北大附中高考数学专题复习概率与统计知识拓展

北大附中高考数学专题复习概率与统计知识拓展

学科：数学 教学内容：概率与统计知识拓展 ‎【知识拓展】‎ ‎1．“偶然”、“随机”应用的妙处．‎ 在某些国家的天气预报节目中，你会看到画面下方有一行注释性的文字：“降水概率82%”，关于这些注释，不用解说员过多解释人们也能明白：“今天下雨的可能性很大”．或人们常说的：“八成要下雨了，带上伞比较好．”但如果说降水概率为20%，你要不要为下雨作准备呢?一般人可能会想：“算了，下雨的可能性不大，不用带伞了．”可有时就因为这20%，你就会被雨淋一下子，这时你能怪气象台吗?天气预报并没有说不下雨，只是下雨的“概率”很小而已．‎ 太阳从东方升起，这是必然现象，永远也不会改变，但明天是否下雨，一般来说就没有必然性了，可能下，也可能不下，是偶然事件．在数学上，把偶然事件又称作随机事件，可事件的发生与否会随机而定吗?‎ 必然事件发生的可能性是100%，不发生的可能性为0%，而随机事件就不是这样了，发生的可能性可以为1%，也可以为99%，发生的大小可以用一个小数来衡量，这个数就叫做概率，概率的最大值取1，最小值取0．‎ 随机事件大量存在，自然界刮风下雨，社会中的彩票，炒股等等，都是随机现象．今天的股票是涨还是跌?那可没准，既可能疯狂飚升，也可能一落千丈．其他如某城市一天中交通事故的数目、学生某次考试的成绩等都具有随机性．人们常说的“风险”就是随机事件的一种认识．人活于世，不可能事事顺心，样样如意，有时候必须去搏，敢于冒险，对随机事件做出自己的判断，把“不一定”发生的事情变成现实，这就是我们的“胜利”．如果老是想干十拿九稳的事，大概成就不了大事业．‎ 说了这么多，究竟“偶然”、“随机”有什么用处呢?概率论能帮我们去处理随机事件吗?回答是肯定的，概率论就是用数学方法来计算各种随机事件发生的概率的大小，并用于指导人们的行动，虽说“天有不测风云”，气象台还是要给出各种天气现象发生的概率．1999年的冬天，中央气象台没有预报内蒙古的一次大的降雪过程(即得出降雪的概率为0)．结果那里下了大雪，为此天气预报主持人还表示道歉，由此表明，中央电视台的预报准确率还是比较高的，由于偶然出错，才需要道歉．同样，尽管股市风险无常，股评家仍然在电视台上做各种预测，只不过其准确性远不如气象预报，股评不准，电台就不会负责任了．‎ 如此看来，概率确实和人们的生活息息相关，从而我们都应去了解概率的知识，“偶然”、“随机”各有自己的妙处，在各种场合的中奖问题中，这一点尤为突出．‎ 为了筹措特殊的资金，比如用于社会福利和体育事业，我国已经开始发行福利彩票和体育彩票了，这种彩票的面值不大，中奖后的奖金却高达上百万元．例如，上海的福利彩票，每期的发行量在1000万元左右，如果仅拿出价值的一半做为奖金，头奖的金额就可达100‎ 万元，而剩余的一半可用于上海的福利事业．这样既可满足许多人寻求中大奖，发大财的心理需求，又能解决上海市的福利资金问题，可以说是一举两得的善事，又由于彩票的面值较小，多数人不能中奖，就当是为国家的福利事业做了贡献．正是由于这种彩票采取了公开的“幸运抽奖”的方式，且有国家公证机关来保证抽奖的公正性，因而又不同于一般的赌搏，因此受到了政府的支持和人民的信任，这可以说是“偶然”、“随机”为国家做的大贡献，关于其他方面的知识，请读者自己去查阅相关资料．‎ ‎2．“街头摸奖”可信吗?‎ 你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗?我们不妨来试试下面的彩球游戏．准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：‎ ‎6个全红赢得100元 ‎5红1白赢得50元 ‎4红2白赢得20元 ‎3红3白输100元 ‎2红4白赢得20元 ‎1红5白赢得50元 ‎6个全白赢得100元 如果你摸出了3红3白则输100元．而对于其他六种情况，你均能赢利相应的钱数，而不用花其他的钱，怎么样?动心了吗?[注：这个规则有时称为“袋子”模型]‎ 乍一看，此规则似乎处处对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次．