广东省执信中学2014届高三数学上学期期中试题 文 新人教A版

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‎2013-2014学年度第一学期高三级数学科(文科)期中考试试卷 ‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.‎ ‎ 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.‎ ‎ 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎ 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.‎ 第一部分选择题(共 50 分)‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，，则 等于 A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，则= ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，若，则等于 A． B． C． D．‎ ‎4.已知等比数列的前三项依次为,,.则 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列命题：①；②；③，‎ ‎ ④中，其中正确命题的个数是 ‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）‎ A． 或 B． ‎ C． 或 D． 或 ‎7. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数。 ‎ ‎ 给出下列函数：‎ ‎ ‎ ‎ ①； ②；‎ ‎ ③； ④。 ‎ ‎ 其中“互为生成”函数的是 ‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎8. 如图,正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹是 ‎ A．线段 B．线段 C．中点与中点连成的线段 D．中点与中点连成的线段 ‎9. 在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数 有零点的概率为 A．1- B．1- C．1- D．1- ‎ ‎10. 若存在正数使成立,则的取值范围是 ‎ A． B． C． D． ‎ 否 输入 开始 结束 是 输出 第12题图 第二部分非选择题 (共 100 分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ 本大题分为必做题和选做题.‎ ‎（一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．‎ ‎11．已知点满足，则的取值范围是 _____* ．‎ ‎12. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输入的值为2, 则输出的结果____* ______. ‎ ‎13．已知圆:,直线:().‎ ‎ 设圆上到直线的距离等于1的点的个数为,则___* _____.‎ ‎（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做1题，2题全答的，只计算前1题的得分．‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则该圆的半径是 * ．‎ ‎．‎ ‎15.（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则 * ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知函数的图象的一部分如下图所示.‎ ‎ (1)求函数的解析式;‎ ‎(2)当时,求函数 的最大值与最小值及相应的的值.‎ ‎17.(本小题满分12分) 某校高三文科分为五个班.高三数学测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了18人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. ‎ ‎ (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?‎ ‎ (2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. ‎ ‎18．（本小题满分12分） ‎ 某个实心零部件的形状是如图1－7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B‎1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B‎2C2D2. ‎ ‎(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC‎2A2；‎ ‎(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知 AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足． ‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）若点是动点的轨迹上的一点，是轴上的一动点，试讨论直线与圆的位置关系．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知数列满足：，，（其中为非零常数，）．‎ ‎（1）判断数列是不是等比数列？‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）当时，令，为数列的前项和，求．‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 ‎ 2013-2014学年度第一学期 高三级数学科（文科）期中考试答卷 成绩： ‎ 注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区.考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效.‎ ‎ 2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.‎ 题号 一 二 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 总分 得分 二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置)‎ ‎11． ； 12． 13． ‎ ‎（选做）14． （选做）15 ‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 解：‎ ‎17．（本题满分12分）‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎18．（本题满分12分）‎ ‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分14分）‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ O•••••••••••••••••••••• 密•••••••••••••••••••••• O•••••••••••••••••••••• 封 •••••••••••••••••••••• O•••••••••••••••••••••• 线••••••••••••••••••••••O ‎20．（本题满分14分） ‎ 解：‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 解：‎ ‎2013-2014学年度第一学期 高三级数学科(文科)期中试题答案 一、选择题：1-10：BABCD CDABD；‎ 二、填空题： 11、；12、4；13、4；14、1；15、；‎ 三、解答题：‎ ‎16、解:(1)由图像知,,∴,得.……………4分，将最高点(1，2)代入，得.……………5分∴;…………6分 ‎(2)‎ ‎ =,……………9分 ‎∵,∴,………………10分 ‎∴当,即时,的最大值为;当,即时,的最小值.………………14分 ‎17.(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人. ………………2分 ‎∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,‎ 由=100, ………………5分 解得.………………6分 ‎∴各班被抽取的学生人数分别是18人，19人，20人，21人,22人. ………………8分 ‎(2)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为 ‎0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………12分 ‎18．解：(1)因为四棱柱ABCD－A2B‎2C2D2的侧面是全等的矩形，‎ 所以AA2⊥AB，AA2⊥AD，又因为AB∩AD＝A，所以AA2⊥平面ABCD. ‎ 连接BD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA2⊥BD.‎ 因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.‎ 根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面．‎ 又已知平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，‎ 平面BB1D1D∩平面A1B‎1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.于是 由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，‎ 又因为AA2∩AC＝A，所以B1D1⊥平面ACC‎2A2.‎ ‎(2)因为四棱柱ABCD－A2B‎2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，‎ 所以S1＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．‎ 又因为四棱台A1B‎1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形．‎ 所以S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面 ‎＝(A1B1) 2＋4×(AB＋A1B1)h等腰梯形的高 ‎＝202＋4×(10＋20) ‎＝1 120(cm2)．‎ 于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)，‎ 故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎（1）解：设，则，，．………2分 由，‎ 得，…………………………………………………………4分 化简得．‎ 所以动点的轨迹方程为．……………………………………………………5分 ‎（2）解：由在轨迹上，则，解得，即．…………………6分 当时，直线的方程为，此时直线与圆相离．……………7分 当时，直线的方程为，即．………………8分 圆的圆心到直线的距离，‎ 令，解得；‎ 令，解得；‎ 令，解得．‎ 综上所述，当时，直线与圆相交；‎ 当时，直线与圆相切；‎ 当时，直线与圆相离．……………………………………14分 ‎20（1）由，得． ……………1分 令，则，．‎ ‎，，（非零常数），‎ 数列是等比数列． ……………………………………………………3分 ‎（2）数列是首项为，公比为的等比数列， ‎ ‎，即． ……………………………4分 当时，‎ ‎ ， ………………………………………………6分 满足上式， ． …………………………7分 ‎（3），‎ 当时，． …………………………………………8分 ‎， ①‎ ‎ ②‎ 当，即时，①②得：‎ ‎， ‎ 即．　 …………………………11分 而当时，， …………………………12分 当时，．………………………13分 综上所述， ………………14分 ‎【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想．‎ ‎20. 解：（1）依题可设 ()，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ ， ， ‎ 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 当时， 解得 ‎ 当时， 解得 ‎ （2）由()，得 ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ 当时，方程有二解，‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 当时，方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎ 综上，当时, 函数有一零点；‎ 当()，或（）时，‎ 函数有两个零点；‎ 当时，函数有一零点.‎ ‎ ‎