2019届二轮复习第1讲 基本初等函数、函数的图象与性质学案（全国通用）
第 1 讲 基本初等函数、函数的图象与性质
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是 B
级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性
质都是考查热点，要求都是 B 级；(3)函数与方程是 B 级要求，但经常与二次函
数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)函数 f(x)＝ log2x－1的定义域为________.
解析 要使函数 f(x)有意义，则 log2x－1≥0，即 x≥2，则函数 f(x)的定义域是[2，＋
∞).
答案 [2，＋∞)
2.(2018·江苏卷)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝
{cos
πx
2
，0 < x ≤ 2，
|x＋1
2|，－2 < x ≤ 0，
则 f(f(15))的值为________.
解析 因为函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因
为在区间(－2，2]上，f(x)＝ {cos
πx
2
，0 < x ≤ 2，
|x＋1
2|，－2 < x ≤ 0，
所以 f(f(15))＝f(f(－1))＝f
(1
2 )＝cos π
4
＝ 2
2 .
答案 2
2
3.(2017·江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝
{x2，x ∈ D，
x，xD， 其中集合 D＝{x|x＝n－1
n
，n ∈ N * }，则方程 f(x)－lg x＝0 的解的
个数是________.
解析 由于 f(x)∈[0，1)，则只需考虑 1≤x<10 的情况，在此范围内，x∈Q，且
x Z 时，设 x＝q
p
，p，q∈N*，p≥2 且 p，q 互质.若 lg x∈Q，则由 lg x∈(0，
1)，可设 lg x＝n
m
，m，n∈N*，m≥2 且 m，n 互质.因此 10
n
m
＝q
p
，10n＝(q
p )m
，
此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此 lg xQ，因此 lg x 不可能与每个周
期内 x∈D 对应的部分相等，只考虑 lg x 与每个周期 xD 部分交点，画出函数草
图如图.
图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 xD 部分，
且 x＝1 处(lg x)′＝ 1
xln 10
，因 1
ln 10<1，则在 x＝1 附近仅有一个交点(1，0)，因此
方程解的个数为 8 个.
答案 8
4.(2015·江苏卷)已知函数 f(x)＝|ln x|，g(x)＝{0，0＜x ≤ 1，
|x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|
＝1 实根的个数为________.
解析 令 h(x)＝f(x)＋g(x)，则 h(x)＝{－ln x，0＜x ≤ 1，
－x2＋ln x＋2，1＜x＜2，
x2＋ln x－6，x ≥ 2，
当 1＜x＜2 时，
h′(x)＝－2x＋1
x
＝1－2x2
x
＜0，故当 1＜x＜2 时 h(x)单调递减，在同一坐标系中画
出 y＝|h(x)|和 y＝1 的图象如图所示.
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1 的实根个数为 4.
答案 4
考 点 整 合
1.基本初等函数
(1)幂函数的概念及 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1
x
及 y＝x 1
2
的图象及性质；
(2)有理数指数幂、对数的含义及运算；指数函数、对数函数的概念、图象与性
质.
2.函数的性质
(1)单调性
(ⅰ)用来比较大小、求函数最值、解不等式和证明方程根的唯一性.
(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常
用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同
增异减”的原则；④导数法.
(2)奇偶性
①若 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(－x)；②若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则 f(0)
＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对
称的区间内有相反的单调性.
(3)周期性
常见结论有①若 y＝f(x)对 x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或 f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，
则 y＝f(x)是周期为 2a 的周期函数；②若 y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线 x＝
a 对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数；③若 y＝f(x)是奇函数，其图象又关于
直 线 x ＝ a 对 称 ， 则 f(x) 是 周 期 为 4|a| 的 周 期 函 数 ； ④ 若 f(x ＋ a) ＝ － f(x)
(或f（x＋a）＝ 1
f（x）)，则 y＝f(x)是周期为 2|a|的周期函数.
3.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是
描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
4.函数的零点问题
(1)函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的根，即函数 y＝f(x)的图象与
函数 y＝g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数
形结合，利用两个函数图象的交点求解.
热点一 基本初等函数的概念及运算
【例 1】 (1)(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)函数 f(x)＝ 1
lg x
－2的定义域为
________.
(2)(2015·江苏卷)不等式 2x2－x＜4 的解集为________.
解析 (1)由题意得 1
lg x
－2≥0，即1－2lg x
lg x
≥0，从而 0＜lg x≤1
2
，故 1＜x≤ 10，
从而函数 f(x)的定义域为(1， 10].
(2)∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即 x2－x－2＜0，解得－1
0 且 a≠1，b∈R)
的图象如图所示，则 a＋b 的值是________.
解析 由图象可得{f（－3）＝loga（－3＋b）＝0，
f（0）＝logab＝－2， 解得{a＝1
2
，
b＝4，
则 a＋b＝9
2.
答案 9
2
(2)已知函数 f(x)＝(1
3 )ax2－4x＋3
.
