山东省临沂市临沭县第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

山东省临沂市临沭县第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

高18级2019—2020学年度上学期学情摸底调研 数学试题 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．‎ 第一卷（选择题共52分）‎ 一、选择题（本题共13小题，每小题4分，共52分．第1-10题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，第11-13题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得四分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）‎ ‎1.数列中，x的值是（ ）‎ A. 12 B. ‎13 ‎C. 14 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察相邻两项的关系,即可得到所求.‎ ‎【详解】观察数列可得:；；；‎ 所以, 则,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查观察法得数列的项,属于基础题.‎ ‎2.数列－1，，－，，…的一个通项公式是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用由数列﹣1，，，，…．可知：奇数项的符号为“﹣”，偶数项的符号为“+”，其分母为奇数2n﹣1，分子为n2．即可得出．‎ ‎【详解】解：由数列﹣1，，，，…‎ 可知：奇数项的符号为“﹣”，偶数项的符号为“+”，‎ 其分母为奇数2n﹣1，分子为n2．‎ ‎∴此数列的一个通项公式．‎ 故选：A．‎ 考点：数列的通项公式 ‎3.数列中，已知，且，则等于（ ）‎ A. 170 B. ‎171 ‎C. 172 D. 173‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,则,,,则利用累加法可得,再令,进而求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,所以,,,‎ 累加可得,即,‎ 当时,,则,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查累加法处理数列的递推公式,考查等差数列的前项和公式的应用.‎ ‎4.如图所示是一系列有机物的结构岗图，图中的“小黑点”表示原子，两基点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键（ ）‎ A. 6n B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图分别得到第1个图,第2个图,第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第个图中化学键的个数.‎ ‎【详解】由图,第1个图中有6个化学键；‎ 第2个图中有11个化学键；‎ 第3个图中有16个化学键,‎ 观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键,‎ 则第个图有个化学键,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查图形的规律,考查等差数列的通项公式的应用.‎ ‎5.已知等差数列中，，则的值是（ ）‎ A. 20 B. ‎22 ‎C. 23 D. 24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列通项公式可整理为,即,进而整理即可求解.‎ ‎【详解】由题,因为,所以,‎ 即,‎ 所以,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.‎ ‎6.等比数列的各项都为正数，且，等于（ ）‎ A. 12 B. ‎11 ‎C. 10 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得,再由对数的运算性质求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,即,‎ 所以,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算,属于基础题.‎ ‎7.若，，成等差数列．则x的值为（ ）‎ A. 7或 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列中项可得,即,进而求解即可.‎ ‎【详解】由题,,则,‎ 即,‎ 所以,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查等差数列中项的应用,考查对数的运算.‎ ‎8.在等差数列中， ， ，则的值为（ ）‎ A. 27 B. ‎30 ‎C. 33 D. 36‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得,,则可得,再由求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为,则；‎ 因为,则；‎ 所以,‎ 所以 故选:B ‎【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的定义的应用.‎ ‎9.若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,即可求出 进而求出答案．‎ ‎【详解】∵ ，∴，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前项和性质即可，属于基础题型.‎ ‎10.已知等差数列的前n项和为，若；且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则等于（ ）‎ A. 90 B. ‎100 ‎C. 200 D. 201‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A,B,C三点共线（该直线不过点O）可得,再由等差数列前项和公式求解即可.‎ ‎【详解】由题,因为A,B,C三点共线（该直线不过点O）,‎ 所以,‎ 因为等差数列,所以,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查等差数列的前项和.‎ ‎11.在等差数列中，首项，公差，前n项和为．以下说法正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则是中的最大项 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,利用等差数列的性质可得,即可判断选项A,C；再由,则,即可判断选项B；由可得,则,即可判断选项D.‎ ‎【详解】若可得,即,则,所以,故A正确；‎ 由可得,故C正确；‎ 又,则,所以,,所以是中的最大项,故B正确；‎ 若,则,因为,所以,则,‎ 所以,即,故D正确,‎ 故选:ABCD ‎【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的前项和的最大项.‎ ‎12.已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列可得,进而对各选项中数列依次作前后两项的比,判断是否为常数,即可得到答案.‎ ‎【详解】因为数列是公比为的等比数列,则,‎ 对于选项A,,因为不是常数,故A错误；‎ 对于选项B,,因为为常数,故B正确；‎ 对于选项C,,因为为常数,故C正确；‎ 对于选项D,若,即时,该数列不是等比数列,故D错误. ‎ 故答案为:BC ‎【点睛】本题考查等比数列的判断,需注意等比数列各项均不为0.‎ ‎13.下列命题不正确的是（ ）‎ A. 若数列的前n项和为，则数列是等差数列．‎ B. 等差数列的公差则是递增数列．‎ C. 常数列既是等差数列，又是等比数列．