【数学】2019届一轮复习人教A版集合与常用逻辑用语学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版集合与常用逻辑用语学案

第一单元 集合与常用逻辑用语 第1课集__合 ‎[过双基]‎ ‎1.集合的含义及表示 ‎(1)集合的含义:研究对象叫做元素,一些元素组成的总体叫做集合.集合中元素的性质:确定性、无序性、互异性.‎ ‎(2)元素与集合的关系:①属于,记为;②不属于,记为.‎ ‎(3)集合的表示方法:列举法、描述法和图示法.‎ ‎(4)常用数集的记法:自然数集,正整数集N*或N+,整数集,有理数集,实数集.‎ ‎2.集合间的基本关系 ‎  表示 关系  ‎ 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B,且∃x0∈B,x0∉A AB或BA 相等 集合A,B的元素完全相同 A⊆B,‎ B⊆A A=B 空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集 ‎∀x,x∉∅,‎ ‎∅⊆A ‎∅‎ ‎3.集合的基本运算 ‎  表示 运算 ‎ 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于集合A属于集合B的元素组成的集合 ‎{x|x∈A,x∈B}‎ A∩B 并集 属于集合A属于集合B ‎{x|x∈A,x∈B A∪B 的元素组成的集合 ‎}‎ 补集 全集U中属于集合A的元素组成的集合 ‎{x|x∈U,且xA}‎ ‎∁UA ‎4.集合问题中的几个基本结论 ‎(1)集合A是其本身的子集,即A⊆A;‎ ‎(2)子集关系的传递性,即A⊆B,B⊆C⇒A⊆C;‎ ‎(3)A∪A=A∩A=,A∪∅=,A∩∅=,∁UU=,∁U∅=.‎ ‎  ‎1.(2018·江西临川一中期中)已知集合A={2,0,1,8},B={ | ∈R, 2-2∈A, -2∉A},则集合B中所有的元素之和为(  )‎ A.2           B.-2‎ C.0 D. 解析:选B 若 2-2=2,则 =2或 =-2,当 =2时, -2=0,不满足条件,当 =-2时, -2=-4,满足条件;若 2-2=0,则 =±,显然满足条件;若 2-2=1,则 =±,显然满足条件;若 2-2=8,则 =±,显然满足条件.所以集合B中的元素为-2,±,±,±,所以集合B中的元素之和为-2,故选B.‎ ‎2.(2018·河北武邑中学期中)集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则B=中元素的个数为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选D A={x|x2-7x<0,x∈N*}={x|04,即c=4.‎ 答案:4‎ 集合的基本运算 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力.‎ 常见的命题角度有:‎ (1)求交集或并集;‎ (2)交、并、补的混合运算;‎ (3)集合运算中的参数范围;‎ (4)集合的新定义问题.‎ 角度一:求交集或并集 ‎1.(2017·山东高考)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=(  )‎ A.(1,2) B.(1,2]‎ C.(-2,1) D.[-2,1)‎ 解析:选D 由题意可知A={x|-2≤x≤2},B={x|x<1},故A∩B={x|-2≤x<1}.‎ ‎2.(2017·浙江高考)已知集合P={x|-10},B={x|x2-x-2<0},则A∩(∁UB)=(  )‎ A.(0,2] B.(-1,2]‎ C.[-1,2] D.[2,+∞)‎ 解析:选D 因为A={x|x>0},B={x|-11} D.A∩B=∅‎ 解析:选A ∵集合A={x|x<1},B={x|x<0},‎ ‎∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1},故选A.‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈ },则A∪B=(  )‎ A.{1} B.{1,2}‎ C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}‎ 解析:选C 因为B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈ }={x|-13},则A∩B=(  )‎ A.{x|-20},则A∪B=(  )‎ A.(-1,+∞) B.(-∞,3)‎ C.(0,3) D.(-1,3)‎ 解析:选A 因为集合A={x|x2-2x-3<0}={x|-10},所以A∪B={x|x>-1}.‎ ‎5.(2017·全国卷Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=(  )‎ A.{1,-3} B.{1,0}‎ C.{1,3} D.{1,5}‎ 解析:选C 因为A∩B={1},所以1∈B,所以1是方程x2-4x+m=0的根,所以1-4+m=0,m=3,方程为x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以B={1,3}.‎ ‎6.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是(  )‎ A.7 B.10‎ C.25 D.52‎ 解析:选B 因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},‎ 所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.