2011接高考数学专题复习之数列例题解析
3．1 数列的概念
【知识网络】
数列
数列的概念
定义
求通项
数列的表示
分类
等差数列
等比数列
特殊数列求和
特殊数列
定义
通项公式
前n项和公式
性质
应用
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.
二、命题落点
1．能合理地由数列前几项写出通项公式；如例1，例3；
2．掌握项和与通项的重要关系：如例2，练习5.
【典例精析】
例1．（2005•湖南）已知数列满足，则=（ ）
A．0 B． C． D．
解析：由a1=0,得a2=－
由此可知: 数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=－
答案：B．
例2:（2005•上海）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，．例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=________.
解析：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，
答案：.
例3.(2005•湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C．
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（3）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论.
解析：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>B． 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（3）若b的值使得xn>0，n∈N*．由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0
0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2). 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
【常见误区】
1．第项与项数之间的对应关系搞错；
2．不能正确地应用前和公式来求通项公式.
【基础演练】
1．已知数列满足，则当时，（ ）
A． B． C． D．
2．8
1
6
3
5
7
4
9
2
将n2个正数1，2，3，……，n2填入n×n方格中，
使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
这个正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻
方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可
知f(3)=15，则f(4)=（ ）
A．32 B．33 C．34 D．35
3．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第1行
1
第2行
2 3
第3行
4 5 6 7
…
…
则第9行中的第4个数是 （ ）
A．132 B．255 C．259 D．260
4．如果且,则
（ ）
A．2006 B．2005 C．2004 D．1003
5．(2004•江苏) 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且，则
的数值是____________.
6．已知数列，且数列的前n项和，那么n的
值为 ．
7．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数（整
点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Sn，且.若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围．
8．（2002•上海）已知函数f（x）＝abx的图象过点A（4，）和B（5，1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记an＝log2f（n），n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式anSn
≤0；
（3）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列｛anSn｝中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.
9．（2002•上海春）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分
配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第
1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给
每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.
（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明）
（2）证明ak＞ak＋1（k＝1，2，…，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求Pn（b）．
3．2 等差数列的通项与前n项的和
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解等差数列的概念;
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.
二、命题落点
1．考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例1，例2；
2．考查等差数列的前项和公式及其性质.如例3.
【典例精析】
例1：（2005•湖南）已知数列为等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）证明
解析：（1）设等差数列的公差为D．由即d=1.
所以即
（2）因为，所以
例2： (2005•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
其中A,B为常数.
（1）求A与B的值；
（2）证明数列{an}为等差数列；
（3）证明不等式对任何正整数m、n都成立.
解析：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18. 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知
解得 A=-20， B=-8。
（2） 由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ①
所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ②
②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③
所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④
④-③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.
因为 an+1=Sn+1-Sn
所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.
又因为 (5n+2),
所以 an+3-2an+2+an+1=0,
即 an+3-an+2=an+2-an+1, .
又 a3-a2=a2-a1=5,
所以数列为等差数列．
（3）由（２）可知，an=1+5(n-1)=5n-4. 要证了
只要证5amn>1+aman+2，因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证
5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2
因为=20m+20n-37,所以命题得证.
例3：（2005•上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
解析：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，
其中a1=250，d=50，则
令 即
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知，
有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
【常见误区】
1．容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误；
2．不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.
【基础演练】
1．（2006•陕西）"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的 （ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2005•山东）是首项，公差的等差数列，如果，则序号等
于 （ ）
A．667 B．668 C．669 D．670
3． (2004•福建)设Sn是等差数列的前n项和，若 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．
4．( 2004•重庆) 若是等差数列，首项，则使前n
项和 成立的最大自然数n是 （ ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
5．（2003•上海）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可
求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____.
6．（2001•上海）设数列｛an｝的通项为an＝2n－7（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ ．
7． (2004•全国1) 等差数列{}的前n项和记为Sn. 已知
（1）求通项；
（2）若Sn=242，求n.
8．( 2004•全国3 )设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且
，求数列的通项公式.
9．（2001•全国）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550.
（1）求a及k的值；
（2）求.
3．3 等比数列的通项与前n项的和
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解等比数列的概念;
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.
二、命题落点
1．考查等比数列的概念、通项公式，即等比数列性质的灵活运用；如例1，例3；
2．考查等比数列的前项和公式及其性质.例2.
【典例精析】
例1：（2005•山东）21 已知数列的首项，前项和为，且（）
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数．
解析：（1）由已知，可得两式相减得
，即 从而
当时,，所以又所以，从而 故总有，．又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（１）知．因为
所以，
从而=
=-= ．
例2:(2005•天津)若公比为的等比数列的首项且满足．
（1）求的值；
（2）求数列的前项和．
解析:(1)由题设，当时，，，
由题设条件可得，因此，即 解得c＝1或
(2)由(１)，需要分两种情况讨论，当c＝1时，数列是一个常数列，即 (nÎN*)
这时，数列的前n项和 当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (nÎN*) 这时，数列的前n项和
①
①式两边同乘，得
②
①式减去②式，得
，
所以(nÎN*)
例3：(２００５•北京)设数列
记
（1）求a2，a3；
（2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）求
解析：（1）显然
（2）因为,所以
所以
猜想：是公比为的等比数列. 证明如下：
因为所以是首项为,公比为的等比数列.
（3）
【常见误区】
1．不能完整理解等比数列的前n项和公式：，忽视的情形.
