甘肃省武威市凉州区武威第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

甘肃省武威市凉州区武威第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

武威一中2019年秋季学期期中考试 高二年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共48分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设为定点，动点满足|，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为为定点，动点满足|，即动点到两定点的距离之和等于两定点连线的距离，所以动点的轨迹是线段（若不在上，必有|）,故选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）‎ A. 16 B. ‎8 ‎C. 25 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为椭圆方程我，所以 ，由题意的定义可得的周长，故选A.‎ ‎3.设命题，，则为（ ）．‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.‎ ‎【详解】解：表示对命题的否定，‎ ‎“，”的否定是“，” ．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.‎ ‎4.双曲线的焦点轴上，若焦距为4，则等于（ ）‎ A. 1 B. C. 4 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 由题意双曲线的焦点在轴上，则方程可化为，‎ ‎ 又由，即，所以，故选C．‎ ‎5.“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若方程表示双曲线，则有，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.‎ ‎【详解】因为方程表示双曲线等价于，‎ 所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题.‎ ‎6.有下列命题：‎ ‎①面积相等的三角形是全等三角形；‎ ‎②“若，则”的逆命题；‎ ‎③“若，则”的否命题；‎ ‎④“矩形的对角线互相垂直”的逆命题，其中真命题为（ ）．‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 逐一考查所给的命题：‎ ‎①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误;‎ ‎②“若,则”的逆命题为“若,则”，该命题正确;‎ ‎③“若,则”的否命题为“若,则”，该命题正确;‎ ‎④“矩形对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误.‎ 综上可得：真命题为②③.‎ 本题选择B选项.‎ ‎7.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求双曲线的一条渐近线为，再利用直线互相垂直得，代入即可.‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线为，渐近线 与直线垂直，‎ 得，即，代入 故选：C ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.‎ ‎8.椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．‎ ‎【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得，‎ 两式相减得，‎ 即，‎ 即，即，‎ 即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.‎ ‎9.下列命题中，不是真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题.‎ B. “”是“且”的必要条件.‎ C. 命题“若，则”的否命题.‎ D. “”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 命题“若，则”的逆命题为：若，则,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A是假命题.‎ ‎10.已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.‎ ‎【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，‎ 因为是该抛物线上的两点，故，‎ 所以，‎ 又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为M是线段BP的垂直平分线上的点，所以，因为P是圆上一点，所以，所以M点的轨迹为以B,C为焦点的椭圆，所以，所以轨迹方程为.‎ 考点：本小题主要考查轨迹方程的求解.‎ 点评：求轨迹方程时，经常用到圆锥曲线的定义，根据定义判断出动点的轨迹是什么图形，再根据标准方程求解即可.‎ ‎12.已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性，结合椭圆的定义可得，利用点与直线的距离不小于列不等式求解即可.‎ 详解：‎ 可设为椭圆的左焦点，连接，‎ 根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ ‎，取，‎ 点到直线的距离不小于，‎ 所以，，‎ 解得，‎ 椭圆的离心率的取值范围是，故选B.‎ 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.‎ 第Ⅱ卷（共72分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分.‎ ‎13.已知点为上一点，则P到抛物线的焦点F的距离是______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解析过程略 ‎14.设，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先由题意得到，是中位线，由求出，再由椭圆定义，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：根据题意知，是中位线，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆定义即可，属于基础题型.‎ ‎15.设是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，得，‎ 即，则，‎ 即，所以面积为.‎ 点睛：本题考查椭圆的定义和余弦定理的应用；在处理椭圆或双曲线中涉及两个焦点问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义（定和或定差）进行处理，往往再结合正弦定理、余弦定理进行求解.‎ ‎16.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，将转化为，并由此求得最小值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知，所以.故当三点共线时，有最小值.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ 三、解答题：共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知命题：“曲线：表示焦点在轴上的椭圆”，命题：不等式对于任意恒成立，若命题为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线方程表示焦点在轴上的椭圆列不等式，解不等式求得命题为真时，的取值范围.根据一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得命题为真时，的取值范围.由于为真命题，故取上述为真时的取值范围的并集，得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】：，‎ ‎：，‎ 由于为真命题，故为真命题或为真命题，从而有或，‎ 即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围，考查方程表示椭圆的条件，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题.‎ ‎18.已知双曲线：的离心率为，实轴长为2．‎ ‎（1）求双曲线的方程； ‎ ‎（2）若直线被双曲线截得的弦长为，求的值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率、实轴长以及，求得出的值，进而求得双曲线的标准方程.‎ ‎（2）联立直线和双曲线的方程，写出韦达定理，根据弦长公式列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】（1）由离心率为，实轴长为2．‎ ‎∴，，解得，，‎ ‎∴，∴所求双曲线的方程为．‎ ‎（2）设，，‎ 联立，‎ ‎，化为．‎ ‎∴，．‎ ‎∴，化为，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查直线和双曲线相交所得弦长有关计算问题，考查运算求解能力，考查方程的思想，属于中档题.‎ ‎19.（文科学生做）已知集合，，‎ ‎.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定义，B集合解不等式即可，然后由交集定义即可得结论；（2）若“”是“”的必要不充分条件，说明且，然后根据集合关系求解.‎ 详解：‎ ‎(1), ‎ ‎． ‎ 则 ‎ ‎(2)，‎ 因为“”是“”的必要不充分条件，‎ 所以且． ‎ 由，得，解得． ‎ 经检验，当时，成立，‎ 故实数的取值范围是． ‎ 点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合间的基本关系是解题关键，属于基础题.‎ ‎20.已知抛物线：与直线交于，两点．‎ ‎（1）求弦的长度；‎ ‎（2）若点在抛物线上，且的面积为12，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，，‎ 弦的长度为；（2）设点到的距离 或点为或．‎ 试题解析：（1）设，，‎ 由得，，‎ 由韦达定理有，，‎ ‎∴，‎ ‎∴弦的长度为．‎ ‎（2）设点，设点到的距离为，则，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，解得或，‎ ‎∴点为或．‎ 考点：1、直线与抛物线；2、弦长；3、三角形面积.‎ ‎21.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用离心率，点在曲线上，列出的方程。‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出，关系式，利用向量关系式，列出关于斜率的不等式，解出取值范围。‎ 详解：（1）设椭圆的方程为： ， ‎ 由已知： 得： ， ，‎ 所以，椭圆的方程为： . ‎ ‎（2）由题意，直线斜率存在，故设直线的方程为 由得 ‎ 由即有 ‎ 即 有 解得 ‎ 综上：实数的取值范围为 点睛：求参数的取值范围，最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式。根据题目的条件，转化为，关系的式子是解题的关键。‎ ‎22.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点 ‎，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得当为的短轴顶点时，的面积有最大值，根据椭圆的性质得到、、的方程，解方程即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，得到关于的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到的中点坐标，要使，则直线为线段的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到关于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值 所以，解得，故椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 将代入，得；‎ 设，线段的中点为，‎ ‎，‎ 即 因为，所以直线为线段的垂直平分线，‎ 所以，则，即，‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，‎ 当时，因为，所以.‎ 综上，存在点，使得，且的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断以及基本不等式在解析几何中的应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性。‎