高中数学人教a版选修2-1 章末综合测评2 word版含答案

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章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线 3x2－y2＝9 的焦距为( ) A. 6 B．2 6 C．2 3 D．4 3 【解析】 方程化为标准方程为x2 3 －y2 9 ＝1， ∴a2＝3，b2＝9. ∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2 3，∴2c＝4 3. 【答案】 D 2．对抛物线 y＝4x2，下列描述正确的是( ) A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为 0， 1 16 C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为 0， 1 16 【解析】 抛物线可化为 x2＝1 4y，故开口向上，焦点为 0， 1 16 . 【答案】 B 3．抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2－y2 3 ＝1 的渐近线的距离是 ( ) 【导学号：18490079】 A.1 2 B. 3 2 C．1 D. 3 【解析】 抛物线 y2＝4x 的焦点为(1，0)，到双曲线 x2－y2 3 ＝1 的 渐近线 3x－y＝0 的距离为| 3×1－1×0| （ 3）2＋12 ＝ 3 2 ，故选 B. 【答案】 B 4．已知抛物线 C1：y＝2x2 的图象与抛物线 C2 的图象关于直线 y ＝－x 对称，则抛物线 C2 的准线方程是( ) A．x＝－1 8 B．x＝1 2 C．x＝1 8 D．x＝－1 2 【解析】 抛物线 C1：y＝2x2 关于直线 y＝－x 对称的 C2 的表达 式为－x＝2(－y)2，即 y2＝－1 2x，其准线方程为 x＝1 8. 【答案】 C 5．已知点 F，A 分别为双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦 点、右顶点，点 B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 3 2 D.1＋ 5 2 【解析】 ∵FB→·AB→＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又 b2＝c2－a2， ∴c2－a2－ac＝0，两边同除以 a2，得 e2－1－e＝0，∴e＝1＋ 5 2 . 【答案】 D 6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的离心 率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为( ) A．y＝±1 4x B．y＝±1 3x C．y＝±1 2x D．y＝±x 【解析】 由 e＝ 5 2 ，得c a ＝ 5 2 ， ∴c＝ 5 2 a，b＝ c2－a2＝1 2a. 而x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y＝±b ax， ∴所求渐近线方程为 y＝±1 2x. 【答案】 C 7.如图 1，已知 F 是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点，P 是椭圆上 的一点，PF⊥x 轴，OP∥AB(O 为原点)，则该椭圆的离心率是( ) 图 1 A. 2 2 B. 2 4 C.1 2 D. 3 2 【解析】 因为 PF⊥x 轴，所以 P －c，b2 a . 又 OP∥AB，所以b a ＝ b2 a c ，即 b＝c. 于是 b2＝c2， 即 a2＝2c2，所以 e＝c a ＝ 2 2 . 【答案】 A 8．若点 O 和点 F(－2，0)分别为双曲线x2 a2－y2＝1(a>0)的中心和左 焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则OP→ ·FP→的取值范围为( ) A．[3－2 3，＋∞) B．[3＋2 3，＋∞) C. －7 4 ，＋∞ D. 7 4 ，＋∞ 【解析】 因为双曲线左焦点的坐标为 F(－2，0)， 所以 c＝2. 所以 c2＝a2＋b2＝a2＋1， 即 4＝a2＋1，解得 a＝ 3. 设 P(x，y)，则OP→ ·FP→＝x(x＋2)＋y2， 因为点 P 在双曲线x2 3 －y2＝1 上， 所以OP→ ·FP→＝4 3x2＋2x－1＝4 3 x＋3 4 2－3 4 －1. 又因为点 P 在双曲线的右支上，所以 x≥ 3. 所以当 x＝ 3时，OP→ ·FP→最小，且为 3＋2 3， 即OP→ ·FP→的取值范围是[3＋2 3，＋∞)． 【答案】 B 9．已知定点 A，B 满足|AB|＝4，动点 P 满足|PA|－|PB|＝3，则|PA| 的最小值是( ) A.1 2 B.3 2 C.7 2 D．5 【解析】 已知定点 A，B 满足|AB|＝4，动点 P 满足|PA|－|PB|＝3， 则点 P 的轨迹是以 A，B 为左、右焦点的双曲线的右支，且 a＝3 2 ，c＝ 2.所以|PA|的最小值是点 A 到右顶点的距离，即为 a＋c＝2＋3 2 ＝7 2 ，选 C. 【答案】 C 10．若焦点在 x 轴上的椭圆x2 2 ＋y2 n ＝1 的离心率为1 2 ，则 n＝( ) A. 3 B.3 2 C.2 3 D.8 3 【解析】 依题意知，a＝ 2，b＝ n， ∴c2＝a2－b2＝2－n， 又 e＝1 2 ， ∴c2 a2＝2－n 2 ＝1 4 ，∴n＝3 2. 【答案】 B 11．已知直线 y＝k(x＋2)与双曲线x2 m －y2 8 ＝1，有如下信息：联立方 程组 y＝k（x＋2）， x2 m －y2 8 ＝1， 消去 y 后得到方程 Ax2＋Bx＋C＝0，分类讨论：(1) 当A＝0时，该方程恒有一解；(2)当 A≠0时，Δ＝B2－4AC≥0恒成立．在 满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1, 3] B．[ 3，＋∞) C．(1，2] D．