高中数学全部知识点总结(供参考)
高中数学必修+选修知识点归纳
必修 1 数学知识点
第一章：集合与函数概念
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无
序性。
2、 常见集合：正整数集合： *N 或 N ，整数集合：
Z ，有理数集合： Q ，实数集合： R .
3、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任
意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是
集合 B 的子集。记作 BA .
4、 如果集合 BA ，但存在元素 Bx ，且 Ax ，
则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B.
5、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：
空集合是任何集合的子集.
6、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有 n2 个子
集， 2 1n 个真子集.
7、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成
的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作： BA .
8、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素
组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作： BA .
9、全集、补集？ { | , }UC A x x U x U 且
专题一：常用逻辑用语
1、命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
常用小写的拉丁字母 p ， q ， r ， s ，……表示命
题.
2、四种命题及其相互关系
四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知 p q ，那么就说： p 是 q 的
充分条件， q 是 p 的必要条件；
若 p q ，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命
题的条件 p 与结论 q 之间的关系：
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式： p 或 q （ p q ）； p 且 q
（ p q ）；非 p （ p ）.
⑵复合命题的真假判断
“ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非 p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称
量词，并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做
存在量词，并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题，
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题 p ： , ( )x p x ，它的否定 p ：
0 0, ( ).x p x 全称命题的否定是特称命题．
②特称命题 p ： 0 0, ( ),x p x ，它的否定 p ：
, ( ).x p x 特称命题的否定是全称命题.
§1.2.1、函数的概念
1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集
合 B 中都有惟一确定的数 xf 和它对应，那么就
称 BAf : 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记
作： Axxfy , .
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完
全一致，则称这两个函数相等.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定义法：设 2121 ],,[ xxbaxx 、 那么
],[)(0)()( 21 baxfxfxf 在 上是增函数；
],[)(0)()( 21 baxfxfxf 在 上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格 式 ：解 ： 设 baxx ,, 21 且 21 xx ， 则 ：
21 xfxf =…
(2)导数法：设函数 )(xfy 在某个区间内可导，
若 0)( xf ，则 )(xf 为增函数；
若 0)( xf ，则 )(xf 为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数 xf 的定义域内任意一个
x ，都有 xfxf ，那么就称函数 xf 为
偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.
2、 一般地，如果对于函数 xf 的定义域内任意一个
x ，都有 xfxf ，那么就称函数 xf 为
奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接：函数与导数
1、函数 )(xfy 在点 0x 处的导数的几何意义：
函数 )(xfy 在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy 在
))(,( 00 xfxP 处的切线的斜率 )( 0xf ，相应的切线方
程是 ))(( 000 xxxfyy .
2、几种常见函数的导数
① 'C 0 ；② 1')( nn nxx ；
③ xx cos)(sin ' ； ④ xx sin)(cos ' ；
⑤ aaa xx ln)( ' ； ⑥ xx ee ')( ；
⑦
axxa ln
1)(log ' ；⑧
xx 1)(ln '
3、导数的运算法则
（1） ' ' '( )u v u v .
（2） ' ' '( )uv u v uv .
（3）
' '
'
2( ) ( 0)u u v uv vv v
.
4、复合函数求导法则 （理科）
复合函数 ( ( ))y f g x 的导数和函数
( ), ( )y f u u g x 的导数间的关系为 x u xy y u ，
即 y 对 x 的导数等于 y 对u 的导数与u 对 x 的导数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf ＜ )( 0xf ，
则 )( 0xf 是函数 )(xf 的极大值；
极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf ＞ )( 0xf ，
则 )( 0xf 是函数 )(xf 的极小值.
(2)判别方法：
①如果在 0x 附近的左侧 )(' xf ＞0，右侧 )(' xf ＜0，
那么 )( 0xf 是极大值；
②如果在 0x 附近的左侧 )(' xf ＜0，右侧 )(' xf ＞0，
那么 )( 0xf 是极小值.
6、求函数的最值
(1)求 ( )y f x 在 ( , )a b 内的极值（极大或者极小值）
(2)将 ( )y f x 的各极值点与 ( ), ( )f a f b 比较，其中
最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；
最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象： 1,0 aaay x
2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式： logx
aa N x N ；
2、对数恒等式： loga Na N .
3、基本性质： 01log a ， 1log aa .
