高考全国卷Ⅰ数学试题解读
2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读
蚌埠市教育教学创新研究会 杨培明 杨 熙
每年高考后,一些“有才”的数学老师会说:“今年高考数学容易,所有的题目我都讲过了”.今年高考后依然如此,这些职业吹牛的“有才”老师,是不可能有进步的.
2019年高考已落下帷幕,2019年的高考数学势必会给高中数学教学,尤其是高三数学迎考带来很大的冲击,也给许多希望进步的老师和学生,提出了一些值得深思的问题.
一.小题真的大题化吗？
[例1]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第10题,(文科)第12题)已知椭圆C的焦点F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A、B两点,若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
(A)+y2=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1
本题(客观题,小题)与如下高考解答题(大题),不仅同构,而且难度相当.
(2010年辽宁高考理科第20题)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,
过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为600,=2.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)如果|AB|=,求椭圆C的方程.
[官方解析]:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1>0,y2<0;
(Ⅰ)直线l的方程为y=(x+c),其中c=;联立得(3a2+b2)y2-2b2cy-3b4=0(不易想到消x得关于y的方程),解得y1=,y2=(易想到利用韦达定理,不联系下一步,不知为何要解出y1,y2),因为=2,所以-y1=2y2,即-=2,得离心率e==;
(Ⅱ)因为|AB|=|y1-y2|,所以=,由=得b=a,所以a=,得a=3,b=,椭圆C的方程为:+=1.
难道小题真的大题化吗？如果按照官方解析求解例1,则真的就是“小题大做”,即使得到正确结果,由于用时过长,也造成潜在失分.我们知道客观题只要结果,无需过程.因此,小题快解是应对高考的首要问题.多年的实践证明:利用高考数学母题,可达到小题快解之目的.
我们在《2019年高考数学押题密卷(六套卷)》(见母题网、百度文库和豆丁网等网站,以下简称《六套卷》)的第三卷(理科)中,我们给出:
(《六套卷》第三卷(理科)第10题)过双曲线C:=1的右焦点F的直线与其右支交于A,B两点.若|AF|=m,|BF|=n,则=( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
[母题]:设圆锥曲线(双曲线需同支)中,共线焦半径分别为r,R,通径为L,则+=.
[解析]:由母题:==3.故选(C).
利用上述母题,可给例1的绝妙解答.
[解析]:由|AF2|=2|F2B|和+=|F2B|=,|AF2|=;又由|AB|=|BF1|
+2=2a=.故选(B).
根据上述母题,可妙解所有焦点分焦点弦比的问题,如:
1.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为 .
2.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点.若=3,则k=( )
(A)1 (B) (C) (D)2
高考数学母题不是解决某道试题的特殊技巧、方法和结论,而是解决一类试题的核心结论和本质方法.举例如下:
[例2]:(《六套卷》第二卷(理科)第15题)如图,已知双曲线C:-=1的右焦点为F,以原点O为圆心,|OF|为半径的圆O与双曲线C的一条渐近线相交于点B,若BF的中点A在双曲线C的另一条渐近线上,则双曲线C的两条渐近线夹角是 .
[母题]:若双曲线C:-=1的右焦点为F,则以原点O为圆心,|OF|为半径的圆O与双曲线C的渐近线相交于点的横坐标=a.
[解析]:由母题知,B(-a,b),又F(c,0)BF的中点A(,);由点A(,)在y=x上=
=2=∠AOF=双曲线C的两条渐近线夹角=.
利用上述母题,可快解:
(2019年全国Ⅰ卷(理科)第16题)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点.若=,=0,则双曲线C的离心率为 .
[解析]:由母题知,B(a,b),又F1(-c,0)BF1的中点A(,);由点A(,)在y=-x=
e==2.
对比以上两题:①由同一个母题生成;②所有条件相同;③解题程序同构,两题的契合度之高,令人称奇.利用高考数学母题预测高考试题不仅是可能的,可操作的,而且是有规律的.如:
1.
试题出处
2019年全国Ⅰ卷(文理科)第5题
《六套卷》第二卷(文科)第8题
真题再现
函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为( )
已知函数f(x)=,则y=f(x)在(-π,0)∪(0,π)上的图像是( )
解法母题
[母题]:着意使用排除法.可妙解给定的函数图像选择题,常用手段有:取值排除、奇偶排除和凸凹排除.
