【数学】2019届一轮复习北师大版一题多解玩透双曲线的离心率学案

【数学】2019届一轮复习北师大版一题多解玩透双曲线的离心率学案

一、典例分析，融合贯通 ‎ 典例1 【2016年山东卷理 第13题】已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率为 ‎ ‎【解法1】直接法 由题意，所以，‎ 于是点在双曲线上，代入方程，得，‎ 在由得的离心率为.[‎ ‎【点睛之笔】直接代入，少走弯路！‎ ‎【解法2】通径法 ‎ 易得，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以离心率为 ‎ 【点睛之笔】通径法，此径通幽！‎ ‎【点睛之笔】几何法，利用图形画出美好未 ！‎ ‎【解后反思】‎ 解法1 直接将数据代入，直奔主题，不走回头路！‎ 解法2 利用通径，减少计算量！‎ 解法3 利用数形结合法，以形助数！‎ 典例2 【2009全国卷Ⅰ，理4】设双曲线(a＞0, b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【点睛之笔】设而不求法，不求也能求！‎ ‎【解法2】导数法 设切点 ‎ ‎ ‎ 切线斜率 ‎ · ‎ .‎ · 又 ‎ ‎ ，故选C.‎ ‎【点睛之笔】导数法，快速确定解题方向！ ‎ ‎【解后反思】‎ 解法1 设而不求法，再也不求人！‎ 解法2 利用导数的几何意义，迅速突破难点，确定解题方略！‎ 3. 典例3双曲线的离心率为e1,双曲线的离心率为e2, 则 ‎ ‎ _________, e1+e2 的最小值为______. e1·e2的最小值为______ .‎ 由双曲线离心率定义知 , 故有.‎ ‎【点睛之笔】均值不等式，不患寡而患不“均”！‎ ‎【解法2】换元法 ‎ 不妨设，则问题相当于 求、的最小值。‎ 由均值不等式得 ，∴ ，等号成立，当且仅当 ，即 ，进而推出 即时.而 ‎ ‎，∴ ，等号成立，当且仅当时取等号（由去分母可得 ） .‎ 故答案依次为 . ‎ ‎【点睛之笔】换元法，换了都说好！‎ ‎【解后反思】‎ 解法1 一正二定三相等，解起题 不需等！‎ 解法2 换元法，越换越简练，越换越明了！ ‎ 二、精选试题，能力升级 ‎1.【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎2.【2018广东省海珠区一模】已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，即，圆化为标准方程，半径为， 双曲线 的两条渐近线均和圆相切， ‎ ‎， ， 双曲线离心率对于，故选C.‎ ‎3.【2018广西柳州市一模】若双曲线 上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 4.【2018湖南省永州市一模】已知点为双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左右焦点，点为的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，设圆与的三边、、分别相切于点，连接、、，则，它们分别是的高， 其中是的内切圆的半径，因为所以，两边约去得，根据双曲线定义，得， 离心率为，双曲线的离心率取值范围为，故选A. ‎ ‎5.【2018陕西西工大附中六模】已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点， 为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎ 6.【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C (a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)．A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x ‎【答案】 C ‎【解析】 ∵，∴ .∴a2＝4b2，.∴渐近线方程为. ‎ ‎ 7.【2011全国新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)‎ A． B． C． 2 D． 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】[‎ ‎8.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C 上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )‎ ‎（A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知，，所以= =，解得，故选A.‎ ‎9.【2018湖南两市九月调研】已知为双曲线的左焦点，定点为双曲线虚轴的一个端点，过两点的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎10.【2008全国1，理21】双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．‎