然而，顾客一个个都免不了扫兴而去，一连十几个人各试了5次，结果都以失败告终，每人输的钱在60元到130元不等，而且试的次数越多，则输的越多．‎ 其实，我们想一想也该明白，天下哪有免费的午餐呢?但要知道为什么会输就要用到我们的概率的知识了，要弄清这个问题并不难，我们不妨逐一计算顾客中奖的可能性，也就是输赢规则中7种情况各自出现的概率大小．‎ 用概率论的语言说，假如7种情况是等可能的，则赢的机会为，输的机会仅为,摸7次有6次都应该赢．但游戏的妙处就在于这7种情况的发生不是等可能的．由于球的形状、大小、重量等完全一样，所以我们无法看到的情况下是无法区分红球和白球的，任意摸6个球，不论红或白，共有种可能，由此就可以计算出摸到5红1白的概率为．而摸到3红3白的概率为．可见，输钱的可能性约占，正是由于各种情况出现的概率不均等，才导致了人们上当受骗，这7种情况出现的概率如下所示：‎ 结果出现的概率 ‎6个全红 0.1%‎ ‎5红1白 3.9%‎ ‎4红2白 24.4%‎ ‎3红3白 43.2%‎ ‎2红4白 24.4%‎ ‎1红5白 3.9%‎ ‎6个全白 0.1%‎ 很显然，上面7种情况的概率加起来是1，它们把全部的可能性100%进行了不均等的概率分配，从中还可以看出，要想摸出“6个全红”或“6个全白”的可能性仅为0.1%，相当于1000次中只有1次会赢100元，这是一个概率很小的事件，根据实际推断原理，在一次摸取中，基本上是不会发生的，而摸到3红3白的可能性为43.2%，即几乎每两次就有一次可能出现，几乎有一半的机会输掉100元，这就是摸得越多，输得越多的原因．为了进一步分析，我们设随机变量η表示赢的钱数，则η的分布列应为 η ‎100‎ ‎50‎ ‎20‎ ‎－100‎ P ‎0.002‎ ‎0.078‎ ‎0.488‎ ‎0.432‎ 表1-33‎ 所以，我们赢钱的数学期望为 ‎＝2×(0.1＋1.95＋4.88)－43.2‎ ‎＝－29.34．‎ 由期望的实际意义可知，我们每摸一次，平均就输掉29.34元．‎ 事实上，这种摸彩是一种“机会游戏”，它不过是概率论这门学科的低极表现形式而已，并不是什么新鲜的玩意儿，但若涉及到金钱，它就变成了赌搏．这就告诉我们，遇到诱惑时要谨慎行事，一般来说，诱惑越大的游戏，就越能使人输钱，以至于倾家荡产．‎ ‎3．“同年同月同日生”真的很稀奇吗？‎ 如果你学过概率，你就能得出一些使人吃惊的结论来，让我们来看一个著名的数学问题：生日的相合，367个人中间，肯定有两个人的生日相同．[注：这里我们只讨论出生的月份及日期，而不考虑年份．]这是根据抽屉原理得来的(因为一年最多只能有366天)．抽屉原理可叙述为：假如有n＋1个(或更多)物体装入n个盒子，那么一定有某个盒子至少装有两个物体．‎ 生日问题也许令人困惑：23个人中有两人生日相同的概率便超过．你也许认为这是巧合．其实，这个奥妙也可以用概率的方法推断出来．为了简单，我们不记闰年，一年按365天算．‎ 某年级有n个人(n≤365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大?‎ 试验是对人数为n的年级进行生日调查，试验的基本结果是n个人生日的一种具体分布．由于生日出现的随机性，保证了n个生日种种分布的等可能性．‎ 基本事件的数学结构——构造性处理：把365天设想为365个“房间”，然后按n个人的生日“对号人室”．这相当于n个可辨质点的每一个都以相同的概率，等可能地被分配到某一“室”内．形象示意图如下：‎ ‎×表示人□表示日子 ‎×‎ ‎××‎ ‎×××‎ ‎…‎ ‎××‎ ‎×‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎364‎ ‎365‎ 图1-13‎ 基本结果总数就是把n个人安排进这365个“房间”的所有可能的不同方法数．基本结果的差异不仅依“人”、依“房”，而且还依“房”内的“人数”相鉴别．因而基本事件总数恰为从365个不同元素中每次取出n个的允许重复的排列数(乘法原理)．‎ 所关心的事件A＝{至少有两人的生日在同一天}＝{有两个人的生日在同一天}U{有三个人的生日在同一天}U…U{n个人的生日在同一天}．