①若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
②若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；
③若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值.
解 ①当 a＝－1 时，f(x)＝(1
3 )－x2－4x＋3
，令 μ＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋
7，
μ 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而 y＝(1
3 )μ
在 R 上
单调递减，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函
数 f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).
②令 h(x)＝ax2－4x＋3，y＝(1
3 )h（x）
，由于 f(x)有最大值 3，
所以 h(x)应有最小值－1，因此必有{a＞0，
12a－16
4a
＝－1，解得 a＝1，
即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.
③由 f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3 的值域为 R，则必有 a＝0.
热点二 函数图象与性质的应用
【例 2】 (1)(2018·全国Ⅱ卷改编)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满
足 f(1－x)＝f(1＋x).若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.
(2)(2017·南京、盐城调研)已知函数 f(x)＝ {－x2＋2x，x ≤ 0，
ln（x＋1），x > 0. 若|f(x)|≥ax，则实
数 a 的取值范围是________.
解析 (1)法一 ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且 f(0)
＝0，∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4
＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为 4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)
＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋
f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.
法二 取一个符合题意的函数 f(x)＝2sin πx
2
，则结合该函数的图象易知数列
{f(n)}(n∈N*)是以 4 为周期的周期数列.
故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2
＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
(2)函数 y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax 为过原点的一条直线，
当 a＞0 时，与 y＝|f(x)|在 y 轴右侧总有交点，不合题意；当 a＝0 时成立；当 a＜
0 时，找与 y＝|－x2＋2x|(x≤0)即 y＝x2－2x 相切的情况，即 y′＝2x－2，切线方
程为 y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知 x0＝0，所以 a＝－2，综上，a∈[－2，0].
答案 (1)2 (2)[－2，0]
探究提高 1.(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析
式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心
(对称轴).
2.(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范
围.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、
不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练 2】 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2).若当 x∈[－3，
0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________.
(2)设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a<1，若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0，
则实数 a 的取值范围是________.
解析 (1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即 f(x＋6)＝f(x)，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又 f(x)在 R 上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝
6，即 f(919)＝6.
(2)设 g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数 x0，
使得 g(x0)＜h(x0)，因为 g′(x)＝ex(2x＋1)，可知 g(x)在(－∞，－1
2)上单调递减，在
(－1
2
，＋∞)上 单 调 递 增 ， 作 出 g(x) 与 h(x) 的 大 致 图 象 如 图 所 示 ， 故
{h（0）＞g（0），
h（－1） ≤ g（－1），即{a＜1，
－2a ≤ －3
e
，所以 3
2e
≤a<1.
答案 (1)6 (2)[ 3
2e
，1)
热点三 函数与方程问题
[考法 1] 函数零点个数的求解
【例 3－1】 (2017·常州模拟)函数 f(x)＝4cos2x
2·cos(π
2
－x)－2sin x－|ln(x＋1)|的零
点个数为________.
解析 f(x)＝4cos2x
2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·(2cos2x
2
－1)－|ln(x＋1)|＝
sin 2x－|ln(x＋1)|，令 f(x)＝0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数
y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知，两函数图象有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点.
答案 2
探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定定理或数
形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的
函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[考法 2] 由函数的零点(或方程的根)求参数
【例 3－2】 (1)(2018·南京、盐城一模)设函数 f(x)是偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝
{x（3－x），0 ≤ x ≤ 3，
－3
x
＋1，x＞3， 若函数 y＝f(x)－m 有四个不同的零点，则实数 m 的取
值范围是________.
(2)已知函数 f(x)＝{2－|x|，x ≤ 2，
（x－2）2，x＞2，函数 g(x)＝b－f(2－x)，其中 b∈R，若函
数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是________.
解析 (1)先画出 x≥0 时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到 x＜0 时的图象.
令 y＝f(x)，y＝m，由图象可得要有四个不同的零点，则 m∈[1，9
4).
(2)函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，即方程 f(x)－g(x)＝0，即 b＝f(x)＋f(2－x)有
4 个不同实数根，即直线 y＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)的图象有 4 个不同的交点，
又 y＝f(x)＋f(2－x)＝{x2＋x＋2，x＜0，
2，0 ≤ x ≤ 2，
x2－5x＋8，x＞2，
作出该函数的图象如图所示，
由图可知，当7
4
＜b＜2 时，直线 y＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)的图象有 4 个不同
的交点，故函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点时，b 的取值范围是(7
4
，2).
答案 (1)[1，9
4) (2)(7
4
，2)
探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【训练 3】 (2018·苏州期末)设函数 f(x)＝x 2＋3x＋3－a·e x(a 为非零实数)，若 f(x)
有且仅有一个零点，则 a 的取值范围为________.
