 f 的最小正周期为 T= ,即 T= = .因为
ω>0,所以ω=2,
从而 f =tan .
因为函数 y=f 的图象关于点 M 对称,所以
2× +φ= ,k∈Z,
即φ= + ,k∈Z.
因为 0<φ< ,所以φ= ,
故 f =tan .
(2)令- +kπ<2x+ < +kπ,k∈Z,
解得- +
查看更多
