江苏省南京师大附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省南京师大附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

南京师大附中2019-2020学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 直线的倾斜角是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知.则边b的长为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知，均为锐角，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 在△ABC中，.则△ABC的形状一定是（ ）.‎ A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎6. 过点向圆引圆的两条切线PA，PB，则弦AB的长为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.‎ ‎9. 若圆与圆相切，则m的值可以是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 下列命题中正确的有（ ）.‎ A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形 C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 ‎11. 两直线，与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知圆上存在两个点到点的距离为，则m的可能的值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13. 已知直线和，直线m分别与交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为 .‎ ‎14. 函数的最大值为 .‎ ‎15. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连接CD，则△BDC的面积是 ， .‎ ‎16. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与圆交于A，B两点，且，则直线的方程为 .‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分. ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，△ABC的面积为，求边长b的值.‎ ‎18. （本小题满分10分）‎ ‎（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：‎ ‎ ①直线在平面内；‎ ‎ ②直线不在平面内；‎ ‎ ③直线与平面交于点；‎ ‎ ④直线不经过点.‎ ‎（2）如图，在长方体中，为棱的中点，为棱的三等分点，画出由三点所确定的平面与平面的交线.（保留作图痕迹）‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知两直线和，定点.‎ ‎（1）若与相交于点P，求直线AP的方程；‎ ‎（2）若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，是中线CM所在的直线，求△ABC的边BC所在直线的方程.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）记函数，求的值域.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD. 其中百米，百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设，.‎ ‎（1）当时，求小路AC的长度；‎ ‎（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此小路BD的长度.‎ ‎22. （本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在轴上的圆经过两点和，直线的方程为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）当时，为直线上的定点，若圆上存在唯一一点满足，求定点的坐标；‎ ‎（3）设点A，B为圆上任意两个不同的点，若以AB为直径的圆与直线都没有公共点，求实数的取值范围.‎ 南京师大附中2019-2020学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 · 解析 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 直线的倾斜角是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点】直线的斜率与倾斜角 ‎2. 若，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点】二倍角公式；诱导公式 ‎3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知.则边b的长为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】在△ABC中，由余弦定理,带入数据，解得或（舍）.‎ ‎【考点】余弦定理解三角形 ‎4. 已知，均为锐角，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为为锐角，且,所以，，于是，又为锐角，所以.‎ ‎【考点】同角三角函数关系；两角和与差的三角函数 ‎5. 在△ABC中，.则△ABC的形状一定是（ ）.‎ A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，即，即，‎ 于是，所以，△ABC为等腰三角形.‎ ‎【考点】两角和与差的三角函数；诱导公式 ‎6. 过点向圆引圆的两条切线PA，PB，则弦AB的长为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，半径，所以，‎ 由面积法可知，‎ ‎【考点】圆的切线问题；与圆有关的几何问题 ‎7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，，垂线段，所以时，三角形有两解.‎ ‎【考点】判断三角形解的个数 ‎8. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线可化简为.于是过点（2，0）的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分.‎ ‎9. 若圆与圆相切，则m的值可以是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AC ‎【解析】圆可化简为.‎ 于是，解得或.‎ ‎【考点】圆的方程；圆与圆的位置关系 ‎10. 下列命题中正确的有（ ）.‎ A. 