2．要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用②利用（）③要掌握分类讨论的背景转化方法.如时转化为.
【基础演练】
1．（2005•江苏）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4
＋a5＝ （ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
2．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C．１ D．不确定
3．（2004•全国卷3）等比数列中， ，则的前4项和为（ ）
A． 81 B． 120 C．168 D． 192
4．（2004•浙江）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= （ ）
A． –4 B． –6 C． –8 D． –10
5．（2004•全国1）已知等比数列{则该数列的通项= .
6． (2004•北京)在函数中，若a，b，c成等比数列且则 有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________.
7．（2005•浙江）已知实数成等差数列，成等比数列，且，求．
8．(2004•全国2)已知等差数列{}，
（1）求{}的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和Sn.
9．（2005•全国3）在等差数列中，公差的等差中项.
已知数列成等比数列，求数列的通项
3．4 数列的的前n项的和
【考点透视】
一、 考纲指要
1．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.
二、 命题落点
1．掌握一般数列求和的方法：化归为等差数列或等比数列、裂项相消法、错位相消法和倒项相加法.如例2，例3；
2．利用通项公式与前项和公式解答数列的综合题、及极限的值.如例1.
【典例精析】
例1：已知：.
（1）当a = b时，求数列{}的前n项和；
（2）求.
解析：（1）当时，，它的前项和
①
①两边同时乘以，得
②
① ②，得：
若，则：
得：
若，则
（2）当时，
当时，设（），则：
此时 ．
当时，即时，；
当时，即时，．
例2:（2005•福建）已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
解析：(1)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,
∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,
∴q=1或q=
(2)若q=1,则.
当n≥2时,,故；
若q=,则,
当n≥2时,
故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn；当n=10时, Sn=bn；当n≥11时, Sn0，都有
本章单元测试
一、选择题: （本题每小题5分，共60 分．）
1．等差数列{an}中，.记，则S13等于
（ ）
A．168 B．156 C．152 D．78
2．是等比数列,其中是方程的两根,且,
则k的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．数列满足<,,则实数的取值范围是 （ ）
A．>0 B．<0 C．=0 D．>-3
4．设，则的值为 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为 （ ）
A．12 B． C． D．
6．在数列中,已知,,,则等于 （ ）
A．5 B．4 C．1 D．4
7．给出一系列碳氢化合物的分子式:,,…,则该系列化合物的分子中含碳
元素的质量分数最大可无限接近于 （ ）
A．95% B．96% C．97% D．98%
8．已知1是与的等比中项,又是与的等差中项,则的值为 （ ）
A．1或 B．1或- C．1或 D．1或
9．若方程与的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1
的等比数列,则m：n的值为 （ ）
A．4 B．2 C． D．
10．等比数列的首项为,其前11项的几何平均数为,若在这前11项中抽取一项后的集合平均数为,则抽出的是 （ ）
A．第6项 B． 第7项 C． 第9项 D． 第11项
11．已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截
得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若，则Sn等于 （ ）
C．2 D．－2
二、填空题: （本题每小题4分，共16分．）
13．设等比数列的公比为q，前n项和为S n，若Sn+1,S n，Sn+2成等差数列，则q的值为_________________.
14．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________
15．已知等差数列有一性质:若是等差数列.则通项为的数列也是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若是等比数列,则通项为=____________的数列也是等比数列
16．已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且01时,得所以是首项,公比为的等比数列.
9. （1）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4.
a1q=6,
依题意，得方程组
a1q4=162.
解此方程组，得a1=2, q=3. 故数列{an}的通项公式为an=2·3n－1.
（2）
3．5 递推数列
1. D 2. D 3. C 4. B 5. 2600 6.
7. (1)由已知得，
(2)
8. （1）将条件变形，得 . 于是，得n-1个不等式，叠加得 故
（2）注意到，于是由（1）得 ，
从而，有
9. （1）∵当即
于是有 所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
（2）有极限，且
（3）∵
则有故取可使当时，
都有
本章测试题
一、选择题:
1.B 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A． 7.(A) 8.B 9.D 10.A 11.A 12.B
二、填空题:
13. –2 14. 4010 15. 1 16. (－∞,8)
三、解答题:
17. (1)∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1
(2)原方程不同的根为xk=，
，
18.(1)设等差数列的公差为d, 依题意得 解得．
∴的通项公式为=．
(2)∵∴．
∵
=，
∵ ∴，∴．
19. (1)当n≥3时，xn=;
由此推测an=(－)n-1a(n∈N)．
因为a1=a＞0,且 (n≥2)，
所以an=(－)n-1a
(3)当n≥3时，有xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1=an－1+an－2+…+a1,
由(2)知{an}是公比为－的等比数列，所以a
20．设每年新增汽车数量不能超过万辆,设为2000年起的第n年该城市拥有的汽车数，则 ∴．
∴．
(1) 当30-≥0即时， ，∴是递增数列，符合题意．
（2）当30-＜0即时， ，∴是递增数列，又∵，∴是递增且无限靠近，∴60 解得．
答：每年新增汽车数量不超过3.6万辆．
21. ∵，∴．当q=1时；
当时, ∵且，∴．∴， 即 对于恒成立，∴， 即；
当时,;当时，∴时，∴．
22.(1)∵有，当时,可得．
当时，∴∴
在上为奇函数．
(2)∵=，
∴，又，∴为等比数列,其通项公式为
．
(3)假设存在自然数m,则=对于恒成立．∴ 对于恒成立，∴且即可．
