人教版高中数学奇偶性

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

人教版高中数学奇偶性

‎1.3.2‎奇偶性(1)‎ 通常,人们认为对称的图形是美丽的,这种看法,也许是由人体是一个对称结构而引发的,因此,具有对称性(包括轴对称和中心对称)的几何图形很容易引起大家的关注,同样,函数图象的对称性(即函数图象是一条对称曲线)是函数性质研究的重要问题之一 学习目标 ‎1 掌握函数奇偶性的定义,并掌握判断函数奇偶性的基本方法。‎ ‎2从形与数两个方面理解函数奇偶性的概念.‎ ‎3.通过函数奇偶性概念的形成过程,培养观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想.‎ 学习过程:‎ 一、课前准备 复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。‎ 二、新课导学 ‎1.依然观察 y=x2与 y=x3 的图象――从对称的角度 ‎.观察结果:‎ y=x2的图象关于轴对称 ‎ y=x3的图象关于原点对称 分析这两种对称的特点:‎ ‎①当自变量取一对相反数时,y取同一值.‎ f(x)=y=x‎2 f(-1)=f(1)=1 ‎ 即 f(-x)=f(x)‎ 再抽象出来:如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上,则该点关于y轴的对称点 (-x,y) 也在函数y=x2的图象上.‎ ‎②当自变量取一对相反数时,y亦取相反数.‎ f(x)=y=x‎3 f(-1)=-f(1)=-1 ‎ 即 f(-x)=f(x)‎ 再抽象出来:如果点 (x,y) 在函数y=x3的图象上,则该点关于原点的对称点 (-x,-y) 也在函数y=x3的图象上.‎ 2 新知:奇(偶)函数的定义 8‎ 如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(-a) = f(a),则 称函数y=f(x)是偶函数.‎ ‎ 偶函数的图象关于y轴对称,反之,图象关于y轴对称的函数一定是偶函数.‎ ‎ 如果对于函数y = .f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(-a)=-f(a),‎ 则称函数y = f(x)是奇函数.‎ ‎ 奇函数的图象关于原点中心对称,反之,图象关于原点中心对称的函数一定是 奇函数.‎ ‎ 既不是奇函数,也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.‎ ‎ 若函数y=f(x)的定义域是D,对于D内的任意一个自变量,该自变量的相反 数也属于D,这是函数y = f(x)为奇函数或偶函数的必要条件.如果一个函数不满 足这一条件,这个函数必为非奇非偶函数.‎ ‎ 由奇函数和偶函数的定义可知,既是奇函数,又是偶函数的函数是存在的,它 的解析式一定是f (x) = 0.由于定义域可以不同,因此,既是奇函数,又是偶函数的 函数有无穷多个.‎ ‎ 例:  y=2x  (奇函数)   ‎ ‎   y=-3x2+1 y=2x4+3x2 (偶函数) ‎ y=0 (即奇且偶函数)‎ y=2x+1  (非奇非偶函数)‎ 典型例题 例1、判断下列函数的奇偶性:‎ ‎1.‎ ‎  解:定义域: 关于原点非对称区间 ‎   ∴此函数为非奇非偶函数 ‎2.‎ ‎  解:定义域: ∴定义域为 x =±1‎ ‎    且 f (±1) = 0‎ 8‎ ‎∴此函数为即奇且偶函数 ‎3.‎ ‎ 解:显然定义域关于原点对称 ‎   当 x>0时, -x<0 f (-x) = x2-x = -(x-x2)‎ ‎   当 x<0时, -x>0 f (-x) = -x-x2 = -(x2+x)‎ ‎  即:‎ ‎∴此函数为奇函数 注:研究函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域.若存在一对相反数 a和-a,其中有且仅有一个属干函数定义域,则此函数一定是非奇非偶函数,此外,‎ 说明某个函数为非奇非偶函数的常用方法是指出一对相反数a和-a,其函数值有f(-a)¹f(a)且f(-a)¹-f(a)‎ 例2、判断 的奇偶性。‎ ‎  解:∵ ∴函数的定义域为 R ‎ 且 f (x) + f (-x)‎ ‎∴f (x) = - f (-x) ∴f (x) 为奇函数 ‎ 注:判断函数奇偶性的又一途径:f (x) + f (-x) = 0 为奇函数 ‎ f (x) + f (-x) = ‎2 f (x) 为偶函数 例3、已知函数f(x)对任意的x,,yÎ R满足f(x+y=f(x) + f(y) -‎ ‎ (1)求f(o)的值;(2)求证:f(x)是奇函数.