试题解答
[解析]:由y=cosx+x2是偶函数,y=sinx+x是奇函数f(x)是奇函数;排除(A)(D);又f(π)>0,排除(B)(C).故选(D).
[解析]:由y=1是偶函数,y=x-sinx是奇函数f(x)是奇函数;排除(B)(D);又f()>0,排除(C).故选(A)
对比分析
两题为同一个方法母题的子题,且解题步骤完全同构,函数模型相似.
2.
试题出处
2019年全国Ⅰ卷(文科)第11题
《六套卷》第四卷(理科)第13题,(文科)第15题
真题再现
ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=( )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2-a2=c2,则= .
结论母题
[母题]:三角平方差公式:sin2α-sin2β=sin(α-β)sin(α+β).
试题解答
[解析]:由asinA-bsinB=4csinCsin2A-sin2B=
4sin2Csin(A-B)sin(A+B)=4sin2Csin(A-B)=4sinCtanB===
=6.故选(A).
[解析]:由b2-a2=c2sin2B-sin2A=sin2Csin(B-
A)sin(B+A)=sin2C2sin(B-A)=sin(B+A)=
对比分析
两题为同一个结论母题的子题,由结论母题,可给出高考试题的另类解法.
二.不能创新传统数学吗？
数学具有严格的逻辑体系,中学数学的传统内容已有上千年的历史,已形成完备成熟的体系,对中学数学的创新可能吗？即使可以创新,难度之大可想而知;高考数学母题具有创新学习方法、打造高考利器、科学预测试题、革新中学教学、优化学科体系和助推素质教育等六大基本功能.
[例3]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第18题)如图,直四棱柱ABCD-A1B2C3的底面是菱形,
AA1=4,AB=2,∠BAD=600,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面C1DE;
(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.
立体几何是最成熟、历史最悠久的数学分支之一,空间向量的引入给立体几何带来了一片生机,研究可得:
[母题]:解决立体几何试题:①充分利用长方体模型的定位功能,把题中的几何体放置于长方体中,不仅可充分体现几何体中的线面位置关系,而且有利于建立空间直角坐标;②灵活利用母题:“若平面α
与坐标轴分别交于点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面α的法向量为m=(,,),特别的,若平α平行于某坐标轴,则平面α法向量的对应坐标为0”.直接写出平面的法向量(但要绕出过程),即可达到会解快解.
[解析]:(Ⅰ)取AD的中点F,则BF∥DE,NF∥AA1,且NF=2,由BM∥AA1,且BM=2NF∥BM,且NF=BMMN∥BFMN∥DEMN/∥平面C1DE;
(Ⅱ)分别以直线BD、AC为x、y轴建立空间直角坐标系,则A(0,-,0),A1A(0,-,4),
M(1,0,2),N(-,-,2);设平面AMA1的法向量m=(x,y,z)(平面AMA1在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为-,且平面AMA1∥z轴,先由母题可写出m=(,-1,0),再绕出解题过程),由m
=0,m=0m=(,-1,0),同理可得平面A1MN的法向量n=(-1,,1)(平面A1MN在x轴上的截距为-1,在y轴上的截距为,在z轴上的截距为1)cos
=二面角A-MA1-N的正弦值=.
立体几何试题的统一解法的上述母题在《六套卷》第二卷(理科)第18题中给出.
(《六套卷》第二卷(理科)第18题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是菱形,
∠ACB=900,点A1在平面ABC内的射影D是AC的中点.
(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;
(Ⅱ)若∠DA1B=600,求二面角A1-AB-C的余弦值.
