人教版高中数学奇偶性

人教版高中数学奇偶性

‎1.3.2‎奇偶性(1)‎ 通常，人们认为对称的图形是美丽的，这种看法，也许是由人体是一个对称结构而引发的，因此，具有对称性（包括轴对称和中心对称）的几何图形很容易引起大家的关注，同样，函数图象的对称性（即函数图象是一条对称曲线）是函数性质研究的重要问题之一 学习目标 ‎1 掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。‎ ‎2从形与数两个方面理解函数奇偶性的概念．‎ ‎3.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．‎ 学习过程：‎ 一、课前准备 复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。‎ 二、新课导学 ‎1．依然观察 y=x2与 y=x3 的图象――从对称的角度 ‎．观察结果：‎ y=x2的图象关于轴对称 ‎ y=x3的图象关于原点对称 分析这两种对称的特点：‎ ‎①当自变量取一对相反数时，y取同一值．‎ f(x)=y=x‎2 f(-1)=f(1)=1 ‎ 即 f(-x)=f(x)‎ 再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点 (-x,y) 也在函数y=x2的图象上．‎ ‎②当自变量取一对相反数时，y亦取相反数．‎ f(x)=y=x‎3 f(-1)=-f(1)=-1 ‎ 即 f(-x)=f(x)‎ 再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x3的图象上，则该点关于原点的对称点 (-x,-y) 也在函数y=x3的图象上．‎ 2 新知：奇（偶）函数的定义 8‎ 如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a) = f(a)，则 称函数y=f(x)是偶函数．‎ ‎ 偶函数的图象关于y轴对称，反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．‎ ‎ 如果对于函数y = .f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)＝-f(a),‎ 则称函数y = f(x)是奇函数．‎ ‎ 奇函数的图象关于原点中心对称，反之，图象关于原点中心对称的函数一定是 奇函数．‎ ‎ 既不是奇函数，也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数．‎ ‎ 若函数y=f(x)的定义域是D，对于D内的任意一个自变量，该自变量的相反 数也属于D，这是函数y = f(x)为奇函数或偶函数的必要条件．如果一个函数不满 足这一条件，这个函数必为非奇非偶函数．‎ ‎ 由奇函数和偶函数的定义可知，既是奇函数，又是偶函数的函数是存在的，它 的解析式一定是f (x) = 0．由于定义域可以不同，因此，既是奇函数，又是偶函数的 函数有无穷多个．‎ ‎ 例： 　y=2x　 （奇函数）　　 ‎ ‎　　 y=-3x2+1 y=2x4+3x2 （偶函数）　‎ y=0 （即奇且偶函数）‎ y=2x+1　 （非奇非偶函数）‎ 典型例题 例1、判断下列函数的奇偶性：‎ ‎1．‎ ‎　　解：定义域：　关于原点非对称区间 ‎　　　∴此函数为非奇非偶函数 ‎2．‎ ‎　　解：定义域：　∴定义域为 x =±1‎ ‎　　　 且 f (±1) = 0‎ 8‎ ‎∴此函数为即奇且偶函数 ‎3．‎ ‎　解：显然定义域关于原点对称 ‎　　 当 x>0时, -x<0 f (-x) = x2-x = -(x-x2)‎ ‎　　 当 x<0时, -x>0 f (-x) = -x-x2 = -(x2+x)‎ ‎　 即：‎ ‎∴此函数为奇函数 注：研究函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域．若存在一对相反数 a和-a，其中有且仅有一个属干函数定义域，则此函数一定是非奇非偶函数，此外，‎ 说明某个函数为非奇非偶函数的常用方法是指出一对相反数a和-a,其函数值有f(-a)¹f(a)且f(-a)¹-f(a)‎ 例2、判断 的奇偶性。