【数学】2019届一轮复习人教A版集合与常用逻辑用语学案
第一单元 集合与常用逻辑用语
第1课集__合
[过双基]
1．集合的含义及表示
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为；②不属于，记为.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)常用数集的记法：自然数集，正整数集N*或N＋，整数集，有理数集，实数集.
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A
AB或BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
∀x，x∉∅，
∅⊆A
∅
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，x∈B}
A∩B
并集
属于集合A属于集合B
{x|x∈A，x∈B
A∪B
的元素组成的集合
}
补集
全集U中属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U，且xA}
∁UA
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝，A∪∅＝，A∩∅＝，∁UU＝，∁U∅＝.
1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,8}，B＝{ | ∈R， 2－2∈A， －2∉A}，则集合B中所有的元素之和为( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析：选B 若 2－2＝2，则 ＝2或 ＝－2，当 ＝2时， －2＝0，不满足条件，当 ＝－2时， －2＝－4，满足条件；若 2－2＝0，则 ＝±，显然满足条件；若 2－2＝1，则 ＝±，显然满足条件；若 2－2＝8，则 ＝±，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±，±，±，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.
2．(2018·河北武邑中学期中)集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则B＝中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}＝{x|0
4，即c＝4.
答案：4
集合的基本运算
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.
常见的命题角度有：
(1)求交集或并集；
(2)交、并、补的混合运算；
(3)集合运算中的参数范围；
(4)集合的新定义问题.
角度一：求交集或并集
1．(2017·山东高考)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．
2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－10}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁UB)＝( )
A．(0,2] B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2，＋∞)
解析：选D 因为A＝{x|x>0}，B＝{x|－11} D．A∩B＝∅
解析：选A ∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，
∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈ }，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈ }＝{x|－13}，则A∩B＝( )
A．{x|－20}，则A∪B＝( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，3)
C．(0,3) D．(－1,3)
解析：选A 因为集合A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－10}，所以A∪B＝{x|x>－1}．
5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
解析：选C 因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )
A．7 B．10
C．25 D．52
解析：选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
由x∈A∩B，可知x可取0,1；
由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.
所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
y
－1
0
1
2
3
0
(0，－1)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1，－1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
所以A*B中的元素共有10个．
7．(2017·吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．[0,1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
解析：选B 由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴(如图所示)．若A∩B中只有一个元素，则0≤a<1，故选B.
8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝( )
A．{x|03}．
当B＝∅时，则m≥1＋3m，得m≤－，满足B⊆∁RA，
当B≠∅时，要使B⊆∁RA，须满足或解得m>3.
综上所述，m的取值范围是∪(3，＋∞)．
14．记函数f(x)＝ 的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.
(1)求A；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：(1)由2－≥0，得≥0，
解得x<－1或x≥1，
即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，
得(x－a－1)(x－2a)<0，
∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)，
∵B⊆A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥或a≤－2，
∵a<1，∴≤a<1或a≤－2，
∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪.
1．已知定义域均为{x|0≤x≤2}的函数f(x)＝与g(x)＝ax＋3－3a(a>0)，设函数f(x)与g(x)的值域分别为A与B，若A⊆B，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1,2]
C．[0,2] D．[1，＋∞)
解析：选B 因为f′(x)＝，所以f(x)＝在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数，
又因为f(1)＝1，f(0)＝0，f(2)＝，所以A＝{x|0≤x≤1}；
由题意易得B＝[3－3a,3－a]，
因为[0,1]⊆[3－3a,3－a]，
所以3－3a≤0且3－a≥1，解得1≤a≤2.
2．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合A中满足条件“x＋x＋x＋x≤4”的元素个数为( )
A．60 B．65
C．80 D．81
解析：选D 由题意知，每一个元素都有3种取法，所以元素的个数为34＝81.
第2课命题及其关系__充分条件与必要条件
[过双基]
1．命题
概念
使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句
特点
(1)能判断真假；(2)陈述句
分类
命题、命题
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
3．充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
A是B的真子集
集合与
充要条件
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
B是A的真子集
p是q的充要条件
p⇔q
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
A，B互不包含
1．命题“若a>b，则ac>bc”的逆否命题是( )
A．若a>b，则ac≤bc B．若ac≤bc，则a≤b
C．若ac>bc，则a>b D．若a≤b，则ac≤bc
解析：选B 由逆否命题的定义可知，答案为B.
2．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是( )
A．p∧q为真 B．(綈p)∨q为真
C．p∧(綈q)为真 D．(綈p)∧q为真
解析：选C 由指数函数与基本不等式可知，命题p是真命题；当函数f(x)＝时，是奇函数但不过原点，则可知命题q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，故选C.
3．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.
法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B、C；同理，取a＝－4，排除D，选A.