4、运算性质：当 0,0,1,0 NMaa 时：
1a 10 a
图
象
6
5
4
3
2
1
-1
-4
-2
2
4
6
0
1
6
5
4
3
2
1
-1
-4
-2
2
4
6
0
1
性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即 x=0 时，y=1
（4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数
(5) 0, 1xx a ;
0,0 1xx a
(5) 0,0 1xx a ;
0, 1xx a
0
1
1
y=
a
x
o
y
x
⑴ NMMN aaa logloglog ；
⑵ NMN
M
aaa logloglog
；
⑶ MnM a
n
a loglog .
5、换底公式：
a
bb
c
c
a log
loglog
0,1,0,1,0 bccaa .
6、重要公式： log logn
m
aa
mb bn
7、倒数关系：
ab
b
a log
1log 1,0,1,0 bbaa .
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象： 1,0log aaxy a
2、性质：
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
第三章：函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程 0xf 有实根
函数 xfy 的图象与 x 轴有交点
函数 xfy 有零点.
2、 零点存在性定理：
如果函数 xfy 在区间 ba, 上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有 0 bfaf ，那么函数
xfy 在区间 ba, 内有零点，即存在 bac , ，
使得 0cf ，这个 c 也就是方程 0xf 的根.
必修 2 数学知识点
第一章：空间几何体
1、棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围
成的多面体叫做棱柱。
2、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
。
3、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积； lrS 2侧面
⑵圆锥侧面积： lrS 侧面
⑶圆台侧面积： lRlrS 侧面
⑷体积公式：
hSV 柱体 ； hSV
3
1
锥体 ；
hSSSSV 下下上上台体
3
1
⑸球的表面积和体积：
32
3
44 RVRS 球球 ， .
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
1a 10 a
图
象
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
1
性
质
(1)定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即 x=1 时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
(5) 0log,1 xx a ；
0log,10 xx a
(5) 0log,1 xx a ；
0log,10 xx a
01
1
y=lo g
a x
o
y
x
们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则
线线平行）。
10、面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。
第三章：直线与方程
1、倾斜角与斜率：
12
12tan xx
yyk
2、直线方程：
⑴点斜式： 00 xxkyy
⑵斜截式： bkxy
3）一般式： 0 CByAx
3、对于直线：
222111 :,: bxkylbxkyl 有：
⑴
21
21
21 // bb
kkll ；
⑵ 1l 和 2l 相交 1 2k k ；
⑶ 1l 和 2l 重合
21
21
bb
kk ；
⑷ 12121 kkll .
4、对于直线：
0:
,0:
2222
1111
CyBxAl
CyBxAl 有：
⑴
1221
1221
21 // CBCB
BABAll ；
⑵ 1l 和 2l 相交 1221 BABA ；
⑶ 1l 和 2l 重合
1221
1221
CBCB
BABA ；
⑷ 0212121 BBAAll .
5、两点间距离公式：
2
12
2
1221 yyxxPP
6、点到直线距离公式：
22
00
BA
CByAxd
7、两平行线间的距离公式：
1l ： 01 CByAx 与 2l ： 02 CByAx 平行，
则
22
21
BA
CCd
第四章：圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程： 222 rbyax
其中圆心为 ( , )a b ，半径为 r .
⑵一般方程： 022 FEyDxyx .
其中圆心为 ( , )
2 2
D E ，半径为 2 21 4
2
r D E F .
2、直线与圆的位置关系
直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax
的位置关系有三种:
0 相离rd ;
0 相切rd ;
0 相交rd .
弦长公式： 222 drl
2 2
1 2 1 21 ( ) 4k x x x x
3、两圆位置关系： 21OOd
⑴外离： rRd ；
⑵外切： rRd ；
⑶相交： rRdrR ；
⑷内切： rRd ；
⑸内含： rRd .
3、空间中两点间距离公式：（理科）
2
12
2
12
2
1221 zzyyxxPP
必修 3 数学知识点
第二章：统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，
每个个体被抽到的机会（概率）均为
N
n 。
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据
的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大
书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴平均数：
n
xxxxx n 321 ；
取值为 nxxx ,,, 21 的频率分别为 nppp ,,, 21 ，则其
平均数为 nn pxpxpx 2211 ；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据 nxxx ,,, 21
方差：
2
1
2 )(1
n
i
i xxns ；
标准差：
2
1
)(1
n
i
i xxns
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的
稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程： abxy
（最小二乘法）
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
a y bx
注意：线性回归直线经过定点 ),( yx 。
第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母
表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件 A 的概率： 1)(0,)( APn
mAP .