[解析]:(Ⅰ)在长方体中作出三棱柱ABC-A1B1C1,由A1D⊥平面ABCA1D⊥BCBC⊥A1D,又∠ACB=900BC⊥ACBC⊥平面ACC1A1BC⊥AC1AC1⊥BC;又在菱形ACC1A1中,AC1⊥A1CAC1⊥平面A1BCAC1⊥A1B;
(Ⅱ)以AC1与A1C的交点O为坐标原点,OA1与OC1分别为x,y轴建立空间直角坐标系,设OA1=2a,BC=h,则A(0,-2a,0),A1(2a,0,0),C(-2a,0,0),B(-2a,0,h),B1(0,
2a,h)D(-a,-a,0)=(-3a,-a,0),=(-4a,0,h);由∠DA1B=600cos<,>=
h=4a;设平面A1AB的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0m=(,-,);同理可得平面ABC的法向量n=(,1,0)cos=二面角A1-AB-C的余弦值=.
对于立体几何问题,母题①的思想具有普遍性,可妙解立体几何问题;母题②的方法可快求成角,距离;预测试题中的几何体恰是高考试题中几何体被平面ABC1D1截得的下半部分,两题的契合度之高,令人称奇.
[例4]:(《六套卷》第一卷(文科)第20题)定圆C的圆心的坐标为(3,0),半径为4,圆P以动点P(a,b)为圆心,与直线x=-5相切且平分圆C的周长.
(Ⅰ)求动点P的轨迹G的方程;
(Ⅱ)当b≠0时,过点Q(a,0)作斜率为-的直线,交轨迹G于A、B两点,求证:PA⊥PB.
解析几何也是最成熟、历史最悠久的数学分支之一,针对抛物线,研究可得:
[母题]:抛物线试题的统一解,就是巧设抛物线上的一点:①观察系数,先巧设抛物线方程中有平方项的变量;②代入抛物线方程中,求另一变量,即得点的坐标,标准是该点的纵、横坐标不含分母;
A、P、B三点共线∥,即把A、P、B三点共线,转化为坐标中的系数关系,从而为解决过一点的直线与抛物线交于两点的问题提供了有力手段.
[解析]:(Ⅰ)由圆C:(x-3)2+y2=16,圆P:(x-a)2+(y-b)2=(a+5)2,两圆方程相减得两圆公共弦方程:2(3-a)x
-2by+b2-10a-18=0;又由圆P平分圆C的周长公共弦过圆心C(3,0)b2=16a动圆P的圆心P的轨迹方程:y2=16x;
(Ⅱ)设A(n2,4n),B(m2,4m),则kQA==-,kQB==-an2+4bn-a2=0,am2+4bm-a2=0m、n是方程
at2+4bt-a2=0m+n=-,mn=-am2+n2=+2a=+2akPAkPB===
=-1PA⊥PB.
根据抛物线问题的统一解法母题,可巧解:
(2019年全国Ⅰ卷(理科)第19题)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(Ⅱ)若=3,求|AB|.
[解析]:设A(3a2,3a),B(3b2,3b)(a>0)kAB==a+b=;直线AB:y-3a=(x-3a2)P(3a2-2a,0);
(Ⅰ)|AF|+|BF|=(3a2+)+(3b2+)=3(a+b)2-6ab+=4ab=-a2-a-l:y=x-;
(Ⅱ)=3a=-3bb=-,a=1|AB|=.
预测试题是作斜率为-的直线,交轨迹G(抛物线:y2=16x)于A、B两点;而高考试题则是斜率为的直线l与C(抛物线:y2=3x)的交点为A,B,条件相同决定解法同构.
导数是高等数学的基础,也是高考的重点,许多高考导数试题具有高等数学背景,如何恰当的引伸高中导数,并用高中导数解决呢？
[例5]:(《2019年高考考前专家讲座(Ⅱ)》[例095])设函数f(x)=sinx+,x∈(0,).
(Ⅰ)求证f(x)的导函数(x)在区间(0,)上单调递增;
(Ⅱ)若f(x)>ax在区间(0,)内恒成立,求a的取值范围.
[母题]:①若f(x)在区间D上连续可导,且(x)在区间D上单调递增,则当x0∈D时,f(x)≥(x0)(x-x0)+f(x0),当且仅当x=x0时,等号成立;
②若f(x)在区间D上连续可导,且(x)在区间D上单调递减,则当x0∈D时,f(x)≤(x0)(x-x0)+f(x0),当且仅当x=x0时,等号成立.