这是一个比较复杂的事件，我们应从反面去考虑原事件的逆事件的结构：‎ ‎＝{n个人的生日全不相同}‎ ‎＝{365个不同元素，每次任取n个依一定的顺序排成一列}．‎ 这样就抓住了事件的数学结构的本质，从而可知的基本事件数为！．由互逆事件的概率关系，即知 具体地计算可有下面的结果：‎ n人中有两个生日相同的概率 n ‎15‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎55‎ P ‎0.25‎ ‎0.41‎ ‎0.51‎ ‎0.54‎ ‎0.57‎ ‎0.71‎ ‎0.89‎ ‎0.97‎ ‎0.99‎ 表1-34‎ 从表1-34中可知，只要人数n≥55，则有2人生日相同的概率已相当接近1了．‎ 不少团体人数都在23人以上，若有2人生日相同，可能彼此觉得真有缘分，备感亲切．而我们现在知道这其实是一件很容易发生的事件．‎ 中国人有十二种属相，这由某人生于何年而定．可能会令你不解的是：任意四个人中，有两人属相一样的可能约有一半．而在一个6口之家中，几乎可以断定有两个人属相一样．这种问题也是概率论研究的对象．‎ 有人曾查阅资料发现：美国前36任总统中有两个人生日一样，3人死在同一天(当然年份不同)．‎ 概率论这个数学工具是和人们“朝夕相处”的．‎ ‎4．小概率事件都可以被忽略吗?‎ 概率论的目的就在于从偶然性中探求必然性，从无序中探求有序．概率论是机遇的数学模型．‎ 你使用过号码锁吗?如果使用过，那你应该知道，一定不能忘了开锁的号码．‎ 比如你家门上的号码锁(如图1-14)有6个拨盘．由于每个拨盘上都有10个数字，因此一共可以组成个不同的6位数码，组成每个数码的可能性是相等的，其中只有惟一的一个数码(例如图中的408226)对准开锁线时，锁才能打开．如果你忘记了开锁的号码，想试着拨一个数码就把锁打开，其概率仅有：.‎ 这个概率是很小的，因此，你想一次就把锁打开几乎是不可能的．‎ 做个有心人，我们会发现，生活中有不少这类发生的可能性很小的事情．我们称这类随机事件为小概率事件．人们从长期的实践中总结出：一件事件如果发生的概率很小的话，那它在一次试验中几乎是不会发生的．数学上称这个结论为小概率原理．‎ 例如，虽然飞机也有发生事故的时候，但据统计，发生事故的概率为，可能性很小，因此，人们可以放心地乘坐飞机．‎ 又如骗人的摸彩，桌上放有10张外表相同的扑克牌，其中5张“梅花”，5张“方块”，一次让你翻5张牌，如果5张牌同花色(全是“梅花”，或全是“方块”)就算中彩．你很想碰运气，中彩的概率有多大呢?根据组合数公式可知，从10张牌中一次翻5张有种不同的等可能取法，而翻到5张牌同花色只有两种可能．因此，你中彩的概率为即你如果翻126次，通常才可能中彩一次(还不能保证一定会有一次)．这个概率很小，按小概率原理，要想翻一次就中彩几乎是不可能的．‎ 概率小到怎样才算很小呢?这可没有绝对的标准．只有相对于具体要讨论的事情而定，这正像人们说“这老鼠真大”和“这牛太小”一样，我们是让老鼠与老鼠比，牛与牛比．在生产中，比如一批铅笔的废品率为1%，可以认为1%很小而准许出售；但是，若一批注射用的针药有1%不合要求，使用后会危害人的健康，就不能认为1%小了．如果是发射宇宙飞船，100次有一两次失败，则“发射失败”就不是小概率事件了，尽管其概率也不超过0.02．又如，根据某地近数十年来的气象资料，查知发生极大的风暴仅一两次，因而在建造普通平房时，此小概率事件就可以认为是实际上的不可能事件而不予考虑．但在建造高楼大厦时，同一事件就必须加以重视，不能看成小概率事件，因而就不是实际上的不可能事件，不加以重视就会犯错误!‎ 在一般的问题中，一个事件发生的概率低于2%都可以看做是很小的．需要注意，一个小概率事件虽然在一次试验中几乎不会发生，但在多次试验中，常常也会发生．比如在开号码锁的问题中，虽然试开一次几乎不可能把锁打开，但试开很多次时，也有可能把锁打开．‎ 相反地，如果一个事件发生的概率很大(比如在99%以上)，那在一次试验中此事几乎一定会发生．‎ 一个小概率事件，不管其概率多么小，其值总是—个确定的正数．设某试验中出现事件A的概率为ε，不管ε>0如何小，如果把此试验不断独立地重复下去，那么A必然会出现1次，从而也必然会出现任意多次．