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事
件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则
事件 A 发生的概率
n
mAP )( .
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式： 的测度
的测度
D
dAP )( ；
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、
体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件 nAAA ,,, 21 任意两个都是互斥事件，则称
事件 nAAA ,,, 21 彼此互斥。
⑶如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，
等于事件 A，B 发生的概率的和，
即： )()()( BPAPBAP
⑷如果事件 nAAA ,,, 21 彼此互斥，则有：
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称
这两个事件为对立事件。
①事件 A 的对立事件记作 A
)(1)(,1)()( APAPAPAP
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事
件。
必修 4 数学知识点
第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角 终边相同的角的集合：
Zkk ,2 .
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度
的角.
2、
r
l .
3、弧长公式： RRnl
180
.
4、扇形面积公式： lRRnS 2
1
360
2
.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
yxP , ，那么：
x
yxy tan,cos,sin
2、 设点 ,A x y 为角 终边上任意一点，那么：（设
2 2r x y ）
sin y
r
，cos x
r
，tan y
x
，cot x
y
3、 sin ， cos ， tan 在
四个象限的符号和三角函
数线的画法.
正弦线：MP;
余弦线：OM;
正切线：AT
4、 特殊角的三角函数值.
0
6
4
3
2
sin
cos
tan
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系： 1cossin 22 .
2、 商数关系：
cos
sintan .
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为“奇变偶不变，符号看象限” Zk ）
1、 诱导公式一：
.tan2tan
,cos2cos
,sin2sin
k
k
k
（其中： Zk ）
2、 诱导公式二：
.tantan
,coscos
,sinsin
3、诱导公式三：
.tantan
,coscos,......sinsin
4、诱导公式四：
.tantan
,coscos,......sinsin
5、诱导公式五：
.sin2cos,........cos2sin
6、诱导公式六：
T
M
A
O
P
x
y
sin cos ,........cos sin .2 2
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
xy sin xy cos xy tan
图象
定义域 R R },2|{ Zkkxx
值域 [-1,1] [-1,1] R
最值
max
min
2 , 1
2
2 , 1
2
x k k Z y
x k k Z y
时，
时，
max
min
2 , 1
2 , 1
x k k Z y
x k k Z y
时，
时，
无
周期性 2T 2T T
奇偶性 奇 偶 奇
单调性
Zk
在[2 ,2 ]2 2k k 上单调递增
在 3[2 ,2 ]2 2k k 上单调递减
在[2 ,2 ]k k 上单调递增
在[2 ,2 ]k k 上单调递减
在( , )2 2k k 上单调递增
对称性
Zk
对称轴方程：
2
x k
对称中心 ( ,0)k
对称轴方程： x k
对称中心 ( ,0)
2
k
无对称轴
对称中心 , 0)(
2
k
§1.5、函数 xAy sin 的图象
1、对于函数：
sin 0, 0y A x B A 有：振幅 A，周
期 2T
，初相 ，相位 x ，频率
2
1 Tf .
2、能够讲出函数 xy sin 的图象与
siny A x B 的图象之间的平移伸缩变
换关系.
1 先平移后伸缩：
siny x 平移 | | 个单位 siny x
（左加右减）
横坐标不变 siny A x
纵坐标变为原来的 A 倍
纵坐标不变 siny A x
横坐标变为原来的 1| |
倍
平移 | |B 个单位 siny A x B
（上加下减）
2 先伸缩后平移：
siny x 横坐标不变 siny A x
纵坐标变为原来的 A 倍
纵坐标不变 siny A x
横坐标变为原来的 1| |
倍
平移
个单位 siny A x
（左加右减）
平移 | |B 个单位 siny A x B
（上加下减）
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数 sin( )y x ，x∈R 及函数 cos( )y x ，
x∈R(A, , 为常数，且 A≠0)的周期 2
| |T
；函
数 tan( )y x ， ,2x k k Z (A,ω, 为
常数，且 A≠0)的周期
| |T
.
对 于 sin( )y A x 和 cos( )y A x 来
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数 sin( )y A x 图像的对称轴与对称中心，
只需令 ( )
2
x k k Z 与 ( )x k k Z
解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征： max min
2
y yA ， max min
2
y yB .