‎ ‎　 解：∵ ∴函数的定义域为 R ‎ 且 f (x) + f (-x)‎ ‎∴f (x) = - f (-x) ∴f (x) 为奇函数 ‎ 注：判断函数奇偶性的又一途径：f (x) + f (-x) = 0 为奇函数 ‎ f (x) + f (-x) = ‎2 f (x) 为偶函数 例3、已知函数f(x）对任意的x,，yÎ R满足f(x+y=f(x) + f(y) -‎ ‎ (1)求f(o)的值；(2)求证：f(x)是奇函数．‎ ‎ 解（1) f(0十0)＝f(0) + f(0)，所以，f(0)＝0.‎ ‎ （2) f[x＋（一x）]＝f（x）＋f（一x），而f(0)＝0，所以，f(一x)＝一f(x)，函 数y＝f (x)是奇函数．‎ 8‎ ‎ 注： 若函数y＝f(x) (xÎ D)是奇函数，且0ÎD，则一定有月f（0）＝0．‎ 三、总结提升 ‎※ 学习小结 ‎.一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数 奇函数Û图象关于原点对称 ‎　　 偶函数Û图象关于轴对称 学习评价 ‎ ※自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）‎ A．很好 B．较好 C ．一般 D．较差 ‎※当堂检测（时间：10分钟 满分10分）‎ ‎1．已知函数 f (x) 是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：‎ ‎ 1）．f (0) = 0‎ ‎ 2）．若 f (x) 在 [0, 上有最小值 -1，则 f (x) 在上有最大值1。‎ ‎ 3）．若 f (x) 在 [1, 上为增函数，则 f (x) 在 上为减函数。‎ ‎ 4）．若 x > 0时，f (x) = x2 - 2x , 则 x < 0 时，f (x) = - x2 - 2x 。‎ ‎ 其中正确的序号是： ‎ ‎2、已知=ax2+bx+‎3a+b的定义域为[a -1，‎2a]，且f（x）为偶函数，则a=_____b=____‎ 课后作业 ‎1、已知函数是R上的奇函数，是R上的偶函数，若，则______________ ‎ ‎ 2、若，，则_________‎ 当堂检测答案 ‎1、解：(1) (2) (4)‎ ‎2、解：a=1/3 b=0‎ 课后作业答 ‎1、解：- x2 +9x-12‎ ‎ 2、解：31‎ 8‎ ‎1.3.2‎奇偶性(2)‎ ‎——函数的单调性与奇偶性及图象 学习目标 ‎1 通过对例题（习题）的判析，对函数的单调性与奇偶性有更深刻的理解。‎ ‎2 根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。 ‎ 学习过程：‎ 一、课前准备 复习：具有奇偶性的函数有：‎ ‎（1）其定义域关于原点对称；‎ ‎（2） 或必有一成立。‎ 因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。‎ ‎（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。‎ ‎（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。‎ ‎（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。‎ ‎（6）奇函数若在时有定义，则．偶函数满足。‎ 二、典型例题 例1、．已知f(x)是实数集R上的奇函数，当x > 0时，f(x)=＝-2 x2 + 3x＋1 .‎ ‎ （I）求f(0）的值；‎ ‎ (2)求f(x)在实数集R上的表达式．‎ 解析 x>0时的解析式是已知的，利用奇函数的定义，即可求出x<0时的解析式，由于f(x)是R上的奇函数，令x=0即可求得f(0).‎ 8‎ 解:(1) ∵f(x)是R上的奇函数，‎ ‎ ∴ f(-0)＝-f(0)，‎ ‎ ∴ f(0)＝-f(0) ,‎2f(0) =0, ∴ f(0）=0.‎ ‎ (2) 当x<0时，-x >0,‎ ‎ f(-x）=-2 (x)2+3（-x)＋1＝-2 x2 -3x＋1.‎ ‎ 由于f(x)是奇函数，∴f( -x)=-f(x),‎ ‎ ∴-f(x)＝-2 x2-3x＋1，‎ ‎ .∴f(x）=2 x2＋3x-1(x<0).‎ ‎ 在实数集R上函数f(x)的表达式为 ‎ -2 x2 + 3x＋1 ， (x >0),‎ ‎ f(x＝ 0 (x=0)‎ ‎ 2 x2＋3x-1, (x<0).‎ ‎ 注：奇函数的图象关于坐标原点成中心对称，从而 可以利用x>0时的解析式求x<0时的解析式．