人教版九年级数学上册教案：24_4 圆锥的侧面积

人教版九年级数学上册教案：24_4 圆锥的侧面积

1 圆锥的侧面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程． 2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力． 2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力． (三)情感与价值观要求 1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培 养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经 验，感受成功的体验． 2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学 习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际． 教学重点 1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程． 2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题． 教学难点 经历探索圆锥侧面积计算公式． 教学方法 观察——想象——实践——总结法 教具准备 一个圆锥模型(纸做) 投影片两张 第一张：(记作§3．8A) 第二张：(记作§3．8B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？ [主]见过，如漏斗、蒙古包． 2 [师]你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流． [生]圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的． [师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这 些问题． Ⅲ．新课讲解 一、探索圆锥的侧面展开图的形状 [师](向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图 是什么形状． [生]圆锥的侧面展开图是扇形． [师]能说说理由吗？ [生甲]因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的．上 节课的内容是弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜 想圆锥的侧面展开图应该是扇形． [师]这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他 理由吗？ [生乙]我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模 型． [师]很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪 开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？ [生]是扇形． [师]大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形 面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的 半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象． 二、探索圆锥的侧面积公式 [师]圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线(generating line)长为 l， 底面圆的半径为 r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长 l，扇形的弧长即 为底面圆的周长 2π r，根据扇形面积公式可知 S＝ 1 2 ·2π r·l＝π rl．因此圆锥的侧面积 为 S 侧＝π rl． 3 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为 S 全＝π r2＋ π rl． 三、利用圆锥的侧面积公式进行计算． 投影片(§3．8A) 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为 58cm， 高为 20cm，要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到 0.1cm)2 分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积．现在已知底面圆的周长，从 中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长．在高 h、底面圆的半径 r、母线 l 组成的 直角三角形中，根据勾股定理求出母线 l，代入 S 侧＝π rl 中即可． 解：设纸帽的底面半径为 r cm，母线长为 l cm，则 r＝ 58 2 l＝ 2258( ) 202  ≈22.03cm， S 圆锥侧＝π rl≈ 1 2 ×58×22.03＝638.87cm2． 638.87×20＝12777.4cm2． 所以，至少需要 12777.4cm2 的纸． 投影片(§3．8B) 如图，已知 Rt△ABC 的斜边 AB＝13cm，一条直角边 AC＝5cm，以直线 AB 为轴旋转一周 得一个几何体．求这个几何体的表面积． 4 分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两 个圆锥的侧面积之和．根据 S 侧＝ 360 n π R2 或 S 侧＝π rl 可知，用第二个公式比较好求，但 是得求出底面圆的半径，因为 AB 垂直于底面圆，在 Rt△ABC 中，由 OC、AB＝BC、AC 可求出 r，问题就解决了． 解：在 Rt△ABC 中，AB＝13cm，AC＝5cm， ∴BC＝12cm． ∵OC·AB＝BC·AC， ∴r＝OC＝ ． ∴S 表＝π r(BC＋AC)＝π × 60 13 ×(12＋5) ＝1020 13 π cm2． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算． Ⅴ．课后作业 习题 3．11 Ⅵ．活动与探究 探索圆柱的侧面展开图 在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已 知圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面 之间的距离是圆柱的高． 5 圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于 轴的线段都叫做圆柱的母线．容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都 相等，并等于圆柱的高，圆柱的两个底面是平行的． 如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形， 这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的 侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高． [例 1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形 ABCD．已知 AD＝18cm，AB ＝30cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到 1cm2)． 解：如图(2)，AD 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的母线，设圆柱的表面积为 S，则 S＝ 2S 圆＋S 侧． ∴S＝2π (18 2 )2＋2π × ×30＝162π ＋540π ≈2204cm2． 所以这个圆柱形木块的表面积约为 2204cm2． 板书设计 §3．8 圆锥的侧面积 一、1．探索圆锥的侧面展开图的形状； 2．探索圆锥的侧面积公式； 3．利用圆锥的侧面积公式进行计算． 6 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 回顾与思考 教学目标 (一)教学知识点 1．掌握本章的知识结构图． 2．探索圆及其相关结论． 3．掌握并理解垂径定理． 4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 5．掌握圆心角和圆周角的关系定理． (二)能力训练要求 1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力． 2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展 学生的动手操作能力． 3．用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力． 4．