解析 令 f(x)＝0，可得x2＋3x＋3
ex
＝a，
令 g(x)＝x2＋3x＋3
ex
，则 g′(x)＝（2x＋3）·ex－ex·（x2＋3x＋3）
（ex）2
＝－x（x＋1）
ex
，
令 g′(x)＞0，可得 x∈(－1，0)，令 g′(x)＜0，可得 x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
所以 g(x)在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知
函数 y＝g(x)的图象与直线 y＝a 有且仅有一个交点，结合 y＝g(x)及 y＝a 的图象
可得 a∈(0，e)∪(3，＋∞).
答案 (0，e)∪(3，＋∞)
1.解决函数问题切忌忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数 f(x)＝
1
xln x
的定义域时，只考虑 x＞0，忽视 ln x≠0 的限制.
2.如果一个奇函数 f(x)在原点处有意义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量
或结合图象比较大小.
4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，
然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就
有几个不同的零点.
一、填空题
1.(2017·苏州调研)已知 f(x)＝{2x－3，x > 0，
g（x），x < 0 是奇函数，则 f(g(－2))＝________.
解析 由题意可得 g(x)＝－2－x＋3(x<0)，则 f(g(－2))＝f(－1)＝g(－1)＝1.
答案 1
2.(2011·江苏卷)函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.
解析 函数 f(x)的定义域为(－1
2
，＋∞)，令 t＝2x＋1(t＞0).因为 y＝log5t 在 t∈(0，
＋∞)上为增函数，t＝2x＋1 在(－1
2
，＋∞)上为增函数，所以函数 y＝log5(2x＋1)
的单调增区间为(－1
2
，＋∞).
答案 (－1
2
，＋∞)
3.(2018·苏北四市调研)函数 f(x)＝{2x，x ≤ 0，
－x2＋1，x＞0的值域为________.
解析 当 x≤0 时，y＝2x∈(0，1]；当 x＞0 时，y＝－x 2＋1∈(－∞，1).综上，
该函数的值域为(－∞，1].
答案 (－∞，1]
4.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数 y＝sin 2x 的图象与 y＝cos x 的图象
的交点个数是________.
解析 在区间[0，3π]上分别作出 y＝sin 2x 和 y＝cos x 的简图如下：
由图象可得两图象有 7 个交点.
答案 7
5.(2012·江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝
{ax＋1，－1 ≤ x＜0，
bx＋2
x＋1
，0 ≤ x ≤ 1， 其 中 a ， b∈R. 若 f(1
2 )＝ f(3
2 )， 则 a ＋ 3b 的 值 为
________.
解析 因为函数 f(x)是周期为 2 的函数，所以 f(－1)＝f(1)－a＋1＝ b＋2
2
，又 f
(1
2 )＝f(3
2 )＝f(－1
2 )，所以
1
2b＋2
3
2
＝－1
2a＋1，联立列成方程组解得 a＝2，b＝
－4，所以 a＋3b＝2－12＝－10.
答案 －10
6.(2018·苏州自主学习)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f(x)＝2 x，
若对任意的 x∈[a，a＋2]，不等式 f(x＋a)≥f2(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是
________.
解析 法一(利用解析式) 当 x≥0 时，定义在 R 上的偶函数 f(x)＝2x，易得 f(x)＝
2|x|，x∈R.由 f(x＋a)≥f2(x)得，2|x＋a|≥(2|x|)2，即|x＋a|≥|2x|对于 x∈[a，a＋2]恒成
立 ， 即 (3x ＋ a)(x － a)≤0 对 于 x∈[a ， a ＋ 2] 恒 成 立 ， 即
{（3a＋a）（a－a） ≤ 0，
[3（a＋2）＋a]（a＋2－a） ≤ 0，解得 a≤－3
2.
法二(偶函数的性质) 当 x≥0 时，定义在 R 上的偶函数 f(x)＝2x，易得，f(x)＝
2|x|，x∈R，易证 f 2(x)＝f(2x)，x∈R，故由 f(x＋a)≥f 2(x)得，|x＋a|≥|2x|对于
x∈[a，a＋2]恒成立，下同法一.
答案 (－∞，－3
2]
7.(2018·浙江卷改编)函数 y＝2|x|sin 2x 的图象可能是________(填序号).
解析 设 f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域关于坐标原点对称，又 f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝
－f(x)，所以 y＝f(x)是奇函数，故排除①②；令 f(x)＝0，所以 sin 2x＝0，所以 2x
＝kπ(k∈Z)，所以 x＝kπ
2 (k∈Z)，故排除③.故填④.
答案 ④
8.(2014·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0，3)时，f(x)＝
|x2－2x＋1
2|.若函数 y＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有 10 个零点(互不相同)，则实数
a 的取值范围是________.
解析 作出函数 y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝
f(2)＝f(3)＝f(4)＝1
2
，观察图象可得 0＜a＜1
2.
答案 (0，1
2)
二、解答题
9.已知函数 f(x)＝a－ 2
2x＋1.
(1)求 f(0)；
(2)探究 f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若 f(x)为奇函数，解不等式：f(ax)0，2x2＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)
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