‎ 由x∈A∩B,可知x可取0,1;‎ 由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.‎ 所以元素(x,y)的所有结果如下表所示:‎   y ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(0,-1)‎ ‎(0,0)‎ ‎(0,1)‎ ‎(0,2)‎ ‎(0,3)‎ ‎1‎ ‎(1,-1)‎ ‎(1,0)‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ 所以A*B中的元素共有10个.‎ ‎7.(2017·吉林一模)设集合A={0,1},集合B={x|x>a},若A∩B中只有一个元素,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,1) B.[0,1)‎ C.[1,+∞) D.(-∞,1]‎ 解析:选B 由题意知,集合A={0,1},集合B={x|x>a},画出数轴(如图所示).若A∩B中只有一个元素,则0≤a<1,故选B.‎ ‎8.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q=(  )‎ A.{x|03}.‎ 当B=∅时,则m≥1+3m,得m≤-,满足B⊆∁RA,‎ 当B≠∅时,要使B⊆∁RA,须满足或解得m>3.‎ 综上所述,m的取值范围是∪(3,+∞).‎ ‎14.记函数f(x)= 的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)由2-≥0,得≥0,‎ 解得x<-1或x≥1,‎ 即A=(-∞,-1)∪[1,+∞).‎ ‎(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,‎ 得(x-a-1)(x-2a)<0,‎ ‎∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1),‎ ‎∵B⊆A,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2,‎ ‎∵a<1,∴≤a<1或a≤-2,‎ ‎∴实数a的取值范围是(-∞,-2]∪.‎ ‎1.已知定义域均为{x|0≤x≤2}的函数f(x)=与g(x)=ax+3-3a(a>0),设函数f(x)与g(x)的值域分别为A与B,若A⊆B,则a的取值范围是(  )‎ A.[2,+∞) B.[1,2]‎ C.[0,2] D.[1,+∞)‎ 解析:选B 因为f′(x)=,所以f(x)=在[0,1)上是增函数,在(1,2]上是减函数,‎ 又因为f(1)=1,f(0)=0,f(2)=,所以A={x|0≤x≤1};‎ 由题意易得B=[3-3a,3-a],‎ 因为[0,1]⊆[3-3a,3-a],‎ 所以3-3a≤0且3-a≥1,解得1≤a≤2.‎ ‎2.设集合A={(x1,x2,x3,x4)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4},那么集合A中满足条件“x+x+x+x≤4”的元素个数为(  )‎ A.60 B.65‎ C.80 D.81‎ 解析:选D 由题意知,每一个元素都有3种取法,所以元素的个数为34=81.‎ 第2课命题及其关系__充分条件与必要条件 ‎[过双基]‎ ‎1.命题 概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句 特点 ‎(1)能判断真假;(2)陈述句 分类 命题、命题 ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系:‎ ‎(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.‎ ‎3.充要条件 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp A是B的真子集 集合与 充要条件 p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p B是A的真子集 p是q的充要条件 p⇔q A=B p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp A,B互不包含 ‎1.命题“若a>b,则ac>bc”的逆否命题是(  )‎ A.若a>b,则ac≤bc    B.若ac≤bc,则a≤b C.若ac>bc,则a>b D.若a≤b,则ac≤bc 解析:选B 由逆否命题的定义可知,答案为B.‎ ‎2.已知命题p:对于x∈R,恒有2x+2-x≥2成立;命题q:奇函数f(x)的图象必过原点,则下列结论正确的是(  )‎ A.p∧q为真 B.(綈p)∨q为真 C.p∧(綈q)为真 D.(綈p)∧q为真 解析:选C 由指数函数与基本不等式可知,命题p是真命题;当函数f(x)=时,是奇函数但不过原点,则可知命题q是假命题,所以p∧(綈q)是真命题,故选C.‎ ‎3.已知p:x>1或x<-3,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是(  )‎ A.[1,+∞) B.(-∞,1]‎ C.[-3,+∞) D.(-∞,-3)‎ 解析:选A 法一:设P={x|x>1或x<-3},Q={x|x>a},因为q是p的充分不必要条件,所以QP,因此a≥1.