[2，＋∞) 【解析】 依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知 直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左 顶点的左边，即－2≤－ m，即 00)上的一点，F 为抛物线的焦点， 直线 l 过点 P 且与 x 轴平行，若同时与直线 l、直线 PF、x 轴相切且位 于直线 PF 左侧的圆与 x 轴切于点 Q，则点 Q( ) A．位于原点的左侧 B．与原点重合 C．位于原点的右侧 D．以上均有可能 【解析】 设抛物线的准线与 x 轴、直线 l 分别交于点 D，C，圆 与直线 l、直线 PF 分别切于点 A，B.如图，由抛物线的定义知|PC|＝|PF|， 由切线性质知|PA|＝|PB|，于是|AC|＝|BF|.又|AC|＝|DO|，|BF|＝|FQ|，所 以|DO|＝|FQ|，而|DO|＝|FO|，所以 O，Q 重合，故选 B. 【答案】 B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在 题中的横线上) 13．(2013·江苏高考)双曲线 x2 16 －y2 9 ＝1 的两条渐近线的方程为 ________． 【解析】 由双曲线方程可知 a＝4，b＝3， 所以两条渐近线方程为 y＝±3 4x. 【答案】 y＝±3 4x 14．(2016·东城高二检测)已知 F1，F2 为椭圆x2 25 ＋y2 9 ＝1 的两个焦点， 过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________． 【解析】 由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2| ＋|BF2|＝2a＋2a，又由 a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝ 8. 【答案】 8 15.如图 2 所示，已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴 的交点为 K，点 A 在抛物线 C 上，且在 x 轴的上方，过点 A 作 AB⊥l 于 B，|AK|＝ 2|AF|，则△AFK 的面积为________. 【导学号：18490080】 图 2 【解析】 由题意知抛物线的焦点为 F(2，0)，准线 l 为 x＝－2， ∴K(－2，0)，设 A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点 A 作 AB⊥l 于 B， ∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2， |BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2， ∴y0＝4，即 A(2，4)，∴△AFK 的面积为1 2|KF|·|y0|＝1 2 ×4×4＝8. 【答案】 8 16．设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过点 P(－1，0)的直线 l 交 抛物线 C 于 A，B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点，若|PQ|＝2，则直线 l 的斜率等于________． 【解析】 设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 y2＝4x， y＝k（x＋1），联立得 k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0， ∴x1＋x2＝－2（k2－2） k2 ， ∴x1＋x2 2 ＝－k2－2 k2 ＝－1＋2 k2， y1＋y2 2 ＝2 k ， 即 Q －1＋2 k2，2 k .又|FQ|＝2，F(1，0)， ∴ －1＋2 k2－1 2＋ 2 k 2＝4，解得 k＝±1. 【答案】 ±1 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率 为 6 3 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆 C 的方程． 【解】 设椭圆的半焦距为 c，依题意， 得 a＝ 3且 e＝c a ＝ 6 3 ， ∴a＝ 3，c＝ 2， 从而 b2＝a2－c2＝1， 因此所求椭圆的方程为x2 3 ＋y2＝1. 18．(本小题满分 12 分)已知 F1，F2 分别为椭圆 x2 100 ＋y2 b2＝1(0＜b＜ 10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2 的面积为64 3 3 ，求 b 的值． 【解】 (1)|PF1|·|PF2|≤ |PF1|＋|PF2| 2 2＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2| 时取等号)， ∴|PF1|·|PF2|的最大值为 100. (2)S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|sin 60°＝64 3 3 ， ∴|PF1|·|PF2|＝256 3 ， ① 由题意知： |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2， |PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|cos 60°， ∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. ② 由①②得 c＝6，∴b＝8. 19．(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 x 轴上，半径为 4 的圆 C 位于 y 轴右侧，且与 y 轴相切． (1)求圆 C 的方程； (2)若椭圆x2 25 ＋y2 b2＝1 的离心率为4 5 ，且左、右焦点为 F1，F2.试探究 在圆 C 上是否存在点 P，使得△PF1F2 为直角三角形？若存在，请指出 共有几个这样的点？并说明理由． 【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝16(a>0)． ∵圆与 y 轴相切，∴a＝4， ∴圆的方程为(x－4)2＋y2＝16. (2)∵椭圆x2 25 ＋y2 b2＝1 的离心率为4 5 ， ∴e＝c a ＝ 25－b2 5 ＝4 5 ，解得 b2＝9. ∴c＝ a2－b2＝4， ∴F1(－4，0)，F2(4，0)， ∴F2(4，0)恰为圆心 C， (ⅰ)过 F2 作 x 轴的垂线，交圆于点 P1，P2，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1 ＝90°，符合题意； (ⅱ)过 F1 可作圆的两条切线，分别与圆相切于点 P3，P4， 连接 CP3，CP4，则∠F1P3F2＝∠F1P4F＝90°，符合题意． 