高考文科数学复习选修45不等式选讲解析版
选修4－5 不等式选讲
[考纲要求]
(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
①|ax+b|≤|a|+|b|.
②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明。
①柯西不等式的向量形式：
0
②
0
③
0
(此不等式通常称为平面三角不等式。)
(3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
0
(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。
(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。
(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式
0
(x>-1，x≠0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式,柯西不等式求一些特定函数的极值。
(8)了解证明不等式的基本方法：比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。
[知识点梳理]
1．两个实数大小关系的基本事实
a>b⇔________；a＝b⇔________；a
b，那么________；如果________，那么a>b.即a>b⇔________.
(2)传递性：如果a>b，b>c，那么________．
(3)可加性：如果a>b，那么____________．
(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么________；如果a>b，c<0，那么________．
(5)乘方：如果a>b>0，那么an________bn(n∈N，n>1)．
(6)开方：如果a>b>0，那么________(n∈N，n>1)．
3．绝对值三角不等式
(1)性质1：|a＋b|≤________.
(2)性质2：|a|－|b|≤________.
性质3：________≤|a－b|≤________.
4．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔______________；
②|ax＋b|≥c⇔______________.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
5．基本不等式
(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么________，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均．
(3)利用基本不等式求最值
对两个正实数x，y，
①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值；
②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最________值．
6．三个正数的算术—几何平均不等式
(1)定理 如果a，b，c均为正数，那么________，当且仅当________时，等号成立．
即三个正数的算术平均____________它们的几何平均．
(2)基本不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均__________它们的几何平均，即________，
当且仅当________________时，等号成立．
7．柯西不等式
(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
8．证明不等式的方法
(1)比较法
①求差比较法
知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．
②求商比较法
由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．
(2)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的____________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．
(3)综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．
(4)反证法的证明步骤
第一步：作出与所证不等式________的假设；
第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．
(5)放缩法
所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．
(6)数学归纳法
设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．
[考点题型剖析]
题型一 含绝对值的不等式的解法
【典型例题】
例1-1解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
思维启迪 本题不等式为|x－a|＋|x－b|≥c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法．
规范解答
解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.
[4分]
∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－.
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝.
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.[8分]
所以原不等式的解集是∪.[10分]
方法二 当x≤－1时，原不等式可化为
－(x＋1)－(x－1)≥3，解得：x≤－.[3分]
当－1－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x∈时去绝对值，利用函数最值求a的范围．
解 (1)当a＝－2时，不等式f(x)－1，则－<，
∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|
当x∈时，f(x)＝a＋1，
即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．
∴a＋1≤－＋3，即a≤，
∴a的取值范围为.
【变式训练】
1． (2013·重庆)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|0的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．
解 (1)由题设知|x＋1|＋|x－2|>5，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
或或
解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥2即|x＋1|＋|x－2|>m＋2，
∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2解集是R，
∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]．
7.已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解 方法一 (1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x<－3时，g(x)>5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x>2时，g(x)>5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
方法二 (1)同方法一．
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．
8.(2013·辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，
f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
则h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
9.[2011课标]选修4-5：不等式选讲
设函数,其中。
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。
（24）解：（Ⅰ）当时，可化为。由此可得 或。
故不等式的解集为或。
( Ⅱ) 由 得
此不等式化为不等式组 或即 或
因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故
10.[2014课标Ⅱ] 选修45：不等式选讲
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．
24．解：(1)证明：由a>0 ，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，
所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得30，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：(1)a＋b＋c≥；
(2) ＋ ＋ ≥(＋＋)．
证明 (1)要证a＋b＋c≥，
由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2 (当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
∴原不等式成立．
(2) ＋ ＋ ＝.
在(1)中已证a＋b＋c≥.
因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.
即证a＋b＋c≤1，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
而a＝≤，
b≤，c≤.
∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca (a＝b＝c＝时等号成立)．
∴原不等式成立．
2.[2014·江苏卷] [选修45：不等式选讲]
已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
证明：因为x>0，y>0，
所以1＋x＋y2≥3>0，
1＋x2＋y≥3>0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
3.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲
若a＞0，b＞0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？请说明理由．
解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2 ≥4，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4 .
(2)由(1)知，2a＋3b≥2 ≥4 .
由于4 >6，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6.
题型三 柯西不等式的应用
【典型例题】
例3-1 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.
思维升华 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
证明 由于2x＋y＝(x)＋(y)，
由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得
(2x＋y)2≤[()2＋()2](3x2＋2y2)
≤(＋)×6＝×6＝11，
∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤.
例3-2 (2012·福建)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
审题破题 (1)从解不等式f(x＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m；(2)利用柯西不等式证明．
(1)解 因为f(x＋2)＝m－|x|，
f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)证明 由(1)知＋＋＝1，
又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
≥2＝9.
反思归纳 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的．
【变式训练】
1.若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值．
解 由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.
不等式①中当且仅当＝时等号成立，x2＋y2取得最小值，
由方程组解得
因此当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为.
2.(2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
答案 2
解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得
(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.
3. [2014·陕西卷] A.(不等式选做题)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．
答案 A. [解析]由柯西不等式可知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，即5(m2＋n2)≥25，当且仅当an＝bm时，等号成立，所以 ≥.
