杭州中考数学试卷答案解析

杭州中考数学试卷答案解析

‎2019年杭州市初中毕业升学文化考试 数学 考生须知：‎ ‎1. 本试卷满分为 120 分，考试时间为 100 分钟。‎ ‎2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在纸卷首页指定位置位置写上姓名和座位号 ‎3. 必须在答题纸的对应位置上答题，写在其它地方无效。答题方式详见答题纸上的说明。‎ ‎4. 考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。‎ ‎5. 如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。‎ 试题卷 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。 ‎ ‎1．计算下列各式中，值最小的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ 故选A ‎2．在平面直角坐标系中，点A（，2）与点B（3，）关于轴对称，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 两点关于轴对称，则 故选B ‎.‎ B A P ‎3．如图，P为外一点，分别切于A,B两点．若，则（ ）‎ O A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 是的两条切线，由切线长定理可得：‎ 故选B ‎4．已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有人，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得，男生有人，则女生有人，‎ 男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，‎ ‎∴‎ 故选D ‎5.点点同学对数据26，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）‎ A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，被涂污数字的范围在50到59之间，无论取多少，将五个数据从小到大排列之后，最中间的数字都为46，故计算结果与被涂污数字无关的是中位数。而平均数，方差和标准差的值均会受到被涂污数字大小的影响，故选B。‎ ‎6.如图，在中，点，分别在和边上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ‎ 所以，‎ ‎ 所以 ，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ A，B，D选项由已知条件无法证明，故选C。‎ ‎7.在中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）‎ A.必有一个内角等于 B.必有一个内角等于 C.必有一个内角等于 D.必有一个内角等于 ‎【答案】D ‎【解析】设三角形的三个内角分别为，，，由题意可得，则。由三角形的内角和为可得，则，。故选D.‎ ‎8.已知一次函数和，函数和的图象可能是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】当时，，，即,所以和图象的交点横坐标为。若，，与的图象都经过第一、二、四象限，其他几项均不符合题意。‎ 故选A.‎ ‎9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=，AD=，，则点A到OC的距离等于（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】过A点做交OB于点M，在直角三角形中，，，在矩形中，，在直角三角形BOC中，，，由题意可知，OM即为点A到OC的距离。‎ 故选D ‎10.在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有M个交点，函数的图象与轴有N个交点,则（ ）‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎【答案】C ‎【解析】分类讨论，①当且时，函数，函数有两个解，M=2；函数，函数有一个解，N=1；此时 ‎②当且时，函数，函数有两个解，M=2；函数，函数有一个解，N=1；此时 ‎③当且且时，函数，函数有两个解，M=1；函数，函数有两个解，N=1；此时 综上所述，或 故选C 二、填空题：本题有6个小题，每题4分，共24分．‎ ‎11.因式分解：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】平方差公式 ‎12.某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一次个数据的和为，第二次个数据的和为，因此个数据的平均数就是．‎ ‎13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度）。已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________ ． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆锥侧面展开为扇形，即求扇形面积。，为扇形弧长即圆锥底面圆的周长，为其母线长即，因此侧面积为．‎ 关于数学卷第13题 正式阅卷前，评卷组在制定评分标准时，发现数学卷第13题存在两个合理答案，即113或112（参考答案为113，若采用现行教材例题中近似数的计算方法，则答案为112）。评卷组研究后认为：113或112均为正确答案，得满分。此外，答案为36π的，减半得分。‎ 接到反映后，为慎重起见，我院聘请相关学科领域专家组成专家组对数学卷第13题评分标准和参考答案进行第三方论证，认为数学卷第13题正确答案为113或112。‎ 杭州市教育考试院 ‎2019年6月22日 ‎14.在直角三角形中，若，则__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】有两种情况。①为直角顶点，此时为斜边，即，因此．‎ ‎②为直角顶点，此时和同为直角边，设，则，，．‎ ‎15.某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式__________．‎ ‎【答案】或或等 ‎【解析】若此函数为一次函数，设将，；，代入得 解得．‎ ‎∴．‎ ‎ ‎ 16. 将矩形沿，折叠，、两点的对应点落在上的点处，且，，，则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵矩形沿，折叠，、两点的对应点落在上的点处 ‎ ∴，，．‎ ‎ 且，，．‎ ‎ 又∵．‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴在一条直线上．‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵，．‎ ‎ ∴‎ ‎ 设，．‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 在与中．‎ ‎ ，‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ 三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分6分）‎ 化简：‎ 圆圆的解答如下：‎ 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．‎ ‎【解析】圆圆的解答不正确，正确的解答如下：‎ ‎18．（本题满分8分）‎ 称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．‎ 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 甲组 ‎48‎ ‎52‎ ‎47‎ ‎49‎ ‎54‎ 乙组 ‎2‎ ‎4‎ 实际称量度数折线统计图 记录数据折线统计图 （1） 补充完整乙组数据的折线统计图．‎ （2） ‎①甲、乙两组数据的平均数分别为，写出与之间的等量关系．‎ ‎②甲、乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）如图所示 ‎（2）①‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②，理由如下：‎ ‎∴‎ ‎19．（本题满分8分）‎ 在中，,‎ ‎（1）已知线段的垂直平分线与交于点，连接，求证:．‎ ‎（2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，若，求的度数．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵点在的垂直平分线上，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎（2）根据题意，得 ‎∴‎ 设，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在中，，‎ 解得，即．‎ ‎20．(本题满分10分)‎ 方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为(单位:小时)，行驶速度为(单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．‎ ‎(1)求关于的函数表达式．‎ ‎(2)方方上午8点驾驶小汽车从地出发，‎ ‎①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达地，求小汽车行驶速度的范围．‎ ②方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由．‎ ‎【解析】‎ （1） 根据题意得，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，‎ ‎∴‎ （2） ‎①根据题意，得 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎②不能．‎ 理由如下：由（1）知，而11点30分前不满足题意 故方方不能在11点30分前到达地．‎ ‎21（本题满分10分）‎ 如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且．‎ ‎（1）求线段的长．‎ ‎（2）若点为边上的中点，连接，求证：．‎ ‎【解析】根据题意，得，,‎ ‎（1）设，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得（负根舍去），‎ 即．‎ ‎（2）∵点为边的中点 ‎∴，‎ ‎∵,点，，在同一直线上，‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 设二次函数（，是实数）．‎ ‎（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都是正确的．你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．‎ ‎（2）写出二次函数图象的对称轴，并求出该函数的最小值（用含的代数式表示）．‎ ‎（3）已知二次函数的图象经过和两点（，是实数）．当时，求证：．‎ ‎【解析】‎ （1） 乙求得的结果不正确，理由如下：‎ 根据题意，知图象经过点，，所以，‎ 当时，．‎ 所以乙求得的结果不正确．‎ （2） 函数图象对称轴为，‎ 当时，函数有最小值，‎ ‎．‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，结合函数的图象 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎23．（本题满分12分）‎ 如图，已知锐角三角形内接于⊙，于点，连接.‎ （1） 若，‎ ‎①求证：．‎ ‎②当时，求面积的最大值．‎ ‎（2）点在线段上，，连接，设，（、是正数），若，求证：．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）①证明：连接、，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎②作，垂足为点，‎ 则（当点在同一直线上时取等号）.‎ 由①可知，‎ ‎，‎ 即面积的最大值为.‎ （2） 设，‎ ‎∵是锐角三角形，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由此可得：， ‎ ‎∴．‎