中考数学信息题及其求解
中考数学信息题及其求解
河北 赵宝菊
信息题是近年中考中经常出现的一种题型，主要考查学生获取信息、理解信息及应用信息的能力，这类试题所给文字材料篇幅较长，信息量大由于大都和实际问题有关，所以它应该属于应用题的范畴。也正因为文字叙述冗长，同时命题者又往往把有用信息与无用信息混杂在一起，故考生解题时往往难以驾驭。实际上只要按照阅读理解--------建立数学模型-----求解的基本思路，这类问题并不难求解。本文对中考信息题作一归类，并结合典型试题探讨其求解方法。
一、 推理型信息题
这类问题往往给出足够的信息，经过简单的推理即可解决，但要注意推理的准确性，这是正确解题的关键。
例1 某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的2/3。若提前购票，则给予不同程度的优惠。在5月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的3/5；零售票每张16元，共售出数的1/2。如果在6月份内，团体票按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按 每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
解析 本题貌似难题，但在理解题意的基础上仔细推理并不难求解。
设总票数为a张，6月份售票应按 每张x元定价,则有
5月份：团体票售出票数为，票款收入为
零售票售出票数为，票款收入为
6月份：团体票所剩票数为，可收入为
零售票所剩票数为，可收入为
依题意，得
解这个方程，得 x =19.2
显然，零售票应按零售票应按 每张19.2元定价才能使这两个月的票款收入持平。
二、 补充条件型：
顾名思义，这类问题往往缺少部分条件，考生须根据所给信息予以补充，具有开放性，即答案一般不唯一。
例2 阅读下面的文字后，解答问题。
有这样一道题目：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,a),B(!,-2)____
求证：这个二次函数图像的对称轴是直线x=2.
题目中的横线部分是一段被墨水污染了的无法辨认的文字.
（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式？若能，写出求解过程；若不能，说明理由。
（2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，添加一个适当的条件，把原题补充完整。解析 本题已知函数图像经过点A(0,a),B(!,-2)，则有
a=c, －2=a＋b＋c b
又 二次函数图像的对称轴是直线x=2，则有－— = 2
2a
解以上方程，得 a = 1, b =－4, c =1
故 能求出题目中二次函数的解析式，且所求解析式为 y= x2－4x －1
当解析式求出只后，可供补充的内容便多了。如：与轴的交点坐标为（0，1）；顶点坐标为（2，－3）；a = 1或 b =－4或 c =1；最值为－3；b2－4ac= 12；……不胜枚举。
一、 图象信息题
图象信息题一般由图象提供一组数据，要求考生通过读图，从图中提取有用信息，通过图象信息寻找数据之间的关系，并建立数学模型来求解。
例3 以下是2002年3月12日《南国早报》刊登的南宁市自来水价格调整表：
南宁市自来水价格调整表（部分） 单位：元/立方米
用水类别
现行水价
拟调整水价
一、居民生活用水
0．72
1．一户一表
第一解梯：月用水量在
0~30立方米/户
0．82
第二解梯：月用水量超过
30立方米/户
1．23
2．集体表
略
则调整水价后某户居民月用水量x（立方米）与应交水费y(元)的函数图像是（ ）：
(A ) (B) (C) (D)
解析 由题中所给信息易知,当0
30时y=1.23x,故居民月用水量x与应交水费y的函数图像应是（C）。
例4 小亮家最近购买了一套新房，准备用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅。经过市场调查得知，______铺设木质地板和铺设瓷砖的工钱不同。根据地面工程对所需费用（购买材料费和工钱）分别进行预算，通过列表，并用x(m2)表示面积，用y（元）表示铺设费用，制成下图。根据所给信息回答：
（1）预算中居室费用 元/ m2, 客厅费用 元/ m2。
(2) 表示铺设居室的费用y与面积x的函数关系是______________,表示铺设客厅的费用y与面积x的函数关系是______________;
(3)在小亮的预算中, 铺设1 m2的瓷砖比铺设1 m2的木质地板工钱多5元,而购买1 m2的瓷砖是购买1 m2木质地板费用的,那么,铺设1 m2的木质地板与1 m2的瓷砖的工钱各是多少? 购买1 m2的木质地板与1 m2的瓷砖的费用各是多少元?
