河北省唐山一中2021届高三数学上学期期中试题（Word版附答案）

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高三年级数学试卷 第 页 共 6 页1 唐山一中 2020—2021 学年度第一学期期中考试 高三年级 数学试卷 说明： 1.考试时间 120 分钟，满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑 色字迹的签字笔书写在答题卡上。 卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 1 个 选项符合题意） 1．复数 1 1 i 的共轭复数为 （ ） A. 1 1 2 2 i B. 1 1 2 2 i C. 1 1 2 2 i  D. 1 1 2 2 i  2．已知集合  2 2 3 0A x x x    ，集合  2Z 4B x x x   ，则 R A B ð （ ） A. 0 3x x  B. 1,0,1,2,3 C. 0,1,2,3 D. 1,2 3．已知数列{ }na 满足 1 sinn na a  , *n N ,则“ 1 0a  ”是“任意 *n N ,都有 1n na a  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．高一（1）班某组有 5 人，组长安排值日生，其中 1 人负责擦黑板，2 人负责教室内地 面卫生，2 人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有 （ ） A．20 种 B．30 种 C．90 种 D．120 种 5．如图，在 ABC 中， 1 3AN NC  ， P 是 BN 上的一点，若 2 11AP mAB AC    ，则 实数 m 的值为（ ） A． 9 11 B． 5 11 C． 3 11 D． 2 11 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页2 6．函数 sin( ) x x x xf x e e   在 ,  上的图象大致为 （ ） A. B. C. D. 7．已知  f x 是可导的函数，且    f x f x  ，对于 xR 恒成立，则下列不等关系正 确的是 （ ） A.    1 0f ef ，    20202020 0f e f B.    1 0f ef ， 2(1) ( 1)f e f  C.    1 0f ef ， 2(1) ( 1)f e f  D.    1 0f ef ，    20202020 0f e f 8．如图 1，圆形纸片的圆心为 O，半径为 6cm，该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O．点 E，F，G，H 为圆 O 上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以 AB，BC，CD， DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起△ABE， △BCF，△CDG，△ADH，使得 E，F，G，H 重合得到一个四棱锥 P﹣ABCD（如图 2）．当 四棱锥 P﹣ABCD 的侧面积是底面积的 2 倍时，异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分） 9.设 na 是等差数列, nS 为其前 n 项和,且 7 8S S , 8 9 10S S S  ,则下列结论正确的是（ ） A. 0d  B. 9 0a  C. 11 7S S D. 8S 、 9S 均为 nS 的最大值 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页3 10．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2, ,F F P 为双曲线上一点且 1 22PF PF ，若 1 2 15sin 4F PF  ，则对双曲线中 , , ,a b c e 的有关结论正确的是（ ） A． 6e  B． 2e  C． 5b a D． 3b a 11．在△ ABC 中，已知 cos cos 2b C c B b  ，且 1 1 1 tan tan sinA B C   ，则 （ ） A. , ,a b c 成等比数列 B.sin :sin :sin 2 :1: 2A B C  C.若 4a  ，则 7ABCS △ D. , ,A B C 成等差数列 12．已知 2( ) 1 2cos ( )( 0)3f x x     ＞ ，下面结论正确的是 （ ） A．若 f(x1)=1，f(x2)=－1，且 1 2x x 的最小值为π，则ω=2 B．存在ω∈(1，3)，使得 f(x)的图象向右平移 6  个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称 C．若 f(x)在[0，2π]上恰有 7 个零点，则ω的取值范围是 41 47[ , )24 24 D．若 f(x)在[ , ]6 4   上单调递增，则ω的取值范围是(0， 2 3 ] 卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 三．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝2，AC＝ 3 ，∠BAC＝30°，AA1＝ 5 ，则其 外接球体积是 ． 14．在 5 2 2( )x x  的展开式中， 2x 的系数是 （用数字作答）． 15．已知水平地面上有一半径为 4 的球，球心为 O＇，在平行 光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆 C．如图椭圆中心 为 O，球与地面的接触点为 E，OE=3．若光线与地面所成角 为 θ ， 则 sinθ=__________________ ， 椭 圆 的 离 心 率 e=_____________________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页4 16. 已知函数 ( ) 1 e x xf x   ， 2 ( ), 0( ) 2 , 0 f x xg x x x a x      ，且 (1) 0g  ，则关于 x 的方程 ( ( ) ) 1 0g g x t   实根个数的判断正确的是_________. ①当 t＜﹣2 时，方程 ( ( ) ) 1 0g g x t   没有相异实根 ②当 11 e   ＜t＜0 或 t＝﹣2 时，方程 ( ( ) ) 1 0g g x t   有 1 个相异实根 ③当 1＜t＜ 11 e  时，方程 ( ( ) ) 1 0g g x t   有 2 个相异实根 ④当﹣1＜t＜ 11 e   或 0＜t≤1 或 t＝ 11 e  时,方程 ( ( ) ) 1 0g g x t   有 4 个相异实根 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分） 17.（本小题满分 10 分） 在① cos 1 3sin b B a A  ，② 2 sin tanb A a B ，③   sin sin sina c A c A B b B    这三 个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答. 已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，若______. （1）求角 B ； （2）若 4a c  ，求 ABC 周长的最小值，并求出此时 ABC 的面积. 18.（本小题满分 12 分） 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知 1a ， na ， nS 成等差数列，且 4 3 2a S  . （1）求{ }na 的通项公式； （2）若 nb ＝ 2 2 1 2 2 3 1 log logn na a  ， nb 的前 n 项和为 nT ，求使 7 1nT  成立的最大正整 数 n 的值. 