4．已知命题p：x≠＋2 π， ∈ ；命题q：sin x≠，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 令x＝，则sin x＝，即p⇒/ q；当sin x≠时，x≠＋2 π或＋2 π， ∈ ，即q⇒p，因此p是q的必要不充分条件．
[清易错]
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．
1．“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是( )
A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0
B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0
C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0
D．若x，y∈R且xy≠0，则x2＋y2＝0
解析：选B 原命题的条件：x，y∈R且x2＋y2＝0，
结论：x，y全为0.否命题是否定条件和结论．
即否命题：“若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0”．
2．设a，b∈R，函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，则f(x)>0恒成立是a＋2b>0成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 充分性：因为f(x)>0恒成立，
所以则a＋2b>0，即充分性成立；
必要性：令a＝－3，b＝2，则a＋2b>0成立，但是，f(1)＝a＋b>0不成立，即f(x)>0不恒成立，则必要性不成立．
所以答案为A.
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
四种命题的相互关系及真假判断
5年1考
与复数有关的命题的真假判断
充分条件、必要条件
未考查
命题的相互关系及真假性
[典例] (1)(2018·西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
(2)原命题为“若0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设α：1≤x≤3，β：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R，若α是β的充分条件，则m的取值范围是________．
[解析] (1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.
(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则解得－≤m≤0.
[答案] (1)C (2)
[方法技巧]
充要条件的3种判断方法
定义法
直接判断若p则q，若q则p的真假
等价法
即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法
集合法
即设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件
[即时演练]
1．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵∴x＋y>2，即p⇒q.
而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即q ⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．
2．已知m，n∈R，则“mn <0”是“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若“mn<0”，则x2＝－y中的－>0，所以“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”，则x2＝－y中的－>0，即mn <0，则“mn <0”成立，故是充要条件.
根据充分、必要条件求参数的范围
根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查．
此类题的解决方法一般有两种：
(1)直接法：先求出p，q为真命题时所对应的条件，然后表示出綈p与綈q，把綈p与綈q所对应的关系转化为綈p与綈q所对应集合之间的关系，列出参数所满足的条件求解；
(2)等价转化法，把綈p，綈q的关系转化为p，q的关系．
[典例] (2018·安徽黄山调研)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
[解析] 由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1，
∴条件p对应的集合P＝.
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
∴条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}．
法一：用“直接法”解题
綈p对应的集合A＝，
綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或xm＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.
答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)
2．若“x2>1”是“x1，得x<－1，或x>1，
又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：－1
1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C 当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q
的必要条件，但不是充分条件．
2．(2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 法一：由<，得0<θ<，
故sin θ<.由sin θ<，得－＋2 π<θ<＋2 π， ∈ ，推不出“<”．
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
法二：<⇒0<θ<⇒sin θ<，而当sin θ<时，取θ＝－，＝>.
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“| a |＝|b|”是“|a＋b |＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.
5．(2015·重庆高考)“x＞1”是“log (x＋2)＜0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵x＞1⇒log (x＋2)＜0，log (x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴“x
＞1”是“log (x＋2)＜0”的充分而不必要条件．
一、选择题
1．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α＝ D．若tan α≠1，则α≠
解析：选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可．
所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠.
2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
3．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0e，a－ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≤1 B．a<1
C．a≥1 D．a>1
解析：选B 由题意知∀x>e，a1，所以a≤1，故答案为B.
5．a2＋b2＝1是asin θ＋bcos θ≤1恒成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为a2＋b2＝1，所以设a＝cos α，b＝sin α，则asin θ＋bcos θ＝sin(α＋
θ)≤1恒成立；当asin θ＋bcos θ≤1恒成立时，只需asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)≤≤1即可，所以a2＋b2≤1，故不满足必要性．
6．若向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若“a⊥b”，则a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2－3x－2＝0，则x＝2或x＝－；若“x＝2”，则a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．
7．在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 在△ABC中，当A＝B时，sin A－sin B＝cos B－cos A显然成立，即必要性成立；当sin A－sin B＝cos B－cos A时，则sin A＋cos A＝sin B＋cos B，两边平方可得sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝，即充分性不成立．则在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的必要不充分条件．
8．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( )
A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件
B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
解析：选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A正确；显然，当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”；当m⊂α时，“α⊥β”⇒/ “m⊥β”，故B正确；当m⊂α时，“m∥n”⇒/ “n∥α”， n也可能在平面α内，故C错误；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，反之不成立，故D正确．
二、填空题
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案：2
10．下列命题正确的序号是________．
①命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是真命题；
②命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是真命题；
③若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件；
④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解的充要条件是a＝±.
解析：①否命题“若2a≤2b，则a≤b”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解，则a＝0或求解可得a＝0或a＝±，故④是假命题．
答案：①②③
11．已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.