[解析]:(Ⅰ)由f(x)=sinx+(x)=cosx+(x)=-sinx+x(x)=-cosx+1≥0(x)在区间(0,)上单调递增(x)>(0)=0(x)在区间(0,)上单调递增;
(Ⅱ)由(x)在区间(0,)上单调递增，且f(x)在x=0处的切线方程为:y=xf(x)>
xa的取值范围是（-∞,1].(非正规解题过程,只为揭示试题背景,另一母题可绕出标准解题过程).
利用母题,可妙解:
(2019年全国Ⅰ卷(文科)第20题)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,(x)为f(x)的导数.
(Ⅰ)证明:(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(Ⅱ)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
[解析]:(Ⅰ)由f(x)=2sinx-xcosx-x(x)=cosx+xsinx-1(x)=xcosx(x)在区间(0,)上单调递增,在区间(,π)上单调递减,且(0)=0,()=-1>0,(π)=-2
(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(Ⅱ)由f(0)=f(π)=0,(x)在区间(0,)上单调递增，且f(x)在x=0处的切线方程为:y=0所以,f(x)≥axa≤0,故a的取值范围是(-∞,0].(非正规解题过程,只为揭示试题背景,另一母题可绕出标准解题过程).
两题不仅均以含三角函数的超越函数为模型,而且两题函数均过原点,因此两题第(Ⅱ)问的背景相同(生成于同一个母题),解法同构;若高考试题第(Ⅱ)问的条件x∈[0,π],改为预测试题第(Ⅱ)问的条件x∈(0,),两题第(Ⅱ)问是否一样？
三.高考数学命题创新路在何方？
高考数学命题的创新是势在必行,问题是创新之路在何方？解读2019年高考全国Ⅰ卷数学试题,可领悟到:
1.着意于数学本质的创新
[例6]:(《六套卷》第一卷(理科)第7题,(文科)第8题)如图所示是求数列{an}:an=2n-1通项an的程序框图(算法流程图),图中空白框中应填入的内容为( )
(A)S=S+k (B)S=2S-1 (C)S=2S+1 (D)S=2S
[母题]:对求数列{an}:an=f(n)通项an的程序框图,处理框中应填入的内容为f(n+1)与f(n)之间的递推关系.
[解析]:由an=2n-1an+1=2n+1-1=2(an+1)-1an+1=2an+1.故选(C).
程序框图是高考数学的一个考点,常见题型是求输出的结果,即使出现填充程序框图的问题,大多是填充判断框型,较少出现填充处理框型,更没有出现过求数列通项的填充处理框型问题,而求数列的通项,恰是程序框图的本质之一;着意于数学本质的创新,是命制高考数学试题的一个重要方向.
高考数学母题是数学本质的最有效的工具.理解该母题,才能把握下面:2019年全国Ⅰ卷(理科)第8题,(文科)第9题,进而秒杀该题.
(2019年全国Ⅰ卷(理科)第8题,(文科)第9题)右图是求的程序框图,图中空白框中应填入( )
(A)A= (B)A=2+ (C)A= (D)A=1+
[解析]:令an=,则an+1=.故选(A).
两题不仅为同一个方法母题的子题,解题方法一样(均是建立an+1与an的递推关系),而且两题均为首创.
2.立足于数学综合的创新
[例7]:(2019年全国Ⅰ卷(文理科)第22题)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为,(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11=0.
(Ⅰ)求C和l的直角坐标方程.
(Ⅱ)求C上的点到l距离的最小值.
本题不仅综合了“极坐标系与参数方程”内的主要内容,而且还结合了三角代换:sinθ=,cosθ=,tanθ=、辅助角公式和三角函数的有界性,正是与三角代换的结合,不仅构造了本题的难点(难在消去参数t),还呈现了本题的创新点.立足于数学综合的创新,是命制高考数学试题的又一个重要方向.
[母题]:三角代换:sinθ=,cosθ=,tanθ=(见《专家讲座》[例013]);化参数方程为普通方程的本质是消去参数,常用方法有:①代入法:就是从参数方程组中的其中一个方程中解出参数,然后代入另一个方程中;②三角法:就是灵活运用三角等式,消去参数;③整体法:就是根据参数方程组中参数式的结构特征,构造等式,整体消去参数.