‎ ‎ 解(1) f(0十0)=f(0) + f(0),所以,f(0)=0.‎ ‎ (2) f[x+(一x)]=f(x)+f(一x),而f(0)=0,所以,f(一x)=一f(x),函 数y=f (x)是奇函数.‎ 8‎ ‎ 注: 若函数y=f(x) (xÎ D)是奇函数,且0ÎD,则一定有月f(0)=0.‎ 三、总结提升 ‎※ 学习小结 ‎.一般函数的奇偶性有四种:奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数 奇函数Û图象关于原点对称 ‎   偶函数Û图象关于轴对称 学习评价 ‎ ※自我评价 你完成本节学案的情况为( )‎ A.很好 B.较好 C .一般 D.较差 ‎※当堂检测(时间:10分钟 满分10分)‎ ‎1.已知函数 f (x) 是定义在 R上的奇函数,给出下列命题:‎ ‎ 1).f (0) = 0‎ ‎ 2).若 f (x) 在 [0, 上有最小值 -1,则 f (x) 在上有最大值1。‎ ‎ 3).若 f (x) 在 [1, 上为增函数,则 f (x) 在 上为减函数。‎ ‎ 4).若 x > 0时,f (x) = x2 - 2x , 则 x < 0 时,f (x) = - x2 - 2x 。‎ ‎ 其中正确的序号是: ‎ ‎2、已知=ax2+bx+‎3a+b的定义域为[a -1,‎2a],且f(x)为偶函数,则a=_____b=____‎ 课后作业 ‎1、已知函数是R上的奇函数,是R上的偶函数,若,则______________ ‎ ‎ 2、若,,则_________‎ 当堂检测答案 ‎1、解:(1) (2) (4)‎ ‎2、解:a=1/3 b=0‎ 课后作业答 ‎1、解:- x2 +9x-12‎ ‎ 2、解:31‎ 8‎ ‎1.3.2‎奇偶性(2)‎ ‎——函数的单调性与奇偶性及图象 学习目标 ‎1 通过对例题(习题)的判析,对函数的单调性与奇偶性有更深刻的理解。‎ ‎2 根据函数解析式作出它们的图象,并且能根据图象分析函数的性质;同时了解图象的简单变换(平移变换和对称变换)。 ‎ 学习过程:‎ 一、课前准备 复习:具有奇偶性的函数有:‎ ‎(1)其定义域关于原点对称;‎ ‎(2) 或必有一成立。‎ 因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算,看是等于还是等于,然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。‎ ‎(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。‎ ‎(4)函数既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。‎ ‎(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于轴对称,那么这个函数是偶函数。‎ ‎(6)奇函数若在时有定义,则.偶函数满足。‎ 二、典型例题 例1、.已知f(x)是实数集R上的奇函数,当x > 0时,f(x)==-2 x2 + 3x+1 .‎ ‎ (I)求f(0)的值;‎ ‎ (2)求f(x)在实数集R上的表达式.‎ 解析 x>0时的解析式是已知的,利用奇函数的定义,即可求出x<0时的解析式,由于f(x)是R上的奇函数,令x=0即可求得f(0).‎ 8‎ 解:(1) ∵f(x)是R上的奇函数,‎ ‎ ∴ f(-0)=-f(0),‎ ‎ ∴ f(0)=-f(0) ,‎2f(0) =0, ∴ f(0)=0.‎ ‎ (2) 当x<0时,-x >0,‎ ‎ f(-x)=-2 (x)2+3(-x)+1=-2 x2 -3x+1.‎ ‎ 由于f(x)是奇函数,∴f( -x)=-f(x),‎ ‎ ∴-f(x)=-2 x2-3x+1,‎ ‎ .∴f(x)=2 x2+3x-1(x<0).‎ ‎ 在实数集R上函数f(x)的表达式为 ‎ -2 x2 + 3x+1 , (x >0),‎ ‎ f(x= 0 (x=0)‎ ‎ 2 x2+3x-1, (x<0).‎ ‎ 注:奇函数的图象关于坐标原点成中心对称,从而 可以利用x>0时的解析式求x<0时的解析式.