高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 三十五 利用函数性质判定方程解的存在性
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课时素养评价
三十五 利用函数性质判定方程解的存在性
(15分钟 30分)
1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 ( )
A.,0 B.-2,0
C. D.0
【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.
2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-3<0,f(2)=22+ln 2-4=ln 2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.
3.函数f(x)=x3-的零点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.无数个
【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.
4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是 .
【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;
当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.
答案:
5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?
【解析】设f(x)=log2x+x2,
f=log2+=-1+=-<0,
f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.若a
0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,
所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.
2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则( )
A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0
【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.
若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.
3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,
由图可知,-a≤1,解得a≥-1.
【补偿训练】
已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,
当00 B.f(x1)<0
C.f(x2)>0 D.f(x2)<0
【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,
由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是 .
【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,
要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则00时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.
因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].
答案:(0,1]
6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有 个零点,这几个零点的和等于 .
【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.
答案:3 0
四、解答题
7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;
(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:
可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.
(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.
因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,
其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,
g(x)与f(x)有两个不同的交点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,
所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.
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