[解析]:(Ⅰ)由C:x2+=()2+()2=1(x≠-1);由l:2ρcosθ+ρsinθ+11=02x+y+11=0;
(Ⅱ)设C上的点P(cosθ,2sinθ)点P到l的距离d=|2cosθ+2sinθ+11|
=|4sin(θ+)+11|≥,当θ=-时,dmin=C上的点到l距离的最小值=.
上述母题是在《六套卷》第四卷(文理科)第22题中给出的.
(《六套卷》第四卷(文理科)第22题)已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:(α为参数).
(Ⅰ)化曲线C1、C2的方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)若曲线C3:(t为参数)和曲线C2相交于A、B两点,点P是曲线C1上的动点,使确定点P使ΔABP的面积S取得最大值.
[解析]:(Ⅰ)由C1:x2+=1C1是焦点在y轴上的椭圆;由C2:(x-1)2+(y-
1)2=2C2是以M(1,1)为圆心,半径r=的圆;
(Ⅱ)由C3:x-y-1=0点M到C3的距离d1=|AB|=;设P(cosθ,sinθ)
点P到C3的距离d=|cosθ-sinθ-1|=|2sin(θ-)+1|当θ=时,dmax=
P(-,),Smax=.
两题的设问方式相同,结构同构,第(Ⅰ)问均是三种方程的互化,尤其第(Ⅱ)问的本质均是利用椭圆的参数方程,求椭圆的一点到直线距离的最小值,或最大值.
3.着重于数学应用的创新
[例8]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第21题)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(Ⅰ)求X的分布列；
(Ⅱ)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,Pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则P0=0,P8=1,Pi=aPi-1+bPi+cPi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=
P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.
(i)证明:{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;
(ii)求P4,并根据P4的值解释这种方案的合理性.
今年高考数学试题,让人“震惊”的是:一改以往延续了18年全国Ⅰ卷解答题的布局,转而概率竟然成为压轴题,这本身就是一种大的变革;第21题压轴题源于实际,充分体现了数学的应用性与重要性,融概率与数列于一身,呈现了综合应用的创新性,
该类试题曾经常出现在大学自主招生考试中,如:
(2011年清华大学保送生考试试题)甲、乙等4人相互转球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传给另外3人中的任何一人.
(Ⅰ)经过2次传球后,球在甲、乙手中的概率各是多少？
(Ⅱ)经过n次传球后,球在甲手中的概率记为Pn(n=1,2,…),试求出Pn+1与Pn的关系式,并求Pn的表达式及Pn.
[解析]:(Ⅰ)“经过2次传球后,球在甲手中”=“第二次传球时,甲外的其余3人之一将球传给甲”球在甲手中的概率=;球在乙手中的概率有两种解法:
(法一)“经过2次传球后,球在乙手中”=“第一次转球,球不在乙手中,且第二次传球传给乙”球在乙手中的概率=×=;
(法二)第二次传球,球不在甲手中的概率=1-,而球在乙及其他2人手中的概率相等=(1-)=;
(Ⅱ)“经过n+1次传球后,球在甲手中”=“经过n次传球后,球不在甲手中,且第n+1次传球传给甲”Pn+1=(1-Pn)Pn=[1-(-)n-1]Pn=.
该题源于转球模型:
[母题]:(传球模型)对于任意一个由N个点组成的网络,如果对于这N个点中的任意一个点都与另外的N-1个点相连,那么从其中任意一个点A出发,每次都等概地选择一条道路到达另外一点,则求经i步后又回到点A的概率Pi=.
[解析]:设Pi为从点A出发经i步后又回到点A的概率,则P0=1,P1=0.又第i-1步不在点A而在另外N-1个点上的概率为1-Pi-1,从而第i步回到点A的概率为(1-Pi-1)Pi=(1-Pi-1)Pi=.