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． (三)情感与价值观要求 通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达 方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展． 教学重点 掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周 角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用． 教学难点 上面这些内容的推导及应用． 教学方法 7 教师引导学生自己归纳总结法． 教具准备 投影片三张： 第一张：(记作 A) 第二张：(记作 D 第三张：(记作 C) 教学过程 Ⅰ．回顾本章内容 [师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？ [生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且 有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法 探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系； 又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断； 探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积． [师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由 圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在 对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的 位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三 部分构成了全章内容，结构如下：(投影片 A) Ⅱ．具体内容巩固 [师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾． 8 一、圆的有关概念及性质 [生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半 径． 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心 是圆心，圆还具有旋转不变性． [师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？ [生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与 地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把 车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平 稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠． 二、垂径定理及其逆定理 [生]垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． [师]这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个 定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一 条弦，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条 件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对 的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定 理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用 垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆 定理．下面我们就用一些具体例子来区别它们． (投影片 B) 1．如图(1)，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E 为垂足，则四边形 ADOE 是正方形吗？请说明理由． 2．如图(2)，在⊙O 中，半径为 50mm，有长 50mm 的弦 AB，C 为 AB 的中点，则 OC 垂 直 于 AB 吗？OC 的长度是多少？ 9 [师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？ [生]在第 1 题中，OD、OE 都是过圆心的，又 OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂 直于弦，应用垂径定理；在第 2 题中，C 是弦 AB 的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径) 的直径，应用逆定理． [师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？ [生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC， ∴四边形 ADOE 是矩形． ∵AC＝AB，∴AE＝AD． ∴四边形 ADOE 是正方形． 2．解：∵C 为 AB 的中点， ∴OC⊥AB， 在 Rt△OAC 中，AC＝ 1 2 AB＝25mm，OA＝50mm． ∴由勾股定理得 OC＝ 2 2 2 250 25 25 3OA AC    (mm)． 三、圆心角、弧、弦之间关系定理 [师]大家先回忆一下本部分内容． [生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． [师]下面我们进行有关练习 (投影片 C) 1．如图在⊙O 中，弦 AB 所对的劣弧为圆的 1 3 ，圆的半径为 2cm，求 AB 的长． 10 [生]解：由题意可知 AB 的度数为 120°， ∴∠AOB＝120°． 作 OC⊥AB，垂足为 C，则 ∠AOC＝60°，AC＝BC． 在 Rt△ABC 中， AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2× 3 33  ． ∴AB＝2AC＝2 3 (cm)． 四、圆心角与圆周角的关系 [生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积 [师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公 式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学 生掌握公式并能运用． [生]弧长公式 l＝ 180 nR ，π 是圆心角，R 为半径． 扇形面积公式 S＝ 2 360 nR 或 S＝ 1 2 lR．n 为圆心角，R 为扇形的半径，l 为扇形弧长． 圆锥的侧面积 S 侧＝π rl，其中 l 为圆锥的母线长，r 为底面圆的半径． S 全＝S 侧＋S 底＝π rl＋π r2． Ⅲ．课时小结 本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积． 11 Ⅳ．课后作业 复习题 A 组 Ⅴ．活动与深究 弓形面积 如图，把扇形 OAmB 的面积以及△OAB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积．如 图(1)中，弓形 AmB 的面积小于半圆的面积，这时 S 弓形＝S 扇形－S△OAB；图(2)中，弓形 AmB 的 面积大于半圆的面积，这时 S 弓形＝S 扇形＋S△OAB；图(3)中，弓形 AmB 的面积等于半圆的面积， 这时 S 弓形＝ 1 2 S 圆． 例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是 0.6m，其中水面高是 0.3m，求截面上有 水的弓形的面积(精确到 0.01m2)． 解：如图，在⊙O 中，连接 OA、OB，作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交 AB 于点 C． ∵OA＝0.6，DC＝0.3， ∴OD＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD＝60°，AD＝0.3 3 ． ∵S 弓形 ACB＝S 扇形 OACB－S△OAB， ∴S 扇形 OACB＝120 360  ·0.62＝0.12π (m2)， S△OAB＝ AB·OD＝ ×0.6 ×0.3＝0.09 (m2) ∴S 弓形 ACB＝0.12π －0.09 ≈0.22(m2)． 板书设计 12 回顾与思考 一、1．圆的有关概念及性质；2．垂径定理及其逆定理； 3．圆心角、弧、弦之间关系定理；4．圆心角与圆周角的关系； 5．弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．二、课时小结 三、课后作业 回顾与思考(2) 教学目标 (一)教学知识点 1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系． 