这类问题的 求解方法是：先设出所求区间上的自变量，利用奇偶函数定 义城关于坐标原点时称的特点，把它转化到已知的区间上， 再代入已知的解析式，再次利用函数的奇偶性求解；‎ 例2、根据所给定义域，画出函数的图象。‎ ‎ -2 -1 O 1 2 3 4‎ ‎ y ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ -2 -1 O 1 2 3 4‎ ‎ y ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ -2 -1 O 1 2 3 4‎ ‎ y ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎ 1。 2。 3。且xÎZ ‎ ‎ ‎ 例3、函数-2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的。‎ 解：1）将的图象沿 x轴向左平移1个单位再沿y轴向下平移2个单位得-2的图象；‎ ‎2）将的图象沿x轴向右平移个 单位再沿y轴向上平移1个单位得函数 8‎ 的图象。‎ ‎ ‎ 小结：1。 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0向左,k<0向右）得y=f(x+k)图象；‎ ‎ 2．将函数y=f(x)的图象向上（或向下）平移|k|个单位（k>0向上,k<0向下）得y=f(x) +k图象。‎ y x O y x O y x O y=-f(x)‎ y=f(-x)‎ y=-f(-x)‎ 例4、设 (x>0)作出y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象。‎ 横坐标不变，纵坐标 纵坐标不变，横坐标 横坐标与纵坐标都取 取相反数 取相反数 原来相反数 图象关于轴对称 图象关于轴对称 图象关于原点对称 例5、如图为y=f(x)的图象，求作y= -f(x)，y=f(-x)， y=|f(x)|，y=f(|x|)的图象。‎ y x O x O x O x O ‎ ‎ 三、总结提升 ‎※ 学习小结 ‎1 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0向左,k<0向右）得y=f(x+k)图象；‎ ‎ 2． 将函数y=f(x)的图象向上（或向下）平移|k|个单位（k>0向上,k<0向下）得y=f(x) +k图象。‎ ‎3 函数y=f(x)与y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴、y轴、原点对称 ‎4 将y=f(x)的图象，x轴上方部分不变，下方部分以x轴为对称轴向上翻折即y=|f(x)|的图象；‎ ‎5 将y=f(x)的图象，y轴右方部分不变，以y轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y=f(|x|)的图象。‎ 8‎ 学习评价 ‎ ※自我评价 你完成本节学案的情况为（ ）‎ A．很好 B．较好 C ．一般 D．较差 ‎※当堂检测（时间：10分钟 满分10分）‎ ‎1 作出函数及y=|x|2-2|x|-1的图象。‎ 课后作业 ‎1、作出函数y=|x2-2x-1|的图象。‎ ‎2 讨论函数的图象与的图象的关系。‎ 当堂检测答案 ‎ 1 解 ：当x≥0时 y=x2-2x-1‎ ‎ 当x<0时 y=x2+2x-1 即 y=(-x)2-2(-x)-1‎ y x -3 -2 -1 O 1 2 3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ -1‎ -2‎ -3‎ ‎ ‎ 步骤：1）作出y=x2-2x-1的图象；‎ ‎ 2）y轴右方部分不变，再将右方部分以y轴为对称轴向左翻折，即得y=|x|2-2|x|-1的图象 。‎ y x -1 O 1 2 3‎ ‎2‎ ‎1‎ -1‎ -2‎ 课后作业答 ‎1、解： 当x2-2x-1≥0时，y=x2-2x-1‎ ‎ 当x2-2x-1<0时，y=-(x2-2x-1)‎ ‎ ‎ 步骤：1.作出函数y=x2-2x-1的图象 ‎2 将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴 向上翻折（上方部分不变），即得y=|x2-2x-1|的图象。 ‎ ‎ 2、解： ‎ 可由的图象向左平移两个单位得的图象，再向上平移三个单位得 的图象。‎ 8‎