解析 由图像提供的信息可明显看出：居室面积为30 m2
，铺设费用4050元；客厅面积为25m2，铺设费用2750元，则有预算中居室费用为=135元/ m2, 客厅费用为 =110元/ m2。相应地，铺设居室的费用y与面积x的函数关系是y=135x,铺设客厅的费用y与面积x的函数关系是y=110x.
设 铺设1 m2的木质地板工钱为a元,则铺设1 m2的瓷砖工钱为a+5b元；
又设购买1 m2的木质地板的费用为b元，则购买1 m2的瓷砖的费用为b元，据已知条件应有
a+b=135 ; ( a+5)+b=110，
解之得 a = 15 b = 120
这说明，铺设1 m2的木质地板工钱是15元，铺设1 m2的瓷砖的工钱是15+5=20元；购买1 m2的木质地板的费用为120元，购买1 m2的瓷砖的费用是×120 = 90元。
四、图表信息题
所谓图表信息题，是指通过图表给出信息，因此正确读表及理解是解题的关键。
例5 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输工具的主要参考数据如下：
运输
工具
途中速度
（千米╱小时）
途中费用
（元╱千米）
装卸时间
（小时）
装卸费用
（元）
汽车
50
8
2
1000
火车
100
4
4
2000
飞机
200
16
2
1000
若这批水果在运输（包括装卸）过程中的损耗为200元/小时，设A、B两地间的距离为x千米。
（1）如果用S1、、S2、、S 3分别表示使用汽车、火车、飞机运输时的总支出费用（包括损耗）， 求出S1、、S2、、S 3与x间的函数关系式。
（2）应采用哪种运输方式，才能使运输时的总支出费用最小？
解析 如上所述，首先要建立数学模型，即建立一个求费用与损耗之和的函数关系式。设AB两地距离为x千米，则采用三种运输工具时运输过程中的费用和时间可列表如下：
运输工具
途中费用（元）
途中时间（小时）
汽车
8x＋1000
x／50＋2
火车
4x＋2000
x／100＋4
飞机
16x＋1000
x／200＋2
分别用 S1、、S2、、S 3 表示汽车、火车、飞机运输时的费用总支出，则有
S1=8x＋1000＋（x／50＋2）×300
即S1=14x＋1600 同理，S2=7x＋3200 ；S3=17.5x＋1600。因为x＞0 故 S1＜S3 恒成立；当S1＜S2时，有x＜1600／7；当S2＜S3 时，有 x＞3200／21 ，因而：
（1）当x＜1600／7千米时，S1＜S2 ，S1＜S3，即用汽车运输较好；
（2）当 x=1600／7 千米时，S1=S2＜S3 ，即用汽车或火车运输都较好；
（3）当 x＞1600／7千米时，S1＞S2 ，S3＞S2 ，即用火车运输较好。
五、 其它类型信息题：
除上述几种信息题外，还有的试题不仅具备信息题的基本特点，同时也给出计算过程
中可能用到的公式，这样求解的繁杂性予以化解，难度也随之下降。所以，我们要注意灵活地使用这些公式。
例6 在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时，我们发现：从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值。具有这种规律一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式
S=na＋来计算他们的和。（公式中的 n表示数的个数，a表示第一个数的值,d表示这个相差的定值）
10×(10－1)
那末3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10×3＋—————×2
2
用上面的知识解决下列问题：
为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林。从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树的面积的统计。假设坡荒地全部种上树后，不再水土流失造成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木？
1995年
1996年
1997年
每年植树的面积（亩）
1 000
1 400
1 800
植树后坡荒地的实际面积（亩）
25 200
24 000
22 400
解析 从表中可知 ，1995年植树1 000亩，以后每年均比上一年多植400亩树，而1995年实有坡荒地25 200亩，植树1 400亩后，实有坡荒地减少25 200－24 000=1 200亩，即树木实际成活1 200亩，因此每年新产生的坡荒地为本1 400－1 200= 200亩。
设从1996年起（1996年算第1年），到第n年全县的所有坡荒地全部种上树木，则有
n（n－1）
1 400n＋－－－－×400－200n≥25 200 即n2＋5n≥126
2
解这个不等式，得 n≥9
故 到1996＋9－1= 2004年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木。
由上述求解不难看出，本题综合运用了图表信息理解、信息推理、公式信息及不等式等多种知识，尽管如此，但我们只要掌握了信息题的一般求解方法，充分利用相关知识，仍然能够得心应手地使此类问题迎刃而解。