‎ D. 等比数列是递增数列，则的公比．‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的前项和公式判断选项A；由可得,即可判断选项B；当时,该数列不是等比数列,即C错误；当且时,D错误.‎ ‎【详解】对于选项A,的前n项和,故A错误；‎ 对于选项B,若,则,故B正确；‎ 对于选项C,当时,该常数列不是等比数列,故C错误；‎ 对于选项D, 等比数列是递增数列，,故D错误；‎ 故选:ACD ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和公式,考查数列的单调性的判断,考查等比数列的判断.‎ 第二卷（非选择题 共98分）‎ 二、实验题（本题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中横线上．）‎ ‎14.已知等差数列中，，，则其通项公式__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵等差数列{an}中,a4=8,a8=4，‎ ‎∴，解得a1=11，d=−1，‎ ‎∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n.‎ ‎15.等差数列，的前n项和分别为和，若则＝________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据等差数列的性质，由.‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎16.若，两个数列:和都是等差数列，则 ‎______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的定义可得,且,则,即可求解.‎ ‎【详解】由题,因为是等差数列,所以,即；‎ 因为是等差数列,所以,即,‎ 所以,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查等差数列定义的应用,属于基础题.‎ ‎17.在中，是以为第三项，4为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形的形状是 .‎ ‎【答案】锐角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质,可求出tanA和tanB,代入两角和的正切公式,结合诱导公式,可得tanC的值,进而判断出三个角的大小,进而判断出三角形的形状.‎ ‎【详解】设以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差为d 则 即 设以为第三项,9为第六项的等比数列的公比为q 则 即 ‎ 则 即 故A,B,C均为锐角 故为锐角三角形 故答案为锐角三角形 ‎【点睛】本题考查的知识点是等差数列及等比数列,考查了三角形内角和定理以及两角和的正切公式，属于中档题.‎ 三、解答题（本原共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18.（1）在等差数列中，若公差，是与的等比中项，求数列的通项公式；‎ ‎（2）在等比数列中， ，．求的通项公式．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由等比中项可得,再由等差数列的定义可得,即可求得,进而求解；‎ ‎（2）由题可得,,进而求解.‎ ‎【详解】解:（1）由题知 ‎,即,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎（2）,‎ ‎,,‎ 解得,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用.‎ ‎19.等差数列的前项和记为，已知．‎ ‎（1）求通项；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）n=11.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，根据条件用基本量列方程求解即可；‎ ‎（2）先求出，再令解方程即可.‎ 试题解析：‎ ‎1设等差数列的公差为，‎ 由得方程组，解得 所以 ‎2由得方程，‎ 解得 ‎20.已知等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？‎ ‎【答案】(1) .(2) 当时，取得最大值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题设条件和等差数列的通项公式，化简求得，即可求解，得到答案．‎ ‎（2）法一：利用等差数列的前n项和公式，求得，再利用二次函数的性质，即可求解；‎ 法二：由（1），求得时，，时，，即可求解，得到结论．‎ ‎【详解】（1）由题意，等差数列中，，，‎ 则，解得，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）法一：，，‎ ‎，‎ ‎∴当时，取得最大值．‎ 法二：由（1）知，，∴是递减数列．‎ 令，则，解得.‎ ‎∵，∴时，，时，.‎ ‎∴当时，取得最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，以及等差数列的前n项和的最值问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和的最值问题的求解方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎21.设关于的一元二次方程()有两根和且满足.①试用表示；②求证：数列是等比数列.‎ ‎③当时，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】①②见解析③‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据韦达定理，得，,由 得，故 ‎（2）证明：，‎ 若，则，从而，‎ 这时一元二次方程无实数根，故，‎ 所以，数列是公比为的等比数列.‎ ‎（3）设，则数列是公比的等比数列，又 ‎，所以，所以，.‎ ‎22.等差数列中， ，，‎ ‎（1）求数列的前n项和公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得,即可解得,进而求解；‎ ‎（2）由（1）先求得,由可得,再分别讨论与的情况,进而求解.‎ ‎【详解】解:（1）设首项为,公差为,‎ 由,得,‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知,,‎ 由得即,‎ 当时,；‎ 当时,‎ 综上,.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和,考查等差数列的绝对值求和,考查分类讨论思想.‎ ‎23.设数列的前n项和为，，点在直线 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前n项和为．是否存在正整数m使得恒成立，若存在，求出正整数m的最小值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在，最小的正整数为12．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入直线方程可得,可解得,再由 求解即可；‎ ‎（2）由（1）可得,利用裂项相消法可求得,则,即可求解.‎ ‎【详解】解:（1）由题知,‎ 当时,,‎ 是首项为2,公差为1的等差数列, ‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,,‎ 又适合上式,‎ ‎.‎ ‎（2）存在,‎ 由（1）‎ ‎,‎ 恒成立,‎ 即,‎ 又,,‎ 存在最小的正整数为12.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的定义,考查由与的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和,考查数列的不等式问题.‎