【数学】2020届一轮复习人教版（理）第4章第3讲平面向量的数量积及应用作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第4章第3讲平面向量的数量积及应用作业

A组　基础关 ‎1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于(　　)‎ A．2 B．－1 C．－6 D．－18‎ 答案　D 解析　∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，‎ ‎∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.‎ ‎2．(2018·烟台一模)已知a＝，b＝，则|a－b|＝(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　C 解析　因为a－b＝，‎ 所以|a－b|2＝2＋2‎ ‎＝2－2 ‎＝2－2cos＝2－2cos＝3，‎ 所以|a－b|＝.‎ ‎3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝(　　)‎ A. B. C. D．(1,0)‎ 答案　B 解析　设b＝(cosα，sinα)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a·b＝(，1)·(cosα，sinα)＝cosα＋sinα＝2sin＝，解得α＝，故b＝.‎ ‎4．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ ‎＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　B 解析　由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.‎ ‎5．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ 答案　D 解析　∵|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos120°＝3×2×＝－3.‎ ‎∵(a＋mb)⊥a，‎ ‎∴(a＋mb)·a＝a2＋ma·b＝32－3m＝0，解得m＝3.‎ ‎6．(2018·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　解法一：因为a·b＝1××cos＝.‎ 所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2‎ ‎＝1＋4×＋4×2＝3，‎ 所以|a＋2b|＝，‎ ‎(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×2＝.‎ 设a＋2b与b的夹角为θ，则 cosθ＝＝＝.‎ 又θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ 解法二：如图，设A＝a，A＝b，A＝2b，A＝a＋2b.由|A|＝|A|，∠BAD＝，易知平行四边形ABCD是菱形，所以a＋2b与b的夹角为.故选A.‎ ‎7．(2018·南平二模)在△ABC中，若BC＝8，BC边上的中线长为3，则·＝(　　)‎ A．－7 B．7 C．－28 D．28‎ 答案　A 解析　在△ABC中，若BC＝8，BC边上的中线长为3，可得|＋|＝6，|－|＝8，‎ 可得2＋2·＋2＝36，‎ 2－2·＋2＝64，‎ 两式作差可得，4·＝－28，所以·＝－7.‎ ‎8．(2018·潍坊模拟)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为边BC的中点，则·＝________.‎ 答案　－9‎ 解析　因为AB＝AC，点D为边BC的中点，所以AD⊥BC，所以在方向上的投影为||cos(π－B)＝－||cosB＝－||＝－||＝－3，‎ 所以·＝||||cos(π－B)＝3×(－3)＝－9.‎ ‎9．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a，b夹角θ的余弦值为________．‎ 答案　－ 解析　题中等式两边平方得，|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cosθ，‎ 又考虑到|a|＝3|b|，所以0＝4|b|2＋12|b|2cosθ.‎ 解得cosθ＝－，故a，b夹角的余弦值为－.‎ ‎10．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，D是边BC的中点．若E是线段AD的中点，则·＝________.‎ 答案　－ 解析　由题意得||＝4，||＝2，‎ ·＝4×2×cos120°＝－4.‎ ＝＝(＋)，‎ 2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)‎ ‎＝(16－8＋4)＝，‎ 所以·＝(－)·(－)‎ ‎＝·－(＋)·＋2‎ ‎＝·－42＋2‎ ‎＝·－32‎ ‎＝－4－3×＝－.‎ B组　能力关 ‎1．已知向量a，b，若a＝(1,0)且|b|＝2|a|，则下列结论错误的是(　　)‎ A．|a－b|的最大值为3‎ B．|a＋b|的最大值为3‎ C．当|a－b|最大时a·b＝2‎ D．当|a＋b|最大时a·b＝2‎ 答案　C 解析　由题意可得|b|＝2|a|＝2.当a，b共线且所成的角为π时，|a－b|有最大值，最大值为3，A正确；此时a·b＝|a||b|cosπ＝－2，C错误；当a，b共线且所成的角为0时，|a＋b|有最大值，最大值为3，B正确；此时a·b＝|a||b|cos0＝2，D正确．‎ ‎2．(2018·日照模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，||＝2，＝－，若M是线段AB的中点，则·的值为(　　)‎ A. B．2 C．2 D．3‎ 答案　D 解析　由＝－，又＝(＋)，所以·＝·(＋)＝2－2＋·，又△OAB为等边三角形，所以·＝2×2cos60°＝2.又2＝2＝4，所以·＝×4－×4＋×2＝3.‎ ‎3．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 答案　A 解析　连接BD，由已知可得DB＝且△BCD为等边三角形，因为＝＋＋，所以·＝(＋＋)·＝，设＝λ(0≤λ≤1)，则·＝·(‎ eq o(AE,sup16(→))－)＝(－)·(－－)＝(－)2－(－)·＝3λ2－λ＋.所以，当λ＝时，·有最小值.‎ ‎4．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A．I10，即I1>I3.‎ ‎∴I3

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