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页5 19.（本小题满分 12 分） 2020 年 1 月 10 日，引发新冠肺炎疫情的 COVID－19 病毒基因序列公布后，科学家们便 开始了病毒疫苗的研究过程但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕 能完成的，其中有一步就是做动物试验. 已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接 种疫苗后是否出现抗体. 试验设计是：每天接种一次，3 天为一个接种周期. 已知小白鼠接 种后当天出现抗体的概率为 1 2 ，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数 k 的分布列. （2）已知每天接种一次花费 100 元，现有以下两种试验方案： ①若在一个接种周期内连续 2 次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持 续三个接种周期，设此种试验方式的花费为 X 元； ②若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续 三个接种周期，设此种试验方式的花费为 Y 元. 比较随机变量 X 和 Y 的数学期望的大小. 20.（本小题满分 12 分） 如图所示，圆锥的底面半径为 2，其侧面积是底面积的 2 倍，线 段 AB 为圆锥底面 O 的直径，在底面内以线段 AO 为直径作 M ，点 P 为 M 上异于点 A，O 的动点. （1）证明：平面 SAP  平面 SOP ； （2）当三棱锥 S APO 的体积最大时，求二面角 A SP B  的 余弦值. 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页6 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝mx－xlnx(x>1). （1）讨论 f(x)的极值； （2）若 m 为正整数，且 f(x)<2x＋m 恒成立，求 m 的最大值.(参考数据：ln4≈1.39，ln5≈ 1.61) 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 2 2 14 3 x y  的左、右顶点分别为 A，B，直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点。 （1）点 P 的坐标为(1， 1 3 )，若 MP PN  ，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，且点 M 在第一象限，求 23 MA NBk k (kMA，kNB 分别为 直线 MA，NB 的斜率)的取值范围. 唐山一中 2020—2021 学年度第一学期期中考试 高三年级 数学试卷答案 一、选择题：1-4：BCBB； 5-8：CACA 二、选择题：9、ABD；10、ABCD；11、BC；12、BCD 三、填空题：13、 9 2  ；14、10；15、 4 3 5 5 ， ；16、①②. 四、解答题 17.【解析】 （1）选①，由正弦定理得 sin cos 1 sin 3sin B B A A  ， 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页7 ∵ sin 0A  ，∴ 3sin cos 1B B  ，即 π 1sin 6 2B     ， ∵ 0 πB  ，∴ π π 5π 6 6 6B    ， ∴ π π 6 6B   ，∴ π 3B  . ··········································5 分 选②，∵ 2 sin tanb A a B ， sin2 sin cos a Bb A B  ， 由正弦定理可得 sin2sin sin sin cos BB A A B   ， ∵ sin 0A  ，∴ 1cos 2B  ， ∵  0,πB ，∴ π 3B  . ·················································5 分 选③，∵    sin sin π sinA B C C    ， 由已知结合正弦定理可得   2 2a c a c b   ， ∴ 2 2 2a c b ac   ，∴ 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac     ， ∵  0,πB ，∴ π 3B  . ·················································5 分 （2）∵  22 2 2 2 cos 3 16 3b a c ac B a c ac ac        ，即 23 16ac b  ， ∴ 2 216 3 2 a cb       ，解得 2b  ，当且仅当 2a c  时取等号， ∴ min 2b  ， ABC 周长的最小值为 6，此时 ABC 的面积 1 sin 32S ac B  . ··········10 分 18. 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页8 19. 20.【解析】（1）证明：∵ SO 垂直于圆锥的底面， AP  圆锥的底面，∴ SO AP ， ∵ AO 为 M 的直径，∴ PO AP ， ,SO PO  面 SOP ， SO PO O  ，∴ AP  平面 SOP ， ∵ AP  平面 SAP ，∴平面 SAP  平面 SOP . ············································5 分 （2）解：设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r， ∴圆锥的侧面积 1 22S rl rl   侧 ，底面积 2S r底 ， 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页9 ∴依题意 22 r rl  ，∴ 2l r ，∵ 2r = ，∴ 4l = ，············6 分 则在 ABS 中， 4AB AS BS   ，∴ 2 2 2 3SO AS AO   ，如图， 在底面作 O 的半径OC ，使得 OA OC ，∵ SO OA ， SO OC ，以 O 为原点，OA为 x 轴，OC 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，  2,0,0A ，  2,0,0B  ，  0,0,2 3S ， ···········7 分 在 S APO 中，∵ 2 3SO  ，∴ AOP 面积最大时，三棱锥 S APO 的体积最大，此时 MP OA ，·······8 分 ∵ M 的半径为 1，∴  1,1,0P ，  1,1,0AP   ，  3,1,0BP  ，  1,1, 2 3SP   ， 设平面 SAP 的法向量  , ,n a b c ， 则 0 2 3 0 n AP a b n SP a b c              ，取 1a  ，得 31,1, 3n        ， 设平面 SBP 的法向量  , ,m x y z ， 则 3 0 2 3 0 m BP x y m SP x y z             ，取 1x   ，得 31,3, 3m        ，·····················10 分 设二面角 A SP B  的平面角为 ，由图得 为钝角， ∴ 11 3 2173cos 317 31 3 3 n m n m                 ，∴二面角 A SP B  的余弦值 217 31  .··········· ·12 分 21. 高三年级数学试卷 第 页 共 6 页10 22.