‎ 法二:令a=-3,则q:x>-3,则由命题q推不出命题p,此时q不是p的充分条件,排除B、C;同理,取a=-4,排除D,选A.‎ ‎4.已知命题p:x≠+2 π, ∈ ;命题q:sin x≠,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B 令x=,则sin x=,即p⇒/ q;当sin x≠时,x≠+2 π或+2 π, ∈ ,即q⇒p,因此p是q的必要不充分条件.‎ ‎[清易错]‎ ‎1.易混淆否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.‎ ‎2.易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.‎ ‎1.“若x,y∈R且x2+y2=0,则x,y全为0”的否命题是(  )‎ A.若x,y∈R且x2+y2≠0,则x,y全不为0‎ B.若x,y∈R且x2+y2≠0,则x,y不全为0‎ C.若x,y∈R且x,y全为0,则x2+y2=0‎ D.若x,y∈R且xy≠0,则x2+y2=0‎ 解析:选B 原命题的条件:x,y∈R且x2+y2=0,‎ 结论:x,y全为0.否命题是否定条件和结论.‎ 即否命题:“若x,y∈R且x2+y2≠0,则x,y不全为0”.‎ ‎2.设a,b∈R,函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则f(x)>0恒成立是a+2b>0成立的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 充分性:因为f(x)>0恒成立,‎ 所以则a+2b>0,即充分性成立;‎ 必要性:令a=-3,b=2,则a+2b>0成立,但是,f(1)=a+b>0不成立,即f(x)>0不恒成立,则必要性不成立.‎ 所以答案为A.‎ ‎[全国卷5年命题分析]‎ 考点 考查频度 考查角度 四种命题的相互关系及真假判断 ‎5年1考 与复数有关的命题的真假判断 充分条件、必要条件 未考查 命题的相互关系及真假性 ‎[典例] (1)(2018·西安八校联考)已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的(  )‎ A.逆命题        B.否命题 C.逆否命题 D.否定 ‎(2)原命题为“若0”是“S4+S6>2S5”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)设α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分条件,则m的取值范围是________.‎ ‎[解析] (1)因为{an}为等差数列,所以S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4+S6-2S5=d,所以d>0⇔S4+S6>2S5.‎ ‎(2)若α是β的充分条件,则α对应的集合是β对应集合的子集,则解得-≤m≤0.‎ ‎[答案] (1)C (2) ‎[方法技巧]‎ 充要条件的3种判断方法 定义法 直接判断若p则q,若q则p的真假 等价法 即利用A⇒B与綈B⇒綈A;B⇒A与綈A⇒綈B;A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法 集合法 即设A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件 ‎[即时演练]‎ ‎1.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A ∵∴x+y>2,即p⇒q.‎ 而当x=0,y=3时,有x+y=3>2,但不满足x>1且y>1,即q ⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.‎ ‎2.已知m,n∈R,则“mn <0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C 若“mn<0”,则x2=-y中的->0,所以“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”成立,是充分条件;反之,若“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”,则x2=-y中的->0,即mn <0,则“mn <0”成立,故是充要条件.‎ 根据充分、必要条件求参数的范围 根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查.‎ 此类题的解决方法一般有两种:‎ ‎(1)直接法:先求出p,q为真命题时所对应的条件,然后表示出綈p与綈q,把綈p与綈q所对应的关系转化为綈p与綈q所对应集合之间的关系,列出参数所满足的条件求解;‎ ‎(2)等价转化法,把綈p,綈q的关系转化为p,q的关系.‎ ‎[典例] (2018·安徽黄山调研)已知条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[解析] 由2x2-3x+1≤0,得≤x≤1,‎ ‎∴条件p对应的集合P=.‎ 由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,‎ ‎∴条件q对应的集合为Q={x|a≤x≤a+1}.‎ 法一:用“直接法”解题 綈p对应的集合A=,‎ 綈q对应的集合B={x|x>a+1或xm+2}.