高考数学一轮复习练案68第九章计数原理概率随机变量及其分布第七讲离散型随机变量及其分布列含解析

高考数学一轮复习练案68第九章计数原理概率随机变量及其分布第七讲离散型随机变量及其分布列含解析

‎ [练案68]第七讲　离散型随机变量及其分布列 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　∵a＋＋＝1，∴a＝.‎ ‎∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.‎ ‎2．(2019·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　C　)‎ A．0　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　X可能取值为0或1，而P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝.故选C.‎ ‎3．(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于(　A　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.故选A.‎ ‎4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　B　)‎ A．　 B．　‎ - 7 -‎ C．4　 D． ‎[解析]　由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.‎ ‎5．(2020·安徽六校联考)‎2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：C·C·A＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P＝＝.故选B.‎ 二、填空题 ‎6．(2019·吉林质检)设随机变量的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1－p 则ξ的数学期望的最小值是　　.‎ ‎[解析]　E(ξ)＝0×＋1×＋2×(1－)＝2－p，‎ 又∵1>≥0,1≥1－p≥0，∴0≤p≤.‎ ‎∴当p＝时，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－＝.‎ ‎7．(2019·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为__________.‎ ‎[解析]　‎ η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎8.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，则取得次品数为ξ - 7 -‎ 的分布列为____________.‎ ‎[解析]　‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ 三、解答题 ‎9．(2019·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于网购，2名倾向于实体店购物，5名女性购物者中有2名倾向于网购，3名倾向于实体店购物．‎ ‎(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名倾向于实体店购物的概率；‎ ‎(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名倾向于实体店购物”为事件A，则表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于网购”，‎ 则P(A)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)X所有可能的取值为0,1,2,3，‎ 且P(X＝k)＝，‎ 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，‎ P(X＝3)＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎10．(2019·山东临沂模拟)甲、乙两人轮流射击，每人每轮射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为 - 7 -‎ ‎，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定甲先射击．‎ ‎(1)求甲获胜的概率；‎ ‎(2)求射击结束时甲的射击次数X的分布列和数学期望E(X)．‎ ‎[解析]　(1)记甲第i次射击中获胜的事件为Ai(i＝1,2,3)，‎ 则A1，A2，A3彼此互斥，甲获胜的事件为A1＋A2＋A3，‎ P(A1)＝，P(A2)＝××＝，‎ P(A3)＝()2×()2×＝.‎ 故P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为1,2,3.‎ P(X＝1)＝＋×＝，‎ P(X＝2)＝××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝()2×()2×1＝.‎ X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意知a，b，c∈[0,1]，且 解得b＝，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，‎ 故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，‎ - 7 -‎ 所以P(ξ＝1)＝.‎ ‎2．(2019·长沙模拟)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　D　)‎ A．P(X＝3)　　 B．P(X≥2)‎ C．P(X≤3)　　 D．P(X＝2)‎ ‎[解析]　由超几何分布知P(X＝2)＝，故选D.‎ ‎3．(2019·吉林模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球，设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝　　.‎ ‎[解析]　P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎4．设离散型随机变量X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 则|X－1|的分布列为________.‎ ‎[解析]　∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，‎ ‎|X－1|的取值为0,1,2，‎ P(|X－1|＝0)＝P(X＝1)＝0.1，‎ P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.4，‎ P(|X－1|＝2)＝P(X＝－1)＋P(X＝3)＝0.5，‎ ‎∴|X－1|的分布列为 ‎|X－1|‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎5.(2019·海南模拟)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－＝1－＝.‎ - 7 -‎ ‎(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且 P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎6.(2019·惠州市调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其中7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．‎ ‎(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．‎ ‎[解析]　(1)所求概率P＝＝；‎ ‎(2)X的取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ ‎∴随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎7.(2020·重庆巴蜀中学月考)为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将举行“歌唱祖国，喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决，投情况如下表.‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 总人数 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎(1)若从第1组和第8组的同学中各随机选取两人进行调查，求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；‎ - 7 -‎ ‎(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2进行调查，选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)P1＝1－＝.‎ ‎(2)各小组人员情况：‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 不赞成人数 ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 总人数 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ X的可能取值为0,1,2,3,4，且 P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，‎ 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝0＋＋2×＋3×＋4×＝.‎ - 7 -‎