【数学】2020届一轮复习人教B版(文)33直线与圆锥曲线的综合作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版(文)33直线与圆锥曲线的综合作业

天天练33 直线与圆锥曲线的综合 小题狂练 一、选择题 ‎1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(  )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案:A 解析:通解 将直线y=kx-k+1与椭圆+=1联立,整理得(4+9k2)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0,则Δ=[18k(1-k)]2-4(4+9k2)[9(1-k)2-36]=144(8k2+2k+3)>0,所以直线与椭圆相交.‎ 优解 因为直线y=kx-k+1过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.‎ ‎2.已知直线y=kx+1与双曲线x2-=1交于A,B两点,且|AB|=8,则实数k的值为(  )‎ A.± B.±或± C.± D.± 答案:B 解析:由直线与双曲线交于A,B两点,得k≠±2.将y=kx+1代入x2-=1得,(4-k2)x2-2kx-5=0,则Δ=4k2+4(4-k2)×5>0,解得k2<5.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=·=8,解得k=±或±.‎ ‎3.[2019·兰州模拟]已知直线y=kx-k-1与曲线C:x2+2y2=m(m>0)恒有公共点,则m的取值范围是(  )‎ A.[3,+∞) B.(-∞,3]‎ C.(3,+∞) D.(-∞,3)‎ 答案:A 解析:直线y=kx-k-1恒过定点(1,-1).因为直线y=kx-k-1与曲线C:x2+2y2=m(m>0)恒有公共点,则曲线C表示椭圆,点(1,-1)在椭圆内或椭圆上,所以12+2×(-1)2≤m,所以m≥3,故选A.‎ ‎4.[2019·宁波九校联考(二)]过双曲线x2-=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线的两条渐近线分别交于B,C,且2=,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案:C 解析:由题意可知,左顶点A(-1,0).又直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1,若直线l与双曲线的渐近线有交点,则b≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y=-bx,y=bx,所以可得xB=-,xC=.由2=,可得2(xB-xA)=xC-xB,故2×=-,得b=2,故e==.‎ ‎5.[2019·浙江八校联考(二)]抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A,B两点,且这两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则(  )‎ A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3‎ C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0‎ 答案:B 解析:由消去y得ax2-kx-b=0,可知x1+x2=,x1x2=-,令kx+b=0得x3=-,所以x1x2=x1x3+x2x3.故选B.‎ ‎6.[2019·长春检测]椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(  )‎ A.- B.- C.- D.- 答案:A 解析:设以P为中点的弦所在直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则4x+9y=144,4x+9y=144,两式相减得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,又x1+x2=6,y1+y2=4,=k,代入解得k=-.故选A.‎ ‎7.[2019·福建福州外国语学校适应性考试]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为2,抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.x2-=1 D.-y2=1‎ 答案:D 解析:由题意可得c=,得a2+b2=5,双曲线的渐近线方程为y=±x.将渐近线方程和抛物线方程y=x2+联立,可得x2±x+=0,由渐近线和抛物线相切可得Δ=-4××=0,即有a2=4b2,又a2+b2=5,解得a=2,b=1,可得双曲线的方程为-y2=1.故选D.‎ ‎8.[2019·唐山市五校联考]直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为(  )‎ A.3 B.2‎ C. D. 答案:D 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),代入双曲线的方程,得两式相减得-=0,又所以=,所以==kOMkl=1,所以e2=1+=2,所以e=,故选D.‎ 二、非选择题 ‎9.若直线y=x+b和曲线4x2-y2=36有两个不同的交点,则b的取值范围是________.‎ 答案:∪ 解析:联立直线方程和曲线方程,消去y得,-x2-5bx-b2-36=0,由直线和曲线有两个不同的交点,所以Δ=25b2-9(b2+36)>0,解得b<-或b>.‎ ‎10.直线x-y-1=0与抛物线y2=4x交于A,B两点,过线段AB的中点作直线x=-1的垂线,垂足为M,则·=________.‎ 答案:0‎ 解析:设A(x1,x1-1),B(x2,x2-1),由得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,故AB的中点C(3,2),M(-1,2),又=(x1+1,x1-3),=(x2+1,x2-3),所以·=(x1+1)(x2+1)+(x1-3)·(x2-3)=2x1x2-2(x1+x2)+10=0.‎ ‎11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为________.‎ 答案: 解析:当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2‎ ‎>0,则x1+x2= ①,x1x2=1 ②,+=+===1.当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,故+=1.设|AF|=a,|BF|=b,则+=1,所以|AF|+‎ ‎4|BF|=a+4b=(a+4b)=5++≥9,当且仅当a=2b时取等号,故a+4b的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x1+1=2(x2+1) ③,联立①②③得, x1=2,x2=,k=±2,故直线AB的倾斜角的正弦值为.‎ ‎12.[2019·广东揭阳一中、汕头金山中学联考]已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,双曲线x2-=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直,则实数a=________.