综上，圆 C 上存在 4 个点 P，使得△PF1F2 为直角三角形． 20．(本小题满分 12 分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在 原点，焦点 F1、F2 在坐标轴上，离心率为 2，且过点 P(4，－ 10)． (1)求双曲线的方程； (2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF1 → ·MF2 → ＝0； (3)求△F1MF2 的面积． 【解】 (1)∵e＝ 2， ∴可设双曲线方程为 x2－y2＝λ. ∵过点 P(4，－ 10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为 x2－y2＝6. (2)法一 由(1)可知，双曲线中 a＝b＝ 6， ∴c＝2 3， ∴F1(－2 3，0)，F2(2 3，0)， ∴kMF1＝ m 3＋2 3 ，kMF2＝ m 3－2 3 ， kMF1·kMF2＝ m2 9－12 ＝－m2 3 . ∵点(3，m)在双曲线上， ∴9－m2＝6，m2＝3， 故 kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴MF1 → ·MF2 → ＝0. 法二 ∵MF1 → ＝(－2 3－3，－m)，MF2 → ＝(2 3－3，－m)， ∴MF1 → ·MF2 → ＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m2＝6，即 m2－3＝0， ∴MF1 → ·MF2 → ＝0. (3)△F1MF2 的底边|F1F2|＝4 3， △F1MF2 的高 h＝|m|＝ 3， ∴S△F1MF2＝6. 21．(本小题满分 12 分)(2013·北京高考)已知 A，B，C 是椭圆 W： x2 4 ＋y2＝1 上的三个点，O 是坐标原点． (1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的 面积； (2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形， 并说明理由． 【解】 (1)椭圆 W：x2 4 ＋y2＝1 的右顶点 B 的坐标为(2，0)．因为 四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分．所以可设 A(1， m)，代入椭圆方程得1 4 ＋m2＝1，即 m＝± 3 2 . 所以菱形 OABC 的面积是 1 2|OB|·|AC|＝1 2 ×2×2|m|＝ 3. (2)四边形 OABC 不可能为菱形．理由如下： 假设四边形 OABC 为菱形． 因为点 B 不是 W 的顶点，且直线 AC 不过原点，所以可设 AC 的 方程为 y＝kx＋m(k≠0，m≠0)． 由 x2＋4y2＝4， y＝kx＋m， 消去 y 并整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 设 A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则x1＋x2 2 ＝－ 4km 1＋4k2 ， y1＋y2 2 ＝k·x1＋x2 2 ＋m＝ m 1＋4k2. 所以 AC 的中点为 M － 4km 1＋4k2 ， m 1＋4k2 . 因为 M 为 AC 和 OB 的交点，所以直线 OB 的斜率为－ 1 4k. 因为 k· － 1 4k ≠－1， 所以 AC 与 OB 不垂直． 所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾． 所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形． 22．(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 1 2 ，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x－y＋ 6＝0 相切． (1)求椭圆 C 的标准方程； 【导学号：18490081】 (2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且 kOA·kOB ＝－b2 a2.求证：△AOB 的面积为定值． 【解】 (1)由题意得，b＝|0－0＋ 6| 2 ＝ 3，c a ＝1 2 ， 又 a2＋b2＝c2， 联立解得 a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 的坐标满足 x2 4 ＋y2 3 ＝1， y＝kx＋m， 消去 y 化简得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. ∴x1＋x2＝－ 8km 3＋4k2 ，x1x2＝4m2－12 3＋4k2 ， 由Δ>0 得 4k2－m2＋3>0， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝k24m2－12 3＋4k2 ＋km － 8km 3＋4k2 ＋m2＝3m2－12k2 3＋4k2 . ∵kOA·kOB＝－3 4 ，y1y2 x1x2 ＝－3 4 ，即 y1y2＝－3 4x1x2， ∴3m2－12k2 3＋4k2 ＝－3 4 ·4m2－12 3＋4k2 ，即 2m2－4k2＝3， ∵|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ （1＋k2）·48（4k2－m2＋3） （3＋4k2）2 ＝ 48（1＋k2） （3＋4k2）2 ·3＋4k2 2 ＝ 24（1＋k2） 3＋4k2 . 又 O 到直线 y＝kx＋m 的距离 d＝ |m| 1＋k2. ∴S△AOB＝1 2d|AB|＝1 2 |m| 1＋k2 24（1＋k2） 3＋4k2 ＝1 2 m2 1＋k2 ·24（1＋k2） 3＋4k2 ＝1 2 3＋4k2 2 · 24 3＋4k2 ＝ 3，为定值．