∵p是綈q的充分条件,∴A⊆∁RB,∴m-2>3或m+2<-1,∴m>5或m<-3.‎ 答案:(-∞,-3)∪(5,+∞)‎ ‎2.若“x2>1”是“x1,得x<-1,或x>1,‎ 又“x2>1”是“x1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.‎ 答案:-1‎ ‎1.(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则(  )‎ A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 解析:选C 当f′(x0)=0时,x=x0不一定是f(x)的极值点,比如,y=x3在x=0时,f′(0)=0,但在x=0的左右两侧f′(x)的符号相同,因而x=0不是y=x3的极值点.‎ 由极值的定义知,x=x0是f(x)的极值点必有f′(x0)=0.综上知,p是q 的必要条件,但不是充分条件.‎ ‎2.(2017·天津高考)设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 法一:由<,得0<θ<,‎ 故sin θ<.由sin θ<,得-+2 π<θ<+2 π, ∈ ,推不出“<”.‎ 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件.‎ 法二:<⇒0<θ<⇒sin θ<,而当sin θ<时,取θ=-,=>.‎ 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件.‎ ‎3.(2016·北京高考)设a,b是向量,则“| a |=|b|”是“|a+b |=|a-b|”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选D 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边的平行四边形为菱形.a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的两条对角线长度不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,而矩形的邻边长度不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.‎ ‎4.(2015·陕西高考)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.由cos α=sin α可得到cos 2α=0,反之不成立,故选A.‎ ‎5.(2015·重庆高考)“x>1”是“log (x+2)<0”的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B ∵x>1⇒log (x+2)<0,log (x+2)<0⇒x+2>1⇒x>-1,∴“x ‎>1”是“log (x+2)<0”的充分而不必要条件.‎ 一、选择题 ‎1.命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是(  )‎ A.若α≠,则tan α≠1  B.若α=,则tan α≠1‎ C.若tan α≠1,则α= D.若tan α≠1,则α≠ 解析:选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可.‎ 所以逆否命题为:若tan α≠1,则α≠.‎ ‎2.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(  )‎ A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 解析:选D 对于原命题:“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠∅”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题;但其逆命题:“若{x|ax2+bx+c<0}≠∅,则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下”是一个假命题,因为当不等式ax2+bx+c<0的解集非空时,可以有a>0,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题.故选D.‎ ‎3.“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0e,a-ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是(  )‎ A.a≤1 B.a<1‎ C.a≥1 D.a>1‎ 解析:选B 由题意知∀x>e,a1,所以a≤1,故答案为B.‎ ‎5.a2+b2=1是asin θ+bcos θ≤1恒成立的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A 因为a2+b2=1,所以设a=cos α,b=sin α,则asin θ+bcos θ=sin(α+‎ θ)≤1恒成立;当asin θ+bcos θ≤1恒成立时,只需asin θ+bcos θ=sin(θ+φ)≤≤1即可,所以a2+b2≤1,故不满足必要性.‎ ‎6.