要根据周期来求, 要用图像的关键点来求.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住 15°的三角函数值：
sin cos tan
12
4
26
4
26 32
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、 sincoscossinsin
2、 sincoscossinsin
3、 sinsincoscoscos
4、 sinsincoscoscos
5、 tan tan
1 tan tantan
.
6、 tan tan
1 tan tantan
.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、 cossin22sin ，
变形： 1
2sin cos sin 2 .
2、 22 sincos2cos
1cos2 2
2sin21 .
变形如下：
升幂公式：
2
2
1 cos2 2cos
1 cos2 2sin
降幂公式：
2
2
1cos (1 cos2 )2
1sin (1 cos2 )2
3、
2tan1
tan22tan
.
§3.2、简单的三角恒等变换
2、辅助角公式
)sin(cossin 22 xbaxbxay
（一般关注 , ,6 4 3
的情况).
解三角形
1、正弦定理：
RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
.
（其中 R 为 ABC 外接圆的半径）
2 sin , 2 sin , 2 sin ;a R A b R B c R C
sin ,sin ,sin ;2 2 2
a b cA B CR R R
: : sin :sin :sin .a b c A B C
用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。
2、余弦定理：
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos ,
2 cos ,
2 cos .
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos ,2
cos ,2
cos .2
b c aA bc
a c bB ac
a b cC ab
用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用.
3、三角形面积公式：
BacAbcCabS ABC sin2
1sin2
1sin2
1
4、三角形内角和定理：
在△ABC 中，有 ( )A B C C A B
2 2 2
C A B 2 2 2( )C A B .
5、一个常用结论：
在 ABC 中， sin sin ;a b A B A B
若sin 2 sin 2 , .2A B A B A B 则 或 特别注意，
在三角函数中，sin sinA B A B 不成立。
：平面向量
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三
个要素：起点、方向、长度.
2、 向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称
模），记作 AB
；长度为零的向量叫做零向量；长
度等于 1 个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共
线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、 ba ≤ ba .
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
2、 平面向量共线定理：向量 0aa 与b 共线，
当且仅当有唯一一个实数 ，使 ab .
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、 yxjyixa , .
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设 2211 ,,, yxbyxa ，则：
⑴ 2121 , yyxxba ，
⑵ 2121 , yyxxba ，
⑶ 11, yxa ，
⑷ 1221// yxyxba .
2、 设 2211 ,,, yxByxA ，则：
1212 , yyxxAB .
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设 332211 ,,,,, yxCyxByxA ，则
⑴线段 AB 中点坐标为 22
2121 , yyxx ，
⑵△ABC 的重心坐标为 33
321321 , yyyxxx .
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、 cosbaba .
2、 a 在b 方向上的投影为： cosa .
3、
22
aa .
4、 2
aa .
5、 0 baba .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设 2211 ,,, yxbyxa ，则：
⑴ 2121 yyxxba
⑵ 2
1
2
1 yxa
⑶ 1 2 1 20 0a b a b x x y y
⑷ 1 2 2 1/ / 0a b a b x y x y
2、 设 2211 ,,, yxByxA ，则：
2
12
2
12 yyxxAB .
3、 两向量的夹角公式
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos x x y ya b
a b x y x y
必修 5 数学知识点
第二章：数列
1、数列中 na 与 nS 之间的关系：
1
1
, ( 1)
,( 2).n
n n
S na S S n
注意通项能否合并。
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，即 na － 1na =d ，（n≥
2，n∈N ），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数 a A b、 、 成等差数列
2
a bA
⑶通项公式： 1 ( 1) ( )n ma a n d a n m d
或 (na pn q p q 、 是常数）.
⑷前 n 项和公式：
1
1
1
2 2
n
n
n n n a aS na d
⑸常用性质：
①若 Nqpnmqpnm ,,, ，则
qpnm aaaa ；
②数列{ na }为等差数列 na pn q （p,q 是常数）
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列。
⑵等比中项：若三数 a b、G、 成等比数列 2 ,G ab
（ ab 同号）。反之不一定成立。
⑶通项公式： 1
1
n n m
n ma a q a q
⑷前 n 项和公式： 1 11
1 1
n
n
n
a q a a qS q q
⑸常用性质
①若 Nqpnmqpnm ,,, ，则
m n p qa a a a ；
第三章：不等式
§3.1、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①（对称性） a b b a
②（传递性） ,a b b c a c
③（可加性） a b a c b c
（同向可加性） dbcadcba ,
（异向可减性） dbcadcba ,
④（可积性） bcaccba 0,
bcaccba 0,
⑤（同向正数可乘性） 0, 0a b c d ac bd
（异向正数可除性） 0,0 a ba b c d c d
⑥（平方法则） 0 ( , 1)n na b a b n N n 且
⑦（开方法则） 0 ( , 1)n na b a b n N n 且
⑧（倒数法则）
babababa 110;110
2、几个重要不等式
① 2 2 2a b ab a b R ， ,（当且仅当 a b 时取
" " 号）. 变形公式：
2 2
.2
a bab
②（基本不等式）
2
a b ab a b R， ,（当
且仅当 a b 时取到等号）.