这是因为，第1次试验中A不出现的概率为1－ε，前n次A都不出现的概率为，因此，前n次试验中A至少出现1次的概率为，当n→∞时此概率趋于1．这表示A迟早出现1次的概率为1．出现A以后，把下次试验当作第1次，重复上述推理，可见A必然再次出现．如此继续，可知A必然出现任意多次，例如，在城市闹区乱放爆竹，就一次而论，引起火灾的可能性并不大，但如果很多人都这样乱放爆竹，则“迟早会引起火灾”这事件发生的可能性就很大．这正是人人皆知的常识在理论上的依据．‎ 庞加莱说：“最大的机遇莫过于一个伟人的诞生．”之所以如此，一是由于某人的诞生是一系列随机事件的复合：父母、祖父母、外祖父母…的结合，异性的2个生殖细胞的相遇，而这2个细胞又必须含有某些产生天才的因素；二是婴儿出生以后，各种偶然遭遇在整体上必须有利于他的成功，他所处的时代，他所接受的教育，他的各项活动，他所接触的人、事与物，都需为他提供好的机会．所以，某个特定的人要成为伟人，可能性是极小的．不过，尽管如此，各个时代仍然伟人辈出．一个人成功的概率虽极小，但几十亿人中总有佼佼者，这就是所谓“必然寓于偶然之中”的一种含义．应用小概率原理于伟人问题，一个人成为伟人的概率固然非常小，但千百万人中至少有一个伟人就几乎是必然的了．‎ ‎“必然寓于偶然之中”的另一含义是大数定律，它的特殊情形是频率的稳定性，即频率趋于概率．设某试验中事件A出现的概率为p>0，将此试验独立地重复n次，其中A出现了m次，于是频率为．根据大数定律，当n→∞时，必然有．因此，当n充分大时，得m≈np．‎ 我们不能确切预知一个婴儿的性别，只知他是男性的概率为．但由于上述定律，我们可以断言，100万婴儿中，约有即50万个男婴，这几乎是必然的．‎ ‎5．抓阄的方法是公正的吗?‎ 概率应用大则可指导生产、科研，小则在日常生活中也大有用处．比如，人们常乐于在分配短缺的情况下用抓阄的办法来解决问题，其合理性保证当然得归功于“概率”．事实上，抓阄的结果是一随机现象，而所谓合理性，无非是说明每个人“中阄”的可能性相等而已!果真如此吗?我们看看下面的问题．‎ 某校校庆，给每个班级5张电影票，初三(2)班是一个团结的集体，共有50个同学，都不愿把电影票占为已有，王老师只好用抽签(抓阄)来决定．他制作了50张小卡片，在其中5张上写上电影票字样，让50个人轮流抽签，抽到的则当仁不让去看电影．但问题是同学们都犹豫了!小华提出了一个问题：“抽签也有先后，第一个人抽到的概率是，如果第一个人抽到，第二个人抽到的概率只有 ‎；如果第一人没有抽到，第二人抽到的概率就是，抽签未必机会相等!”小陈听到这些话，愣住了，心想：“抽签明明是公平合理的方法，为什么还会有这个奇怪的分析结果呢?”此刻，两人不约而同地把目光转向了王老师，请他解答．‎ 王老师指出，小华的分析虽然有道理，但是，他计算出来的两个数与不是第二人抽到的概率，而是在第一人抽到或抽不到的条件下第二人抽到的条件概率．实际上，在抽签时不必争先恐后，先抽与后抽的概率是相等的．这可以用全概率公式计算得知．我们也可以用适当的数学语言来描述这个抓阄试验：“5张电影票，50人抓阄”，其相应的样本空间的样本点可认定是50个阄按抓阄顺序在直线上的一次排列(5个代表有票的阄在这50个位置的某5个位置上)．由于事先阄混合得充分均匀，50个阄在直线上的每种排列的可能性是相等的，因而属于古典概型．我们所关心的第k个人抓中有票的阄这一事件可如下构造之：‎ 设想从5个代表有票的阄中任取一个放在第k个位置上，然后再把剩下的阄安排在剩下的位置上作全排列，如图1-15．‎ ‎(在第k个位置先安排“有票的阄△”，再安排余下的阄．)从而由乘法原理知，有票的基本事件数为，以表示第k个人抓中阄的概率,即知此值不依赖于k，即说明每个人抓中阄的概率都等于，而与抓阄顺序无关．从而“试验”结束后的“倒霉”者也就不会怨天尤人了!可见，抽签的方法是公平合理的．‎ 这个例子可以推广到n个人抓阄分物的情况．n个阄，其中1个“有”，(n－1)个“无”，n个人排队抓阄，每个人抓到“有”的概率都是．‎ 若n个阄中，有m(m

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