若向量a=(x-1,x),b=(x+2,x-4),则“a⊥b”是“x=2”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B 若“a⊥b”,则a·b=(x-1,x)·(x+2,x-4)=(x-1)(x+2)+x(x-4)=2x2-3x-2=0,则x=2或x=-;若“x=2”,则a·b=0,即“a⊥b”,所以“a⊥b”是“x=2”的必要不充分条件.‎ ‎7.在△ABC中,“sin A-sin B=cos B-cos A”是“A=B”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B 在△ABC中,当A=B时,sin A-sin B=cos B-cos A显然成立,即必要性成立;当sin A-sin B=cos B-cos A时,则sin A+cos A=sin B+cos B,两边平方可得sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=,即充分性不成立.则在△ABC中,“sin A-sin B=cos B-cos A”是“A=B”的必要不充分条件.‎ ‎8.设m,n是两条直线,α,β是两个平面,则下列命题中不正确的是(  )‎ A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件 B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 解析:选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知,A正确;显然,当m⊂α时,“m⊥β”⇒“α⊥β”;当m⊂α时,“α⊥β”⇒/ “m⊥β”,故B正确;当m⊂α时,“m∥n”⇒/ “n∥α”, n也可能在平面α内,故C错误;当m⊂α时,“n⊥α”⇒“m⊥n”,反之不成立,故D正确.‎ 二、填空题 ‎9.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.‎ 解析:其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.‎ 答案:2‎ ‎10.下列命题正确的序号是________.‎ ‎①命题“若a>b,则2a>2b”的否命题是真命题;‎ ‎②命题“a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是真命题;‎ ‎③若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件;‎ ‎④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±.‎ 解析:①否命题“若2a≤2b,则a≤b”,由指数函数的单调性可知,该命题正确;②由互为逆否命题真假相同可知,该命题为真命题;由互为逆否命题可知,③是真命题;④方程ax2+x+a=0有唯一解,则a=0或求解可得a=0或a=±,故④是假命题.‎ 答案:①②③‎ ‎11.已知集合A=,B={x|-13,即m>2.‎ 答案:(2,+∞)‎ ‎12.给出下列四个结论:‎ ‎①若am20,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题;‎ ‎④命题“若m2+n 2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0且n≠0”;‎ ‎⑤对空间任意一点O,若满足=++,则P,A,B,C四点一定共面.‎ 其中真命题的为________.(填序号)‎ 解析:①命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”,故①正确;‎ ‎②x=4⇒x2-3x-4=0;由x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4.‎ ‎∴“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要条件,故②正确;‎ ‎③命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”,是假命题,如m=0时,方程x2+x-m=0有实根,故③错误;‎ ‎④命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”,故④错误;‎ ‎⑤∵++=1,∴对空间任意一点O,若满足=++,则P,A,B,C四点一定共面,故⑤正确.‎ 答案:①②⑤‎ ‎2.已知p:-x2+4x+12≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).‎ ‎(1)若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为________;‎ ‎(2)若“綈p”是“綈q”的充分条件,则实数m的取值范围为________.‎ 解析:由题知,p为真时,-2≤x≤6,q为真时,1-m≤x≤1+m,‎ 令P={x|-2≤x≤6},Q={x|1-m≤x≤1+m}.‎ ‎(1)∵p是q的充分不必要条件,∴PQ,‎ ‎∴或解得m≥5,‎ ‎∴实数m的取值范围是[5,+∞).‎ ‎(2)∵“綈p”是“綈q”的充分条件,∴“p”是“q”的必要条件,‎ ‎∴Q⊆P,∴解得0y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题的是(  )‎ A.①③          B.①④‎ C.②③ D.②④‎ 解析:选C 当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.