这类问题的 求解方法是:先设出所求区间上的自变量,利用奇偶函数定 义城关于坐标原点时称的特点,把它转化到已知的区间上, 再代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解;‎ 例2、根据所给定义域,画出函数的图象。‎ ‎ -2 -1 O 1 2 3 4‎ ‎ y ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ -2 -1 O 1 2 3 4‎ ‎ y ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ -2 -1 O 1 2 3 4‎ ‎ y ‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎ 1。 2。 3。且xÎZ ‎ ‎ ‎ 例3、函数-2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的。‎ 解:1)将的图象沿 x轴向左平移1个单位再沿y轴向下平移2个单位得-2的图象;‎ ‎2)将的图象沿x轴向右平移个 单位再沿y轴向上平移1个单位得函数 8‎ 的图象。‎ ‎ ‎ 小结:1。 将函数y=f(x)的图象向左(或向右)平移|k|个单位(k>0向左,k<0向右)得y=f(x+k)图象;‎ ‎ 2.将函数y=f(x)的图象向上(或向下)平移|k|个单位(k>0向上,k<0向下)得y=f(x) +k图象。‎ y x O y x O y x O y=-f(x)‎ y=f(-x)‎ y=-f(-x)‎ 例4、设 (x>0)作出y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象。‎ 横坐标不变,纵坐标 纵坐标不变,横坐标 横坐标与纵坐标都取 取相反数 取相反数 原来相反数 图象关于轴对称 图象关于轴对称 图象关于原点对称 例5、如图为y=f(x)的图象,求作y= -f(x),y=f(-x), y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象。‎ y x O x O x O x O ‎ ‎ 三、总结提升 ‎※ 学习小结 ‎1 将函数y=f(x)的图象向左(或向右)平移|k|个单位(k>0向左,k<0向右)得y=f(x+k)图象;‎ ‎ 2. 将函数y=f(x)的图象向上(或向下)平移|k|个单位(k>0向上,k<0向下)得y=f(x) +k图象。‎ ‎3 函数y=f(x)与y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴、y轴、原点对称 ‎4 将y=f(x)的图象,x轴上方部分不变,下方部分以x轴为对称轴向上翻折即y=|f(x)|的图象;‎ ‎5 将y=f(x)的图象,y轴右方部分不变,以y轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y=f(|x|)的图象。‎ 8‎ 学习评价 ‎ ※自我评价 你完成本节学案的情况为( )‎ A.很好 B.较好 C .一般 D.较差 ‎※当堂检测(时间:10分钟 满分10分)‎ ‎1 作出函数及y=|x|2-2|x|-1的图象。‎ 课后作业 ‎1、作出函数y=|x2-2x-1|的图象。‎ ‎2 讨论函数的图象与的图象的关系。‎ 当堂检测答案 ‎ 1 解 :当x≥0时 y=x2-2x-1‎ ‎ 当x<0时 y=x2+2x-1 即 y=(-x)2-2(-x)-1‎ y x -3 -2 -1 O 1 2 3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ -1‎ -2‎ -3‎ ‎ ‎ 步骤:1)作出y=x2-2x-1的图象;‎ ‎ 2)y轴右方部分不变,再将右方部分以y轴为对称轴向左翻折,即得y=|x|2-2|x|-1的图象 。‎ y x -1 O 1 2 3‎ ‎2‎ ‎1‎ -1‎ -2‎ 课后作业答 ‎1、解: 当x2-2x-1≥0时,y=x2-2x-1‎ ‎ 当x2-2x-1<0时,y=-(x2-2x-1)‎ ‎ ‎ 步骤:1.作出函数y=x2-2x-1的图象 ‎2 将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴 向上翻折(上方部分不变),即得y=|x2-2x-1|的图象。 ‎ ‎ 2、解: ‎ 可由的图象向左平移两个单位得的图象,再向上平移三个单位得 的图象。‎ 8‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档