人教版九年级数学上册教案:24_2 直线和圆的位置关系(1)

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人教版九年级数学上册教案:24_2 直线和圆的位置关系(1)

1 3.5.1 直线和圆的位置关系 教学目标 (一)教学知识点 1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系. 2.了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系. (二)能力训练要求 1.经历探索直线与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力. 2.通过观察得出“圆心到直线的距离 d 和半径 r 的数量关系”与“直线和圆的位置关 系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化. (三)情感与价值观要求 通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的 严谨性以及数学结论的确定性. 在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 教学重点 经历探索直线与圆位置关系的过程. 理解直线与圆的三种位置关系. 了解切线的概念以及切线的性质. 教学难点 经历探索直线与圆的位置关系的过程,归纳总结出直线与圆的三种位置关系. 探索圆的切线的性质. 教学方法 教师指导学生探索法. 教具准备 投影片三张 第一张:(记作§3.5.1A) 第二张:(记作§3.5.1B) 第三张:(记作§3.5.1C) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们在前面学过点和圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些? 2 [生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距 离等于半径;圆的内部到圆心的距离小于半径;圆的外部到圆心的距离大于半径.因此点和 圆的位置关系有三种,即点在圆上、点在圆内和点在圆外.也可以把点与圆心的距离和半径 作比较,若距离大于半径在圆外,等于半径在圆上,小于半径在圆内. [师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系. Ⅱ.新课讲解 1.复习点到直线的距离的定义 [生]从已知点向已知直线作垂线,已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条 直线的距离. 如下图,C 为直线 AB 外一点,从 C 向 AB 引垂线,D 为垂足,则线段 CD 即为点 C 到直 线 AB 的距离. 2.探索直线与圆的三种位置关系 [师]直线和圆的位置关系,我们在现实生活中随处可见,只要大家注意观察,这样的 例子是很多的.如大家请看课本 113 页,观察图中的三幅照片,地平线和太阳的位置关系怎 样?作一个圆,把直尺的边缘看成一条直线,固定圆,平移直尺,直线和圆有几种位置关系? [生]把太阳看作圆,地平线看作直线,则直线和圆有三种位置关系;把直尺的边缘看 成一条直线,则直线和圆有三种位置关系. [师]从上面的举例中,大家能否得出结论,直线和圆的位置关系有几种呢? [生]有三种位置关系: [师]直线和圆有三种位置关系,如下图: 它们分别是相交、相切、相离. 3 当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线(tangent line). 当直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交. 当直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 因此,从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系,你能总结吗? [生]当直线与圆有唯一公共点时,这时直线与圆相切; 当直线与圆有两个公共点时,这时直线与圆相交; 当直线与圆没有公共点时,这时直线与圆相离. [师]能否根据点和圆的位置关系,点到圆心的距离 d 和半径 r 作比较,类似地推导出 如何用点到直线的距离 d 和半径 r 之间的关系来确定三种位置关系呢? [生]如上图中,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,圆的半径为 r,当直线与圆相交时,d<r; 当直线与圆相切时,d=r;当直线与圆相离时,d>r,因此可以用 d 与 r 间的大小关系断定 直线与圆的位置关系. [师]由此可知:判断直线与圆的位置关系有两种方法.一种是从直线与圆的公共点的 个数来断定;一种是用 d 与 r 的大小关系来断定. 投影片(§3.5.1A) (1)从公共点的个数来判断: 直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交;直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切; 直线与圆没有公共点时,直线与圆相离. (2)从点到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系来判断: d<r 时,直线与圆相交; d=r 时,直线与圆相切; d>r 时,直线与圆相离. 