‎ 当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.‎ 故①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.‎ ‎2.若命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则在下列命题中真命题的是(  )‎ A.p∧(綈q) B.(綈p)∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.p∧q 解析:选A 由指数函数的性质可知,命题p是真命题,则命题綈p是假命题;‎ 显然,“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,即命题q是假命题,命题綈q是真命题.‎ 所以命题p∧(綈q)是真命题.‎ ‎3.命题“∀x∈R,x2+x+1≥0”的否定为(  )‎ A.∃x0∈R,x+x0+1≥0 B.∃x0∈R,x+x0+1<0‎ C.∀x∈R,x2+x+1≤0 D.∀x∈R,x2+x+1<0‎ 解析:选B 原命题∀x∈R,x2+x+1≥0为全称命题,‎ 所以原命题的否定为:∃x0∈R,x+x0+1<0.‎ ‎4.若命题p:∃x0,y0∈ ,x+y=2 018,则綈p为(  )‎ A.∀x,y∈ ,x2+y2≠2 018‎ B.∃x0,y0∈ ,x+y≠2 018‎ C.∀x,y∈ ,x2+y2=2 018‎ D.不存在x,y∈ ,x2+y2=2 018‎ 解析:选A 原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即綈p:∀x,y∈ ,x2+y2≠2 018.‎ ‎[清易错]‎ ‎1.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.‎ ‎2.p或q的否定易误写成“綈p或綈q”;p且q的否定易误写成“綈p且綈q”.‎ ‎1.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(  )‎ A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等 解析:选D 命题是省略量词的全称命题,易知选D.‎ ‎2.已知命题p:∀x<1,都有logx<0,命题q:∃x0∈R,使得x≥2x0成立,则下列命题是真命题的是(  )‎ A.p∨(綈q) B.(綈p)∧(綈q)‎ C.p∨q D.p∧q 解析:选C 由题知,命题p为假,q为真,则p∨q为真,选C.‎ ‎[全国卷5年命题分析]‎ 考点 考查频度 考查角度 简单的逻 辑联结词 未考查 全称量词、存在量词 ‎5年2考 线性规划与量词命题的判断,特称命题的否定 含逻辑联结词的命题的真假判断 ‎ ‎[典例] 已知命题p:∃x0∈R,使x+2x0+5≤4;命题q:当x∈时,f(x)=sin x+的最小值为4,下列命题是真命题的是(  )‎ A.p∧q        B.(綈p)∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.p∧(綈q)‎ ‎[解析] 令x=-1,可得x2+2x+5≤4成立,故命题p是真命题;令sin x=t,因为x∈,所以05,即f(x)>5,故命题q是假命题,因此綈p是假命题,綈q是真命题,所以p∧(綈q)是真命题.‎ ‎[答案] D ‎[方法技巧]‎ ‎1.“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式;‎ ‎(2)判断命题p,q的真假;‎ ‎(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.‎ ‎2.复合命题真假判断常用的方法 ‎(1)直接法:即判断出p,q的真假,再判断复合命题的真假.‎ ‎(2)特殊值法:从题干出发通过选取特殊情况代入,作出判断.特殊情况可能是特殊值、特殊函数、特殊点、特殊位置、特殊向量等.‎ ‎(3)数形结合法:根据题设条件作出研究问题的有关图形,利用图形作出判断,从而确定正确答案. ‎ ‎[即时演练]‎ ‎1.已知命题p:∀x∈(0,+∞),sin x=x+,命题q:∃x0∈R,πx0<1,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧(綈q) B.(綈p)∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.p∧q 解析:选C 法一:命题p:∀x∈(0,+∞),sin x=x+,令x=1,则sin 1<1+1,故命题p是假命题,因此命题綈p是真命题;命题q:∃x0∈R,πx0<1,令x=-1,则π-1<1,命题q是真命题,命题綈q是假命题,故命题(綈p)∧q是真命题.‎ 法二:因为x∈(0,+∞),所以sin x∈[-1,1],x+≥2 =2,则sin x0,对一切x∈R恒成立;命题q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,则实数a的取值范围为________.‎ 解析:p为真:Δ=4a2-16<0,解得-21,解得a<1.‎ ‎∵p或q为真,p且q为假,∴p,q一真一假.‎ 当p真q假时,⇒1≤a<2;‎ 当p假q真时,⇒a≤-2.‎ ‎∴实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).‎ 答案:(-∞,-2]∪[1,2)‎ 全称命题与特称命题 角度一:全称命题、特称命题的否定 ‎1.