答案：(2，＋∞)
12．给出下列四个结论：
①若am20，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若m2＋n 2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0且n≠0”；
⑤对空间任意一点O，若满足＝＋＋，则P，A，B，C四点一定共面．
其中真命题的为________．(填序号)
解析：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”，故①正确；
②x＝4⇒x2－3x－4＝0；由x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4.
∴“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分不必要条件，故②正确；
③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”，是假命题，如m＝0时，方程x2＋x－m＝0有实根，故③错误；
④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故④错误；
⑤∵＋＋＝1，∴对空间任意一点O，若满足＝＋＋，则P，A，B，C四点一定共面，故⑤正确．
答案：①②⑤
2．已知p：－x2＋4x＋12≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．
(1)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________；
(2)若“綈p”是“綈q”的充分条件，则实数m的取值范围为________．
解析：由题知，p为真时，－2≤x≤6，q为真时，1－m≤x≤1＋m，
令P＝{x|－2≤x≤6}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)∵p是q的充分不必要条件，∴PQ，
∴或解得m≥5，
∴实数m的取值范围是[5，＋∞)．
(2)∵“綈p”是“綈q”的充分条件，∴“p”是“q”的必要条件，
∴Q⊆P，∴解得0y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选C 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．
2．若命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则在下列命题中真命题的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧q
解析：选A 由指数函数的性质可知，命题p是真命题，则命题綈p是假命题；
显然，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，即命题q是假命题，命题綈q是真命题．
所以命题p∧(綈q)是真命题．
3．命题“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定为( )
A．∃x0∈R，x＋x0＋1≥0 B．∃x0∈R，x＋x0＋1<0
C．∀x∈R，x2＋x＋1≤0 D．∀x∈R，x2＋x＋1<0
解析：选B 原命题∀x∈R，x2＋x＋1≥0为全称命题，
所以原命题的否定为：∃x0∈R，x＋x0＋1<0.
4．若命题p：∃x0，y0∈ ，x＋y＝2 018，则綈p为( )
A．∀x，y∈ ，x2＋y2≠2 018
B．∃x0，y0∈ ，x＋y≠2 018
C．∀x，y∈ ，x2＋y2＝2 018
D．不存在x，y∈ ，x2＋y2＝2 018
解析：选A 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p：∀x，y∈ ，x2＋y2≠2 018.
[清易错]
1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．
1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
解析：选D 命题是省略量词的全称命题，易知选D.
2．已知命题p：∀x<1，都有logx<0，命题q：∃x0∈R，使得x≥2x0成立，则下列命题是真命题的是( )
A．p∨(綈q) B．(綈p)∧(綈q)
C．p∨q D．p∧q
解析：选C 由题知，命题p为假，q为真，则p∨q为真，选C.
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
简单的逻
辑联结词
未考查
全称量词、存在量词
5年2考
线性规划与量词命题的判断，特称命题的否定
含逻辑联结词的命题的真假判断
[典例] 已知命题p：∃x0∈R，使x＋2x0＋5≤4；命题q：当x∈时，f(x)＝sin x＋的最小值为4，下列命题是真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
[解析] 令x＝－1，可得x2＋2x＋5≤4成立，故命题p是真命题；令sin x＝t，因为x∈，所以05，即f(x)>5，故命题q是假命题，因此綈p是假命题，綈q是真命题，所以p∧(綈q)是真命题．
[答案] D
[方法技巧]
1．“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断命题p，q的真假；
(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假．
2．复合命题真假判断常用的方法
(1)直接法：即判断出p，q的真假，再判断复合命题的真假．
(2)特殊值法：从题干出发通过选取特殊情况代入，作出判断．特殊情况可能是特殊值、特殊函数、特殊点、特殊位置、特殊向量等．
(3)数形结合法：根据题设条件作出研究问题的有关图形，利用图形作出判断，从而确定正确答案．
[即时演练]
1．已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，sin x＝x＋，命题q：∃x0∈R，πx0<1，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧q
解析：选C 法一：命题p：∀x∈(0，＋∞)，sin x＝x＋，令x＝1，则sin 1<1＋1，故命题p是假命题，因此命题綈p是真命题；命题q：∃x0∈R，πx0<1，令x＝－1，则π－1<1，命题q是真命题，命题綈q是假命题，故命题(綈p)∧q是真命题．
法二：因为x∈(0，＋∞)，所以sin x∈[－1,1]，x＋≥2 ＝2，则sin x0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为________．
解析：p为真：Δ＝4a2－16<0，解得－21，解得a<1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．
当p真q假时，⇒1≤a<2；
当p假q真时，⇒a≤－2.
∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．
答案：(－∞，－2]∪[1,2)
全称命题与特称命题
角度一：全称命题、特称命题的否定
1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p为( )
A．∃x0∈R，sin x0≤1 B．∀x∈R，sin x>1
C．∀x∈R，sin x≥1 D．∃x0∈R，sin x0>1
解析：选D 由于全称命题的否定是特称命题，且命题p是全称命题，所以命题綈p为∃x0∈R，sin x0>1.