变形公式： 2a b ab
2
.2
a bab
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最
大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
绝对值三角不等式 .a b a b a b （理科）
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c 或
2( 0, 4 0)a b ac 解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
专题五：数系的扩充与复数
1、复数的概念
⑴虚数单位i ；
⑵复数的代数形式 ( , )z a bi a b R ；
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数 ,z a bi a b R
( 0)
( 0, 0)( 0) ( 0, 0)
b
a bb a b
实数
纯虚数
虚数
非纯虚数
3、相关公式
⑴ dcbadicbia 且,
⑵ 00 babia
⑶ 22 babiaz
⑷ z a bi
zz， 指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共
轭复数）.
4、复数运算
⑴复数加减法： idbcadicbia ；
⑵复数的乘法：
a bi c di ac bd bc ad i ；
⑶复数的除法：
a bi c dia bi
c di c di c di
2 2 2 2 2 2
ac bd bc ad i ac bd bc ad ic d c d c d
（类似于无理数除法的分母有理化 虚数除法的分
母实数化）
5、常见的运算规律
(1) ; (2) 2 , 2 ;z z z z a z z bi
2 2 2 2(3) ;(4) ;(5)z z z z a b z z z z z R
4 1 4 2 4 3 4 4(6) , 1, , 1;n n n ni i i i i i
2
2 1 1 1(7) 1 ;(8) , ,1 1 2
i i ii i i i ii i
)9( 设
2
31 i 是 1 的立方虚根，则
01 2 ， 1,, 332313 nnn
6、复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中 x 轴叫
做复平面的实轴， y 轴叫做复平面的虚轴.
z a bi Z 一一对应复数 复平面内的点（a,b)
z a bi OZ 一一对应复数 平面向量
专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准方程
2 2
2 2 1 0x y a ba b
2 2
2 2 1 0y x a ba b
定义 到两定点 21F F、 的距离之和等于常数 2 a ，即 21| | | | 2MF MF a （ 212 | |a F F ）
轴长 长轴的长 2a 短轴的长 2b
对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 1 ,0F c 、 2 ,0F c 1 0,F c 、 2 0,F c
焦距 2 2 2
1 2 2 ( )F F c c a b
离心率 (0 1)ce ea
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准方程
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
2 2
2 2 1 0, 0y x a ba b
定义 到两定点 21F F、 的距离之差的绝对值等于常数 2a ，即 21| | | | 2MF MF a （ 210 2 | |a F F ）
轴长 实轴的长 2a 虚轴的长 2b
对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 1 ,0F c 、 2 ,0F c 1 0,F c 、 2 0,F c
焦距 2 2 2
1 2 2 ( )F F c c a b
y
y
x
O
M
H
N
双曲线
抛物线：
2、极坐标系的概念
在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线 Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单
位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离 || OM 叫做点 M 的极径，记为 ；以极轴Ox
为始边，射线OM 为终边的 xOM 叫做点 M 的极角，记为 。有序数对 ),( 叫做点 M 的极坐标，记为
),( M .
