人教A版数学必修一2-3幂函数

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人教A版数学必修一2-3幂函数

§2.3 幂函数 一.教学目标: 1.知识技能 (1)理解幂函数的概念; (2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用. 2.过程与方法 类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质. 3.情感、态度、价值观 (1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法; (2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二.重点、难点 重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点:从幂函数的图象中概括其性质 5.学法与教具 (1)学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ; (2)教学用具:多媒体 三.教学过程: 引入新知 阅读教材 P77 的具体实例(1)~(5),思考下列问题. (1)它们的对应法则分别是什么? (2)以上问题中的函数有什么共同特征? 让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论 答:1、(1)乘以 1 (2)求平方 (3)求立方 (4)求算术平方根 (5)求-1 次方 2、上述的问题涉及到的函数,都是形如: y x ,其中 x 是自变量, 是常数. 探究新知 1.幂函数的定义 一般地,形如 y x ( xR)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, 是常数. 如 1 1 2 3 4, ,y x y x y x     等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 2.研究函数的图像 (1) y x (2) 1 2y x (3) 2y x (4) 1y x (5) 3y x 一.提问:如何画出以上五个函数图像 引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最后,教师利用电 脑软件画出以上五个数数的图像. 2y x 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 15 让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类比研 究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像,填 P91 探究中的表格 y x 2y x 3y x 1 2y x 1y x 定义域 R R R  | 0x x   | 0x x  奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限 单调增减性 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递增 在第Ⅰ象限 单调递减 定点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:1 1x  ); (2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐 渐上升). 特别地,当 x >1, x >1 时, x ∈(0,1), 2y x 的图象都在 y x 图象的下方,形状向下凸越大, 下凸的程度越大(你能找出原因吗?) 当∠α<1 时, x ∈(0,1), 2y x 的图象都在 y x 的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程 度越大(你能说出原因吗?) (3)α<0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一家限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢地变大时,图 象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 例题: 1.证明幂函数 ( ) [0, ]f x x 在 上是增函数 证:任取 1 2 1, [0, ),x x x  且 < 2x 则 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x   y x 1 2y x y=x3 y=x-1 0 = 1 2 1 2 1 2 ( )( )x x x x x x    = 1 2 1 2 x x x x   因 1 2x x <0, 1 2x x >0 所以 1 2( ) ( )f x f x ,即 ( ) [0, ]f x x  在 上是增函数. 思考: 我们知道 ,若 1 2 ( )( ) 0, 1( ) f xy f x f x   若 得 1 2( ) ( )f x f x ,你能否 用这种作比的方 法来证明 ( ) [0, ]f x x 在 上是增函数,利用这种方法需要注意些什么? 2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小 (1) 1 1 6 62 , 3 (2) 3 3 2 2( 1) , ( 0)x x x  (3) 2 2 2 4 4( 4) , 4a    分析:利用幂函数的单调性来比较大小. 5.课堂练习 画出 2 3y x 的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性. 6.归纳小结:提问方式 (1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 作业:P79 习题 2.3 第 2、3 题
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