已知命题p:∀x∈R,sin x≤1,则綈p为(  )‎ A.∃x0∈R,sin x0≤1 B.∀x∈R,sin x>1‎ C.∀x∈R,sin x≥1 D.∃x0∈R,sin x0>1‎ 解析:选D 由于全称命题的否定是特称命题,且命题p是全称命题,所以命题綈p为∃x0∈R,sin x0>1.‎ 角度二:全称命题、特称命题的真假判断 ‎2.下列命题为假命题的是(  )‎ A.∀x∈R,3x>0‎ B.∃x0∈R,lg x0=0‎ C.∀x∈,x>sin x D.∃x0∈R,sin x0+cos x0= 解析:选D 由指数函数的性质可知,∀x∈R,3x>0成立,故A是真命题;令x0=1,则lg x0=0,故B是真命题;令f(x)=x-sin x,f′(x)=1-cos x>0,即函数f(x)=x-sin x在上是增函数,所以f(x)>f(0)=0,所以x>sin x,故C是真命题;因为sin x0+cos x0=sin≤,故D是假命题.‎ ‎[方法技巧]‎ ‎1.全称命题真假的判断方法 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.‎ ‎(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.‎ ‎2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.  ‎ 根据命题的真假求参数的取值范围 ‎[典例] 若∃x0∈,使得2x-λx0+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2] B.(2,3]‎ C. D.{3}‎ ‎[解析] 因为∃x0∈,使得2x-λx0+1<0成立是假命题,所以∀x∈,使得2x2-λx+1≥0恒成立是真命题,即∀x∈,使得λ≤2x+恒成立是真命题,令f(x)=2x+,则f′(x)=2-,当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,所以f(x)≥f=2,则λ≤2.‎ ‎[答案] A ‎[方法技巧]‎ 根据命题真假求参数的3步骤 ‎(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);‎ ‎(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;‎ ‎(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. ‎ ‎[即时演练]‎ ‎1.已知a>0,且a≠1,命题p:函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减,命题q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若“p∨q”为假,则a的取值范围为(  )‎ A. B.∪ C. D.∪ 解析:选A 当01时,函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减的.若p为假,则a>1.曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点等价于(2a-3)2-4>0,即a<或a>.若q为假,则a∈.若使“p∨q”为假,则a∈(1,+∞)∩,即a∈.‎ ‎2.若命题“对∀x∈R, x2- x-1<0”是真命题,则 的取值范围是________.‎ 解析:“对∀x∈R, x2- x-1<0”是真命题,当 =0时,则有-1<0;当 ≠0时,则有 <0且Δ=(- )2-4× ×(-1)= 2+4 <0,解得-4< <0,综上所述,实数 的取值范围是(-4,0].‎ 答案:(-4,0]‎ ‎1.(2016·浙江高考)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是(  )‎ A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2‎ B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2‎ C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2‎ D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2‎ 解析:选D 由于特称命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是特称命题,所以“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2”.‎ ‎2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:∃n∈N,n 2>2n,则綈p为(  )‎ A.∀n∈N,n 2>2n B.∃n∈N,n 2≤2n C.∀n∈N,n 2≤2n D.∃n∈N,n 2=2n 解析:选C 因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,綈p(x)”,所以命题“∃n∈N,n 2>2n”的否定是“∀n∈N,n 2≤2n”,故选C.‎ ‎3.(2017·山东高考)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧綈q C.綈p∧q D.綈p∧綈q 解析:选B 当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性,知B为真命题.