3、极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 ( , )x y ，极坐标是 ( , ) ，从图中可以得出：
2 2 2
cos , sin
, t n ( 0).
x y
yx y a xx
4、简单曲线的极坐标方程
⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 a ；
离心率 ( 1)ce ea
渐近线方程 by xa
ay xb
图形
标准方程
2 2y px
0p
2 2y px
0p
2 2x py
0p
2 2x py
0p
焦点 , 02
pF
, 02
pF 0, 2
pF
0, 2
pF
准线方程
2
px
2
px
2
py
2
py
xO
图 1
M( , )
②以 ( ,0)a )0( a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 cos2a ；
③以 ( , )2a )0( a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 sin2a ；
⑵直线的极坐标方程
①过极点的直线的极坐标方程是 )0( 和 ( 0) . （如图 1）
②过点 )0)(0,( aaA ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 acos . 化为直角坐标方程为 x a .（如图
2）
③过点 ( , )2A a 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是 sin a . 化为直角坐标方程为 y a .（如图 4）
6、参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 yx, 都是某个变数t 的函数
),(
),(
tgy
tfx 并且对于t 的每一
个允许值，由这个方程所确定的点 ),( yxM 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变
数 yx, 的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
7、常见曲线的参数方程
（1）圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 的参数方程为 cos
sin
x a r
y b r
（ 为参数）；
（2）椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的参数方程为 cos
sin
x a
y b
（ 为参数）；
椭圆
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
的参数方程为 cos
sin
x b
y a
（ 为参数）；
（3）双曲线
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的参数方程 sec
tan
x a
y b
（ 为参数）；
双曲线
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
的参数方程 cot
csc
x b
y a
（ 为参数）；
（4）抛物线 2 2y px 参数方程
22
2
x pt
y pt
(t 为参数， 1
tant ）；
专题七：随机变量及其分布
1、基本概念
⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
如果事件 A B C、 、 ，其中任何两个都是互斥事
件，则说事件 A B C、 、 彼此互斥.
当 A B、 是互斥事件时，那么事件 A B 发生（即
A B、 中有一个发生）的概率，等于事件 A B、 分别发
生的概率的和，即
( ) ( ) ( )P A B P A P B .
⑵对立 事件：其中必有
一个发 生的两个互斥
事件.事 件 A 的对立事
件通常 记着 A .
对立事件的概率和等于 1. ( ) 1 ( )P A P A .
⑶相互独立事件：事件 A（或 B ）是否发生对事件 B
（或 A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是
否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两
个事件叫做相互独立事件.
当 A B、 是相互独立事件时，那么事件 A B 发生
（即 A B、 同时发生）的概率，等于事件 A B、 分别发
生的概率的积.即
( ) ( ) ( )P A B P A P B .
若 A、B 两事件相互独立，则 A 与 B 、 A 与 B、 A
与 B 也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为
n 次独立重复试验.
②独立重复试验的概率公式
如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ，那么
在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率
( ) (1 ) 0,1 2, .,k k n k
n nP k nk C p p
⑸条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A
发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作
P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.
公式： ( )( ) , ( ) 0.( )
P ABP B A P AP A
3、离散型随机变量的分布列
⑴概率分布（分布列）
设离散型随机变量 X 可能取的不同值为
1 2,x x ，…， ix ，…， nx ，
X 的每一个值 ix （ 1,2, ,i n ）的概率
( )i iP X x p ，则称表
X
1x 2x … ix … nx
P 1p 2p … ip … np
为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分布列.
性质：① 0, 1,2,... ;ip i n ②
1
1.
n
i
i
p
⑵两点分布
如果随机变量 X 的分布列为
则称 X 服从两点分布，并称 ( 1)p P X 为成功概
率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在
n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
( ) (1 ) .k k n k
nP X k C p p
其中 0,1,2,..., , 1k n q p ，于是得到随机
变量 X 的概率分布如下：
X 0 1 … k … n
P
0 0 n
nC p q 1 1 1n
nC p q
…
k k n k
nC p q
…
0n n
nC p q
我们称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作
pnBX ,~ ，并称 p 为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
②重复性：即试验是独立重复地进行了 n 次;
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.
注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；
⑵二项分布中的参数是 , , .p k n
⑷超几何分布
一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取
n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 X k 发生的
概率为 ( ) ( 0,1,2, , )
k n k
M N M
n
N
C CP X k k mC
,于
是得到随机变量 X 的概率分布如下：
X 0 1
P 1 p p
其中 min ,m M n , *, , , ,n N M N n M N N≤ ≤ .
我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列,
且称随机变量 X 服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；
⑵超几何分布中的参数是 , , .M N n 其意义分别是
总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.
4、离散型随机变量的均值与方差
⑴离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X
1x 2x … ix … nx
P 1p 2p … ip … np
则称
1 1 2 2 i i n nE X x p x p x p x p 为离散型
随机变量 X 的均值或数学期望（简称期望）.它反映了
离散型随机变量取值的平均水平.