‎ 答案: 解析:根据抛物线的定义得1+=5,所以p=8,所以m=±4.由对称性不妨取M(1,4),A(-1,0),则直线AM的斜率为2,由题意得-×2=-1,故a=.‎ 课时测评 一、选择题 ‎1.已知抛物线y2=16x,直线l过点M ‎(2,1),且与抛物线交于A,B两点,|AM|=|BM|,则直线l的方程是(  )‎ A.y=8x+15 B.y=8x-15‎ C.y=6x-11 D.y=5x-9‎ 答案:B 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),代入抛物线方程得y=16x1,y=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2),即=,又y1+y2=2,所以kAB=8,故直线l的方程为y=8x-15.‎ ‎2.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2=,则直线l过定点(  )‎ A.(-3,0) B.(0,-3)‎ C.(3,0) D.(0,3)‎ 答案:A 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为k1k2=,所以·=.又y=2x1,y=2x2,所以y1y2=6.将直线l:x=my+b代入抛物线C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,得b=-3,即直线l的方程为x=my-3,所以直线l过定点(-3,0).‎ ‎3.若直线x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值为(  )‎ A.± B.±2‎ C.±1 D.± 答案:C 解析:设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).由得x2-2mx-m2-2=0(Δ>0),∴x0==m,y0=x0+m=2m,∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1.‎ ‎4.已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为M,N,点P在椭圆C上,且直线PN的斜率为-,则直线PM 的斜率为(  )‎ A. B.3‎ C. D.2‎ 答案:B 解析:由题意知M(-2,0),N(2,0),又直线PN的斜率为-,所以直线PN的方程为y=-(x-2),代入椭圆C:+=1可得13x2-4x-44=0.设P(x0,y0),则x0+2=,解得x0=-,y0=,故直线PM的斜率k==3,故选B.‎ ‎5.[2019·太原模拟]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足++=0,则++=(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.2p 答案:A 解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F,则++=(0,0),故y1+y2+y3=0.∵===,同理可知=,=,∴++==0.‎ ‎6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)与直线y=x+3只有一个公共点,且椭圆的离心率为,则椭圆C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案:B 解析:将直线方程y=x+3代入C的方程并整理得(a2+b2)x2+6a2x+9a2-a2b2=0,由椭圆与直线只有一个公共点得,Δ=(6a2)2-4(a2+b2)(9a2-a2b2)=0,化简得a2+b2=9.又由椭圆的离心率为,所以==,则=,解得a2=5,b2=4,所以椭圆方程为+=1.‎ ‎7.[2019·天津红桥区月考]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(  )‎ A.1 B. C.2 D.3‎ 答案:C 解析:因为双曲线方程为-=1,所以双曲线的渐近线方程是y=±x.又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-,故A,B两点的纵坐标分别是y=±.因为双曲线的离心率为2,所以=2,所以=3,则=,A,B两点的纵坐标分别是y=±=±.又△AOB的面积为,x轴是∠AOB的平分线,所以×p×=,解得p=2.故选C.‎ ‎8.[2017·全国卷Ⅰ]已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(  )‎ A.16  B.14‎ C.12   D.10‎ 答案:A 解析:‎ 因为F为y2=4x的焦点,所以F(1,0).‎ 由题意直线l1,l2的斜率均存在,且不为0,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-,故直线l1,l2的方程分别为y=k(x-1),y=-(x-1).‎ 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,‎ 所以|AB|=·|x1-x2|=·=·=.‎ 同理可得|DE|=4(1+k2).‎ 所以|AB|+|DE|=+4(1+k2)=4+1+1+k2=8+4k2+≥8+4×2=16,‎ 当且仅当k2=,即k=±1时,取得等号.故选A.‎ 二、非选择题 ‎9.[2018·北京卷]若双曲线-=1(a>0)的离心率为,则a=________.‎ 答案:4‎ 解析:由e==知=2=,‎ ‎∴a2=16.∵a>0,∴a=4.‎ ‎10.[2019·沈阳监测]已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点,则弦AB所在直线的方程是________________________________________________________________________.‎ 答案:2x-y-1=0‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,则y1+y2=2,又点A,B在抛物线y2=4x上,所以两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则==2,即直线AB的斜率k=2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.‎ ‎11.[2019·河南周口联考]已知椭圆C1的方程为+=1,椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C2的方程;‎ ‎(2)如图,M,N分别为直线l与椭圆C1,C2的交点,P为椭圆C2与y轴的交点,△PON的面积为△POM的面积的2倍,若直线l的方程为y=kx(k>0),求k的值.‎ 解析:(1)∵椭圆C1的长轴在x轴上,且长轴长为4,‎ ‎∴椭圆C2的短轴在x轴上,且短轴长为4.‎ 设椭圆C2的方程为+=1(a>b>0),‎ 则 解得a=4,b=2,∴椭圆C2的方程为+=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由△PON的面积为△POM的面积的2倍,得 ‎|ON|=2|OM|,‎ ‎∴|x2|=2|x1|.‎ 联立 消去y得x=± ,‎ ‎∴|x1|= .同理得|x2|= .‎ ‎∴ =2 ,‎ 解得k=±3.‎ ‎∵k>0,∴k=3.‎
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