角度二：全称命题、特称命题的真假判断
2．下列命题为假命题的是( )
A．∀x∈R,3x>0
B．∃x0∈R，lg x0＝0
C．∀x∈，x>sin x
D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝
解析：选D 由指数函数的性质可知，∀x∈R,3x>0成立，故A是真命题；令x0＝1，则lg x0＝0，故B是真命题；令f(x)＝x－sin x，f′(x)＝1－cos x>0，即函数f(x)＝x－sin x在上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0，所以x>sin x，故C是真命题；因为sin x0＋cos x0＝sin≤，故D是假命题．
[方法技巧]
1．全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
根据命题的真假求参数的取值范围
[典例] 若∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(2，3]
C. D．{3}
[解析] 因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.
[答案] A
[方法技巧]
根据命题真假求参数的3步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
[即时演练]
1．已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值范围为( )
A. B.∪
C. D.∪
解析：选A 当01时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若p为假，则a>1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.若q为假，则a∈.若使“p∨q”为假，则a∈(1，＋∞)∩，即a∈.
2．若命题“对∀x∈R， x2－ x－1<0”是真命题，则 的取值范围是________．
解析：“对∀x∈R， x2－ x－1<0”是真命题，当 ＝0时，则有－1<0；当 ≠0时，则有 <0且Δ＝(－ )2－4× ×(－1)＝ 2＋4 <0，解得－4< <0，综上所述，实数 的取值范围是(－4,0]．
答案：(－4,0]
1．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．
2．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n 2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n 2>2n B．∃n∈N，n 2≤2n
C．∀n∈N，n 2≤2n D．∃n∈N，n 2＝2n
解析：选C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n 2>2n”的否定是“∀n∈N，n 2≤2n”，故选C.
3．(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
解析：选B 当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
4．(2014·重庆高考)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧綈q B．綈p∧q
C．綈p∧綈q D．p∧q
解析：选A 命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题，选A.
5．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：选B 容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．
6．(2015·山东高考)若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：∵0≤x≤，∴0≤tan x≤1，
又∵∀x∈，tan x≤m，故m≥1，
即m的最小值为1.
答案：1
一、选择题
1．下列命题为真命题的是( )
A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>b
C．若>，则abc，当c<0时，有ab2，不一定有a>b，如(－3)2>(－2)2，但－3<－2，选项B错误；若>，不一定有a－，但2>－3，选项C错误；若<，则()2<()2，即alg x成立；
命题p2：不存在x∈(0,1)，使不等式log2xlg 10，故命题p1为真命题；由对数函数的性质知，p2为假命题，p3为真命题；p4中取x＝4不等式不成立，故选A.
3．(2018·石家庄一模)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A．p或q B．p且q
C．q D．綈p
解析：选B 取x＝，y＝，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q
是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
4．(2018·唐山模拟)已知命题p：∃x0∈N，x0
C．∀x>0,5x>3x
D．∃x0∈(0，＋∞)，x00，则函数f(x)在上必单调递增，即p是真命题；∵g＝－<0，g(1)＝1>0，∴g(x)在上有零点，即q是假命题，故选D.
7．命题p：“∃x0∈，sin2x0＋cos 2x00”的否定是“∃x0∈R，ex0>0”
B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
解析：选B A：命题的否定是“∃x0∈R，ex0≤0”，∴A错误；B：逆否命题为“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题，∴B正确；C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D：若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则：①a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．
二、填空题
9．命题“∀x∈R，cos x≤1”的否定是____________________．
答案：∃x0∈R，cos x0>1
10．给出下列命题：
①∀x∈R，x2＋1>0；②∀x∈N，x2≥1；
③∃x0∈ ，x<1；④∃x0∈Q，x＝3；
⑤∀x∈R，x2－3x＋2＝0；⑥∃x0∈R，x＋1＝0.
其中所有真命题的序号是________．
解析：①显然是真命题；②中，当x＝0时，x2<1，故②是假命题；③中，当x＝0时，x3<1，故③是真命题；④中，对于任意的x∈Q，x2＝3都不成立，故④是假命题；⑤中，只有当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0才成立，故⑤是假命题；⑥显然是假命题．综上可知，所有真命题的序号是①③.
答案：①③
11．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：>1，若“(綈q)∧p”为真，则x的取值范围是________．
解析：命题p：x>1或x<－3；
由>1，求解可得命题q：20恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇒a＝0或⇒0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇒1－4a≥0⇒a≤；
若p真q假，则有0≤a<4，且a>，∴0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴01，即a>2时，函数f(t)＝t2－at＋2在[－1,1]上是减函数，
所以f(1)＝3－a≥0，则2
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