性质：① ( ) ( ) .E aX b aE X b
②若 X 服从两点分布，则 ( ) .E X p
③若 pnBX ,~ ，则 ( ) .E X np
⑵离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
X
1x 2x … ix … nx
P 1p 2p … ip … np
则称
2
1
( ) ( ( ))
n
i i
i
D X x E X p
为离散型随机变量 X 的
方差，并称其算术平方根 ( )D X 为随机变量 X 的标
准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集
中与离散的程度.
( )D X 越小， X 的稳定性越高，波动越小，取值
越集中； ( )D X 越大， X 的稳定性越差，波动越大，
取值越分散.
性质：① 2( ) ( ).D aX b a D X
②若 X 服从两点分布，则 ( ) (1 ).D X p P
③若 pnBX ,~ ，则 ( ) (1 ).D X np P
5、正态分布
正态变量概率密度曲线函数表达式：
Rxexf
x
,
2
1 2
2
2
，其中 , 是参数，
且 ,0 .记作 2( , ).N 如下图：
专题三：定积分
2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
如果 ( ) ( )F x f x ，且 ( )f x 在 ],[ ba 上可积，则
( ) ( ) ( ) ( )b b
aa
f x dx F x F b F a ，
【 其 中 ( )F x 叫 做 ( )f x 的 一 个 原 函 数 ， 因 为
( ) ( ) ( )F x C F x f x 】
4、定积分的性质
⑴ b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( （k 为常数）；
⑵ b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ；
⑶ ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx （其中 )a c b ;
5、定积分的几何意义
X 0 1 … m
P
0 0n
M N M
n
N
C C
C
1 1n
M N M
n
N
C C
C
…
m n m
M N M
n
N
C C
C
定积分 ( )b
a
f x dx 表示在区间[ , ]a b 上的曲线
( )y f x 与直线 x a 、x b 以及 x 轴所围成的平面
图形（曲边梯形）的面积的代数和，即
( )b
a x xf x dx S S 轴上方 轴下方－ .（在 x 轴上方的面积取
正号,在 x 轴下方的面积取负号）
6、求曲边梯形面积的方法与步骤
⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致
图像；
⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积
分的上、下限；
⑶写出定积分表达式；
⑷求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
7、定积分的简单应用
⑴定积分在几何中的应用：
几种常见的曲边梯形面积的计算方法:
（1） x 型区域：
① 由 一 条 曲 线 ）其中 0 )()(( xfxfy 与 直 线
)(, babxax 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面
积： ( )bS f x dxa＝ （如图（1））；
图（1）
专题六：排列组合与二项式定理
1、基本计数原理
⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有
1m 种不同的方法，在第二类办法中有 2m 种不同的方
法……在第 n 类办法中有 nm 种不同的方法.那么完成
这件事情共有 nmmmN 21 种不同的方法.
⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要 n 个步骤，做第一个步骤有
1m 种不同的方法，做第二个步骤有 2m 种不同的方
法……做第 n 个步骤有 nm 种不同的方法.那么完成这
件事情共有 nmmmN 21 种不同的方法.
2、排列与组合
⑴排列定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取
nmm 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个排列.
⑵组合定义：一般地，从 n 个不同的元素中任取
nmm 个元素并成一组，叫做从 n 个不同的元素中
任取 m 个元素的一个组合.
⑶排列数：从 n 个不同的元素中任取 nmm 个元素
的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素中任取 m
个元素的排列数，记作 m
nA .
⑷组合数：从 n 个不同的元素中任取 nmm 个元素
的所有组合的个数，叫做从 n 个不同的元素中任取 m
个元素的组合数，记作 m
nC .
⑸排列数公式：
① 121 mnnnnAm
n
!mn
nAm
n ！ ；
② !nAn
n ，规定 1!0 .
⑹组合数公式：
①
!
121
m
mnnnnC m
n
或
!! mnm
nC m
n ！ ；
② mn
n
m
n CC ，规定 10 nC .
⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.
⑻排列与组合的联系： m
m
m
n
m
n ACA ，即排列就是先
组合再全排列.
( 1) ( 1) ! ( )( 1) 2 1 ! !
m
m n
n m
m
A n n n m nC m nA m m m n m
⑼排列与组合的两个性质性质
排列 1
1
m
n
m
n
m
n mAAA ；组合 1
1
m
n
m
n
m
n CCC .
⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑
有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优
先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他
位置）.