2．了解切线的概念，切线的性质及判定． 3．会过圆上一点画圆的切线． (二)能力训练要求 1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运 动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力． 2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索 能力． 3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力． 4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力． (三)情感与价值观要求 1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及 数学结论的确定性． 2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力， 能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 教学重点 1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线． 13 教学难点 探索各种位置关系及切线的性质． 教学方法 学生自己交流总结法． 教具准备 投影片五张： 第一张：(记作 A) 第二张：(记作 B) 第三张：(记作 C) 第四张：(记作 D) 第五张：(记作 E) 教学过程 Ⅰ．回顾本章内容 [师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了 本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固． Ⅱ．具体内容巩固 一、确定圆的条件 [师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我 们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆， 圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结． [生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所 连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个． 经过两点也可以作无数个圆． 设这两点为 A、B，经过 A、B 两点的圆，其圆心到 A、B 两点的距离一定相等，所以圆 心应在线段 AB 的垂直平分线上，在 AB 的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到 A 或 B 的距离为半径都可以作一个经过 A、B 两点的圆．因此这样的圆也有无数个． 经过在同一直线上的三点不能作圆． 经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过 A、B、C 三点，就要确定 一个点作为圆心，使它到三点 A、B、C 的距离相等，到 A、B 两点距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上，到 B、C 两点距离相等的点应在线段 B、C 的垂直平分线上，那么同时满足 14 到 A、B、C 三点距离相等的点应既在 AB 的垂直平分线上，又在 BC 的垂直平分线上，既两条 直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到 A 点的距离为半径，所以这样 的圆只能作出一个． [师]经过不在同一条直线上的四个点 A、B、C、D 能确定一个圆吗？ [生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到 圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半 径，说明四个点不在同一个圆上． 例题讲解(投影片 A) 矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？ [师]请大家互相交流． [生]解：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O． ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD． ∴A、B、C、D 四点到定点 O 的距离都等于矩形对角线的一半． ∴A、B、C、D 四点在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上． 二、三种位置关系 [师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系； 圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾． 1．点和圆的位置关系 [生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在 圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说 明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说 明这个点在圆内． [师]总结得不错，下面看具体的例子． (投影片 B) 15 1．⊙O 的半径 r＝5cm，圆心 O 到直线 l 的 距离 d＝OD＝3 m．在直线 l 上有 P、Q、R 三点，且有 PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R 三点对于⊙O 的位置各是怎样的？ 2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？ 分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径． [生]1．解：如图(1)，在 Rt△OPD 中， ∵OD＝3，PD＝4， ∴OP＝ 2 2 2 234OD PD   ＝5＝r． 所以点 P 在圆上． 同理可知 OR＝ 22OD DR ＜5，OQ＝ 22OD DQ ＞5． 所以点 R 在圆内，点 Q 在圆外． 2．如图(2)，菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是各边的中 点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA 都是直角三角形，又 由于 E、F、G、H 分别是各直角三角形斜边上的中点，所以 OE、OF、OG、OH 分别是各直角三 角形斜边上的中线，因此有 OE＝ 1 2 AB，OF＝ BC，OG＝ CD，OH＝ AD，而 AB＝BC＝CD ＝DA．所以 OE＝OF＝OG＝OH．即各中点 E、F、G、H 到对角线的交点 O 的距离相等，所以菱 形各边的中点在同一个圆上． 2．直线和圆的位置关系 [生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点 时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和 圆没有公共点时，此时直线和圆相离． [师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？ 16 [生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比 较圆心到直线的距离 d 与半径的大小． 当 d＜r 时，直线和圆相交； 当 d＝r 时，直线和圆相切； 当 d＞r 时，直线和圆相离． [师]很好，下面我们做一个练习． (投影片 C) 如图，点 A 的坐标是(－4，3)，以点 A 为圆心，4 为半径作圆，则⊙A 与 x 轴、y 轴、 原点有怎样的位置关系？ 分析：因为 x 轴、y 轴是直线，所以要判断⊙A 与 x 轴、y 轴的位置关系，即是判断直 线与圆的位置关系，根据条件需用圆心 A 到直线的距离 d 与半径 r 比较．O 是点，⊙A 与原 点即是求点和圆的位置关系，通过求 OA 与 r 作比较即可． [生]解：∵A 点的坐标是(－4，3)， ∴A 点到 x 轴、y 轴的距离分别是 3 和 4． 又因为⊙A 的半径为 4， ∴A 点到 x 轴的距离小于半径，到 y 轴的距离等于半径． ∴⊙A 与 x 轴、y 轴的位置关系分别为相交、相切． 由勾股定理可求出 OA 的距离等于 5，因为 OA＞4，所以点 O 在圆外． [师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行 深层次的研究，即切线的性质和判定． [生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径． 切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． [师]下面我们看它们的应用． 17 (投影片 D) 1．如图(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D 是 AB 上一点，以 BD 为直 径的⊙O 切 AC 于点 E，求 AD 的长． 