‎ ‎4.(2014·重庆高考)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧綈q B.綈p∧q C.綈p∧綈q D.p∧q 解析:选A 命题p为真命题,命题q为假命题,所以命题綈q为真命题,所以p∧綈q为真命题,选A.‎ ‎5.(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.綈p∧q C.p∧綈q D.綈p∧綈q 解析:选B 容易判断当x≤0时2x≥3x,命题p为假命题,分别作出函数y=x3,y=1-x2的图象,易知命题q为真命题.根据真值表易判断綈p∧q为真命题.‎ ‎6.(2015·山东高考)若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 解析:∵0≤x≤,∴0≤tan x≤1,‎ 又∵∀x∈,tan x≤m,故m≥1,‎ 即m的最小值为1.‎ 答案:1‎ 一、选择题 ‎1.下列命题为真命题的是(  )‎ A.若ac>bc,则a>b    B.若a2>b2,则a>b C.若>,则abc,当c<0时,有ab2,不一定有a>b,如(-3)2>(-2)2,但-3<-2,选项B错误;若>,不一定有a-,但2>-3,选项C错误;若<,则()2<()2,即alg x成立;‎ 命题p2:不存在x∈(0,1),使不等式log2xlg 10,故命题p1为真命题;由对数函数的性质知,p2为假命题,p3为真命题;p4中取x=4不等式不成立,故选A.‎ ‎3.(2018·石家庄一模)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是(  )‎ A.p或q B.p且q C.q D.綈p 解析:选B 取x=,y=,可知命题p是假命题;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q 是真命题,故綈p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.‎ ‎4.(2018·唐山模拟)已知命题p:∃x0∈N,x0‎ C.∀x>0,5x>3x D.∃x0∈(0,+∞),x00,则函数f(x)在上必单调递增,即p是真命题;∵g=-<0,g(1)=1>0,∴g(x)在上有零点,即q是假命题,故选D.‎ ‎7.命题p:“∃x0∈,sin2x0+cos 2x00”的否定是“∃x0∈R,ex0>0”‎ B.命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题 C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”‎ D.命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析:选B A:命题的否定是“∃x0∈R,ex0≤0”,∴A错误;B:逆否命题为“已知x,y∈R,若x=2且y=1,则x+y=3”,易知为真命题,∴B正确;C:分析题意可知,不等式两边的最值不一定在同一个点取到,故C错误;D:若函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则:①a=0,符合题意;②a≠0,Δ=4+4a=0,a=-1,故逆命题是假命题,∴D错误.‎ 二、填空题 ‎9.命题“∀x∈R,cos x≤1”的否定是____________________.‎ 答案:∃x0∈R,cos x0>1‎ ‎10.给出下列命题:‎ ‎①∀x∈R,x2+1>0;②∀x∈N,x2≥1;‎ ‎③∃x0∈ ,x<1;④∃x0∈Q,x=3;‎ ‎⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x0∈R,x+1=0.‎ 其中所有真命题的序号是________.‎ 解析:①显然是真命题;②中,当x=0时,x2<1,故②是假命题;③中,当x=0时,x3<1,故③是真命题;④中,对于任意的x∈Q,x2=3都不成立,故④是假命题;⑤中,只有当x=1或x=2时,x2-3x+2=0才成立,故⑤是假命题;⑥显然是假命题.综上可知,所有真命题的序号是①③.‎ 答案:①③‎ ‎11.已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:>1,若“(綈q)∧p”为真,则x的取值范围是________.‎ 解析:命题p:x>1或x<-3;‎ 由>1,求解可得命题q:20恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果p与q中有且仅有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立⇒a=0或⇒0≤a<4;‎ 关于x的方程x2-x+a=0有实数根⇒1-4a≥0⇒a≤;‎ 若p真q假,则有0≤a<4,且a>,∴0,使函数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a∈R,使∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.‎ 解:若p为真,则对称轴x=-=在区间(-∞,2]的右侧,即≥2,∴01,即a>2时,函数f(t)=t2-at+2在[-1,1]上是减函数,‎ 所以f(1)=3-a≥0,则2
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