空间内三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形 C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 ‎【答案】BC ‎【解析】对于A选项，要强调该三点不在同一直线上，故A错误；‎ ‎ 对于B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；‎ ‎ 对于C选项，可用反证法证明，故C正确；‎ ‎ 对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误.‎ ‎【考点】点、线、面的位置关系 ‎11. 两直线，与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点. 于是:‎ ‎①；②；③.综上，且且.‎ ‎【考点】平面内两直线的位置关系 ‎12. 已知圆上存在两个点到点的距离为，则m的可能的值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】由题知，圆与圆相交.‎ ‎ 故，即，‎ 解得，选ACD ‎【考点】点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13. 已知直线和，直线m分别与交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题知，，两直线间的距离 ‎【考点】平行线之间的距离公式 ‎14. 函数的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 最大值 ‎【考点】三角恒等变换；辅助角公式；三角函数的图像和性质 ‎15. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连接CD，则△BDC的面积是 ， .‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】△BDC的面积为△ABC面积的一半，‎ ‎△ABC中，BC边上的高为，△ABC的面积为，‎ 所以△BDC的面积为.‎ ‎，‎ 解得，显然为锐角，所以 ‎【考点】三角形面积公式；正余弦定理解三角形 ‎16. 在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与圆交于A，B两点，且，则直线的方程为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题知，点A为MB的中点，设直线，将直线带入圆的方程，结合，解得，‎ ‎【考点】直线和圆的位置关系，韦达定理 四、解答题：本大题共6小题，共70分. ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，△ABC的面积为，求边长b的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）. ‎ ‎【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，设，‎ 则，带入，化简得 ‎，因为，所以；‎ ‎ （2）由（1）可知，，，又，‎ ‎ 所以，解得.‎ 在△ABC中，由余弦定理，所以 ‎，解得.‎ ‎【考点】解三角形；三角恒等变换 ‎18. （本小题满分10分）‎ ‎（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：‎ ‎ ①直线在平面内；‎ ‎ ②直线不在平面内；‎ ‎ ③直线与平面交于点；‎ ‎ ④直线不经过点.‎ ‎（2）如图，在长方体中，为棱的中点，为棱的三等分点，画出由三点所确定的平面与平面的交线.（保留作图痕迹）‎ ‎【答案】（1）；；；；示意图如下：‎ ‎（2）如图，直线IL即为所求. ‎ ‎【考点】空间点、线、面之间的位置关系 ‎19. （本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知两直线和，定点.‎ ‎（1）若与相交于点P，求直线AP的方程；‎ ‎（2）若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，是中线CM所在的直线，求△ABC的边BC所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）. ‎ ‎【解析】（1）联立两直线，解得P（0，-1），所以直线AP的斜率k=3，AP：y=3x-1.‎ ‎ （2）设点B的坐标为，则点，所以，‎ 解得，即，所以. 由到角公式得，‎ ‎,即，解得，‎ 所以BC所在直线方程为 化简得 ‎【考点】直线方程；两直线的位置关系；到角公式 ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）记函数，求的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）. ‎ ‎【解析】（1）因为，所以 即 ，所以 ‎ （2）记，显然，所以.‎ ‎ 将两边平方，得 ‎ 故 ‎ 所以，‎ ‎ 所以的值域为 ‎【考点】同角三角函数关系式；三角函数的图像和性质 ‎21. （本小题满分12分）‎ 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD. 其中百米，百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形. 拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设，.‎ ‎（1）当时，求小路AC的长度；‎ ‎（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此小路BD的长度.‎ ‎【答案】（1）百米；（2）百米. ‎ ‎【解析】（1）当时，在△ABD中，由余弦定理得 ‎，‎ 因为为钝角，所以 在△ADC中，由余弦定理得，‎ ‎ （2）在△ABD中，由余弦定理得 所以 于是.所以，‎ 当时，S最大，此时，‎ 又因为，所以，解得 所以此时 ‎ 答：（1）百米，（2）当四边形面积最大时，小路百米.‎ ‎【考点】解三角形的应用 ‎22. （本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在轴上的圆经过两点和，直线的方程为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）当时，为直线上的定点，若圆上存在唯一一点满足，求定点的坐标；‎ ‎（3）设点A，B为圆上任意两个不同的点，若以AB为直径的圆与直线都没有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或 ；‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】（1）设圆的方程为，将M,N坐标带入，得：‎ ‎ ，解得，所以圆的方程为.‎ ‎ （2）设，，则，‎ 化简得，此圆与圆C相切，所以有 ‎，解得，所以 或 ‎ （3）记以AB为直径的圆为圆M，设圆M上有一动点，‎ 设.则圆M的半径.于是 ‎，其中为的夹角，.‎ 因为，所以.‎ 故点在以为圆心，为半径的圆的内部（含边界），‎ 所以点C到直线l的距离，即，解得.‎ ‎【考点】圆与方程；阿波罗尼斯圆；隐圆问题