2．如图(2)，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠CAE＝∠B，你认为 AE 与⊙O 相切 吗？为什么？ 分析：1．由⊙O 与 AC 相切可知 OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边 成比例， OA OE BA BC ．求出半径和 OA 后，由 OA－OD＝AD，就求出了 AD． 2．根据切线的判定，要求 AE 与⊙O 相切，需求∠BAE＝90°，由 AB 为 ⊙O 的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝ 90°． [师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤． [生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， ∴由勾股定理得 AB＝15． ∵⊙O 切 AC 于点 E，连接 OE， ∴OE⊥AC． ∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC． ∴ OA OE AB BC ，即 AB OE OE AB BC   ． ∴15 15 9 OE OE  ．∴OE＝ 45 8 ∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－ ×2＝15 4 ． 2．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°． ∴∠CAE＝∠B， ∴∠CAB＋∠CAE＝90°， 18 即 BA⊥AE．∵BA 为⊙O 的直径， ∴AE 与⊙O 相切． 3．圆和圆的位置关系 [师]还是请大家先总结内容，再进行练习． [生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含， 相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、 内含． [师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？ [生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内 部还是外部来判断． 当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都 在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含． 当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的 点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时 是内切． 两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外 部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交． [师]只有这一种判定方法吗？ [生]还有用圆心距 d 和两圆的半径 R、r 之间的关系能判断外切和内切两种位置关系， 当 d＝R＋r 时是外切，当 d＝R－r(R＞r)时是内切． [师]下面我们还可以用 d 与 R，r 的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别 画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等 关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的． 当 d＞R＋r 时，两圆外离； 当 R－r＜d＜R＋r 时，两圆相交； 当 d＜R－r(R＞r)时，两圆内含． (投影片 E) 设⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 R、r，圆心距为 d，在下列情况下，⊙O1 和⊙O2 的位置关系 怎样？ 19 ①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm； ②R＝6cm，r＝3cm，d＝0； ③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm； ④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm； ⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm； ⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm； ⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm． [生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm， ∴⊙O1 与⊙O2 的位置关系是相交； (2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含； (3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切； (4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切； (5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离； (6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交； (7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含． 三、有关外接圆和内切圆的定义及画法 [生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外 接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点． 因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分 线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆． 和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆 心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆． Ⅲ．课堂练习 1．画三个半径分别为 2cm、2.5cm、4cm 的圆，使它他们两两外切． 2．两个同心圆中，大圆的弦 AB 和 AC 分别和小圆相切于点 D 和 E，则 DE 与 BC 的位置 关系怎样？DE 与 BC 之间有怎样的数量关系？(DE 1 2 BC) Ⅳ．课时小结 20 本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角 形的外接圆和内切圆． Ⅴ．课后作业 复习题 B 组 Ⅵ．活动与探究 如图，⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的 面积． 分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形 ABC 的面积与⊙O 的面积差，由勾股定理 可求出直角边 BC 的长度，则能求出 S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O 的半径 OD 或 OE、OF．连 接 OA、OB、OC，则把△ABC 分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有 S△ABC＝S△OAB＋S △OBC＋S△OCA，从中可求出半径． 解：如图连接 OA、OB、OC，则△ABC 分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、OF、 OD 分别是三角形各边上过切点的半径． ∴S△OAB＝ 1 2 AB·OF，S△OBC＝ BC·OD，S△OCA＝ CA·OE． ∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA， ∴ AC·BC＝ AB·OF＋ BC·OD＋ CA·OE． ∵OD＝OE＝OF， ∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD． 在 Rt△ABC 中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得 BC＝5． ∴12×5＝(12＋13＋5)·OD． ∴OD＝2． ∴S 阴影＝S△ABC－S⊙O＝ ×12×5－π ·22＝30－4π ． 板书设计 21 回顾与思考 一、确定圆的条件 二、三种位置关系； 1．点和圆的位置关系；2．直线和圆的位置关系． 3．圆和圆的位置关系 三、有关外接圆和内切圆的定义及画法 四、课堂练习五、课时小结 六、课后作业