高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 二十四　简单幂函数的图象和性质

高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 二十四　简单幂函数的图象和性质

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合 适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。 课时素养评价 二十四　简单幂函数的图象和性质 　　　　　　　　　　　　　 (15 分钟　35 分) 1.下列结论正确的是 (　　) A.幂函数图象一定过原点 B.当 α<0 时,幂函数 y=xα 是减函数 C.当 α>1 时,幂函数 y=xα 是增函数 D.函数 y=x2 既是二次函数,也是幂函数 【解析】选 D.函数 y=x-1 的图象不过原点,故 A 不正确;y=x-1 在(-∞,0) 及(0,+∞)上是减函数,故 B 不正确;函数 y=x2 在(-∞,0)上是减函数, 在(0,+∞)上是增函数,故 C 不正确. 2.已知幂函数 f(x)=kxα 的图象过点 ,则 k+α 等于 (　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选 A.因为幂函数 f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点 , 所以 k=1,f = = ,即α=- ,所以 k+α= . 3.在下列四个图形中,y= 的图象大致是 (　　) 【解析】选 D.函数 y= 的定义域为(0,+∞),是减函数. 4.幂函数的图象过点(3, ),则它的单调递增区间是 (　　) A.[-1,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 【解析】选 B.设幂函数为 f(x)=xα,因为幂函数的图象过点(3, ), 所以 f(3)= 3α= = ,解得α= ,所以 f(x)= ,所以幂函数的单调递增区间为[0,+ ∞). 5.(2020·北京高一检测)如果幂函数 f(x)=xa 的图象经过点(2,4),则 f(x)在定义域内 (　　) A.为增函数 B.为减函数 C.有最小值 D.有最大值 【解析】选 C.因为幂函数 f(x)=xa 的图象经过点(2,4), 所以 f(2)=2a=4,解得 a=2,所以 f(x)=x2, 所以 f(x)在定义域先递减再递增,有最小值. 【补偿训练】 　 　已知 2.4α>2.5α,则 α 的取值范围是　　　　. 【解析】因为 0<2.4<2.5,而 2.4α>2.5α, 所以 y=xα在(0,+∞)上为减函数,故α<0. 答案:(-∞,0) 6.已知幂函数 f(x)= (-20,解得:-3 (x1>x2>0)的函数的个数是 (　　) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解题指南】解决该题的关键是正确理解 f > (x1>x2>0)的含义. 【解析】选 A.①函数 f(x)=x 的图象是一条直线,故当 x1>x2>0 时, f = ; ②函数 f(x)=x2 的图象是凹形曲线,故当 x1>x2>0 时,f < ; ③在第一象限,函数 f(x)=x3 的图象是凹形曲线,故当 x1>x2>0 时, f < ; ④函数 f(x)= 的图象是凸形曲线,故当 x1>x2>0 时,f > ; ⑤在第一象限,函数 f(x)= 的图象是一条凹形曲线,故当 x1>x2>0 时, f < . 故仅有函数 f(x)= 满足当 x1>x2>0 时, f > . 二、多选题(共 5 分,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错 的得 0 分) 4.下列函数中,其定义域和值域相同的函数是 (　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 【解析】选 A、B、C.A 中 y= = ,定义域、值域都为 R;B 中 y= = 定义域与值域都为(0,+∞);C 中 y= 的定义域、值域也为 R;D 中 y= = 定义域为 R,而值域为[0,+∞). 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知函数 f(x)=(m2-m-1) 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递 减,则实数 m=　　　　. 【解析】在幂函数 f(x)=(m2-m-1) 中, 令 m2-m-1=1,得 m2-m-2=0, 解得 m=2 或 m=-1; 当 m=2 时,m2-2m-2=-2,函数 f(x)=x-2, 在(0,+∞)上单调递减,满足题意; 当 m=-1 时,m2-2m-2=1,函数 f(x)=x, 在(0,+∞)上单调递增,不满足题意;所以实数 m=2. 答案:2 6.已知幂函数 f(x)= (m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上单调 递增,则 f(2)的值为　　　　. 【解析】因为幂函数 f(x)= (m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞) 上单调递增,则指数是偶数且大于 0,因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4, 因此指数等于 2 或 4,当指数等于 2 时,求得 m 非整数,所以 m=-1,即 f(x)=x4. 所以 f(2)=24=16. 答案:16 四、解答题 7.(10 分)已知幂函数 f(x)= (m∈N*)经过点(2, ),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围. 【解析】因为幂函数 f(x)经过点(2, ), 所以 = ,即 = .所以 m2+m=2. 解得 m=1 或 m=-2.又因为 m∈N*,所以 m=1. 所以 f(x)= ,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数. 由 f(2-a)>f(a-1),得 解得 1≤a< . 所以 a 的取值范围为 . 关闭 Word 文档返回原板块