投影片(§3.5.1B) [例 1]已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8cm,AC=4cm. (1)以点 C 为圆心作圆,当半径为多长时,AB 与⊙C 相切? (2)以点 C 为圆心,分别以 2cm 和 4cm 的长为半径作两个圆,这两个圆与 AB 分别有怎 样的位置关系? 分析:根据 d 与 r 间的数量关系可知: 4 d=r 时,相切;d<r 时,相交;d>r 时,相离. 解:(1)如上图,过点 C 作 AB 的垂线段 CD. ∵AC=4cm,AB=8cm; ∴cosA= 1 2 AC AB  , ∴∠A=60°. ∴CD=ACsinA=4sin60°=2 3 (cm). 因此,当半径长为 2 cm 时,AB 与⊙C 相切. (2)由(1)可知,圆心 C 到 AB 的距离 d=2 cm,所以,当 r=2cm 时,d>r,⊙C 与 AB 相离; 当 r=4cm 时,d<r,⊙C 与 AB 相交. 3.议一议(投影片§3.5.1C) (1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗? (2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗? (3)如图(2),直线 CD 与⊙O 相切于点 A,直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系?说一 说你的理由. 对于(3),小颖和小亮都认为直径 AB 垂直于 CD.你同意他们的观点吗? [师]请大家发表自己的想法. [生](1)把一只筷子放在碗上,把碗看作圆,筷子看作直线,这时直线与圆相交; 自行车的轮胎在地面上滚动,车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相切; 5 杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相离. (2)图(1)中的三个图形是轴对称图形.因为沿着 d 所在的直线折叠,直线两旁的部分 都能完全重合.对称轴是 d 所在的直线,即过圆心 O 且与直线 l 垂直的直线. (3)所谓两条直线的位置关系,即为相交或平行,相交又分垂直和斜交,直线 CD 与⊙O 相切于点 A,直径 AB 与直线 CD 垂直,因为图(2)是轴对称图形,AB 是对称轴,所以沿 AB 对折图形时,AC 与 AD 重合,因此∠BAC=∠BAD=90°. [师]因为直线 CD 与⊙O 相切于点 A,直径 AB 与直线 CD 垂直,直线 CD 是⊙O 的切线, 因此有圆的切线垂直于过切点的直径. 这是圆的切线的性质,下面我们来证明这个结论. 在图(2)中,AB 与 CD 要么垂直,要么不垂直.假设 AB 与 CD 不垂直,过点 O 作一条直 径垂直于 CD、垂足为 M,则 OM<OA,即圆心 O 到直线 CD 的距离小于⊙O 的半径,因此 CD 与⊙O 相交,这与已知条件“直线 CD 与⊙O 相切”相矛盾,所以 AB 与 CD 垂直. 这种证明方法叫反证法,反证法的步骤为第一步假设结论不成立;第二步是由结论不 成立推出和已知条件或定理相矛盾.第三步是肯定假设错误,故结论成立. Ⅲ.课堂练习 随堂练习 Ⅳ.课时小结 本节课学习了如下内容: 1.直线与圆的三种位置关系. (1)从公共点数来判断. (2)从 d 与 r 间的数量关系来判断. 2.圆的切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. 3.例题讲解. Ⅴ.课后作业 习题 3.7 Ⅵ.活动与探究 如下图,A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 300 千米的 B 处,并以每小时 10 7 千米的速度向北偏东 60°的 BF 方向移动,距台风中心 200 千米的范围是受台风影响的区域. 6 (1)A 城是否会受到这次台风的影响?为什么? (2)若 A 城受到这次台风的影响,试计算 A 城遭受这次台风影响的时间有多长? 分析:因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心,半径为 200 千米的圆,A 城能 否受到影响,即比较 A 到直线 BF 的距离 d 与半径 200 千米的大小.若 d>200,则无影响, 若 d≤200,则有影响. 解:(1)过 A 作 AC⊥BF 于 C. 在 Rt△ABC 中,∵∠CBA=30°,BA=300, ∴AC=ABsin30°=300× 1 2 =150(千米). ∵AC<200,∴A 城受到这次台风的影响. (2)设 BF 上 D、E 两点到 A 的距离为 200 千米,则台风中心在线段 DE 上时,对 A 城均 有影响,而在 DE 以外时,对 A 城没有影响. ∵AC=150,AD=AE=200, ∴DC= 22200 150 50 7 . ∴DE=2DC=100 7 . ∴t= 100 7 10 7 s v  =10(小时). 答:A 城受影响的时间为 10 小时. 板书设计 §3.5.1 直线和圆的位置关系(一) 一、1.复习点到直线的距离的定义 2.探索直线与圆的三种位置关系 (1)从公共点个数来判断 (2)从点到直线的距离 d 与半径 r 间的数量关系来判断. 3.议一议 7 二、课堂练习 随堂练习 三、课时小结 四、课后作业
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