利用母题及其解题方法,可解第21题压轴题:
X
-1
0
1
P
(1-α)β
αβ+(1-α)(1-β)
α(1-β)
[解析]:(Ⅰ)X的所有可能取值为-1,0,1;且P(x=-1)
=(1-α)β,P(x=1)=α(1-β)P(x=0)=1-P(x=-1)-
P(x=1)=αβ+(1-α)(1-β),所以X的分布列为:
(Ⅱ)(i)由α=0.5,β=0.8a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1Pi=0.4Pi-1+0.5Pi+0.1Pi+1
Pi+1-Pi=4(Pi-Pi-1),又因为P1-P0=P1≠0{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为P1的等比数列;
(ii)由(i)得:Pi+1-Pi-P1×4n-1P8=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P8-P7)=P1;由P8=1P1=1P1=
P4=P1===;P4表示最终认为甲药更有效的概率,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率仅为P4=,说明这种试验方案合理.
第21题压轴题难在何处？首先是题情陌生,除非参加数学竞赛和大学自主招生的同学,可能接触过此类试题;二是综合性强,根据概率意义,建立关于概率的递推关系(第21题压轴题中略去了这一步),并利用数列的思想方法求概率;三由于文字过多,且读一遍未必能理解题意,因此,读懂这道题就是一个难点.
同类的大学自主招生试题还有:
1.(2002年上海交通大学保送生考试试题)A,B两人轮流掷一个骰子,第一次由A先掷,若A掷到一点,下次仍由A掷,若A掷不到一点,下次换B掷,对B同样适用规则,如此依次投掷,记第n次由A掷的概率为An.
(Ⅰ)求An+1与An的关系;
(Ⅱ)求An.
[解析]:(Ⅰ)第一次由A先掷A1=1;“第n+1次由A掷”=“第n次由A掷,且第n+1次由A掷”+“第n次由B掷,且第n+1次由A掷”An+1=An+(1-)(1-An)An+1=-An+;
(Ⅱ)(法一)由An+1=-An+An+1-=-(An-)An-=(-)n-1An=+(-)n-1An=;
(法二)设An=xAn+1=x由An+1=-An+An+1=-An+x=-x+x=An=.
2.(2011年“华约”自主招生试题)投掷一枚硬币(正反等可能),记投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为Pn.
(Ⅰ)求P1,P2,P3和P4;
(Ⅱ)写出Pn的递推公式,并指出单调性;
(Ⅲ)Pn是否存在？有何统计意义.
[解析]:(Ⅰ)P1=P2=1,P3=1-()3=,P4=(第4次出现反面向上,其概率为,且前3次不连续出现三次正面向上,其概率为P3)P3+(第4次出现正面向上,除去第3,2次出现正面向上,第1次出现反面向上)P3-()4=P3-()4=;
(Ⅱ)Pn=(第n次出现反面向上)Pn-1+(第n次出现正面向上,除去第n-1,n-2次出现正面向上,第n-3次出现反面向上)
Pn-1-()4Pn-4Pn=Pn-1+Pn-1-()4Pn-4Pn=Pn-1-Pn-4(n≥5);由Pn=Pn-1-Pn-4Pn0Pn存在;由Pn=Pn-1-Pn-4Pn=Pn-1-Pn-4Pn=0;其统计意义是:当n→∞时,P=0,即当投掷次数充分大时,不连续出现三次正面向上的事件是小概率事件.
广泛的应用性是数学的本质属性,2019年全国Ⅰ卷充分体现了“着重于数学应用的创新”:除第21题压轴题外还有4题,文理第4题均以著名的“断臂维纳斯”雕像为例,命制应用题;理科第6题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合题,体现了数学原理和方法在解决问题中的价值和作用;理科第15题，引入非常普及的篮球运动,以其中比赛的预估和比赛场次的提出问题;文科第17题以商场服务质量管理为背景,设计了统计应用问题.数学应用问题不仅每年必考,而且难度有逐年加大之趋势,2016年、2017年理科应用问题都为第19题,2018年理科应用问题是第20题,而今年移到了21题压轴题,其难度与用意不言而喻.2019年全国Ⅰ卷不仅提高了应用题的数量,而且加大了应用题的难度.
可能受新课标的影响,新的高中教材删除的内容,如“三视图、线性规划等”没有出现在今年的高考试题中.
总之,整套试题基本体现了由“以能力立意”过渡到“以素养立意”命题,试题难度虽有所上升,但其在高校选拔中的特殊地位和作用仍是不可替代,为今后的教学指明了方向.