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再
把不符合条件的所有情况去掉）.
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”
为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，
最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某
些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好
没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素
按要求插入排好的元素之间）.
⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，
平均分成 n 组问题别忘除以 n！.
3、二项式定理
⑴二项展开公式：
0 1 1 2 2 2n n n n r n r r
n n n na b C a C a b C a b C a b
n n
nC b n N .
⑵二项展开式的通项公式：
NnNrnrbaCT rrnr
nr ,,01 .主要用途
是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当
二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系
数.如
在 ( )nax b 的展开式中，第 1r 项的二项式系数
为 r
nC ，第 1r 项的系数为 r n r r
nC a b ；而 1( )nx x
的
展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为
正，而项的系数不一定为正.
⑷ nx1 的展开式：
0221101 xCxCxCxCx n
n
n
n
n
n
n
n
n ，
若令 1x ，则有
n
nnnn
nn CCCC 210211 .
二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数
的和.即 13120 2 n
nnnn CCCC
⑸二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项
式系数相等，即 mn
n
m
n CC ；
（2）增减性与最大值：当 1
2
nr 时，二项式系
数C r
n 的值逐渐增大，当 1
2
nr 时,C r
n 的值逐渐减小，
且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第
2
n
＋1 项）的二项式系数 2
n
nC 取得最大值.当 n 为奇数时，
中间两项（第
2
1n 和
2
1n ＋1 项）的二项式系数
1 1
2 2
n n
n nC C
相等并同时取最大值.
⑹系数最大项的求法
设第 r 项的系数 rA 最大，由不等式组 1
1
r r
r r
A A
A A
可确定 r .
知识链接：空间向量（理科）
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.
下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行
总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若 A、B 是直线l 上的任意两点，则 AB
为直线l 的
一个方向向量；与 AB
平行的任意非零向量也是直线l
的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量 n
所在直线垂直于平面 ，则称这个向量
垂直于平面 ，记作 n ，如果 n ，那么向量 n
叫做平面 的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面 的法向量为 ( , , )n x y z ．
③求出平面内两个不共线向量的坐标
1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , )a a a a b b b b ．
④根据法向量定义建立方程组 0
0
n a
n b
.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面 的法向量.
（如图）
1、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
设直线 1 2,l l 的方向向量分别是 a b
、 ，则要证明 1l ∥
2l ，只需证明 a
∥b
，即 ( )a kb k R
.
即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①（法一）设直线l 的方向向量是 a
，平面 的法向
量是u
，则要证明l ∥ ，只需证明 a u ，即 0a u
.
即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面
的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可
以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
向量即可.
⑶面面平行
若平面 的法向量为u
，平面 的法向量为 v
，要
证 ∥ ，只需证u
∥ v
，即证u v
.
即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线 1 2,l l 的方向向量分别是 a b
、 ，则要证明
1 2l l ，只需证明 a b ，即 0a b
.
即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①（法一）设直线l 的方向向量是 a
，平面 的法向
量是u
，则要证明l ，只需证明 a
∥u
，即 a u
.
②（法二）设直线l 的方向向量是 a
，平面 内的两
个相交向量分别为 m n
、 ，若 0, .
0
a m l
a n
则
即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的
法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线
直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面 的法向量为u
，平面 的法向量为 v
，要
证 ，只需证u v ，即证 0u v
.
即：两平面垂直 两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知 ,a b 为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是 ,a b
上的任意两点， ,a b 所成的角为 ，
则 cos .
AC BD
AC BD
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法：设直线l 的方向向量为 a
，平面 的法向量
为u
，直线与平面所成的角为 ，a
与u
的夹角为 ，
则 为 的余角或 的补角
的余角.即有：
coss .in
a u
a u
⑶求二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，
其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上
任 取 一 点 O ， 分 别 在 两 个 半 平 面 内 作 射 线
lBOlAO , ，则 AOB 为二面角 l 的平
面角.
如图：
②求法：设二面角 l 的两个半平面的法向量
分 别 为 m n
、 ， 再 设 m n
、 的 夹 角 为 ， 二 面 角
l 的平面角为 ，则二面角 为 m n
、 的夹角
或其补角 .
根据具体图形确定 是锐角或是钝角：
◆如果 是锐角，则 cos cos
m n
m n
，
即 arccos
m n
m n
；
◆ 如果 是钝角，则 cos cos
m n
m n
，
即 arccos
m n
m n
.
