2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识3

2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识3

3.1 　不等式的性质 激趣诱思 知识点拨 某商场换季促销 , 降价的方案有两种 : 一是商品 8 折后再 6 折销售 , 二是商品 7 折后再 7 折销售 . 作为消费者 , 你希望商场采用哪一种方案呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、实数的大小比较 比较实数 a , b 大小 的依据 微练习 若 x 为实数 , 则 x 2 - 1 与 2 x- 5 的大小关系是 　　　　　 . 它们 的 差 ( a-b ) 与 0 x 2 - 1 > 2 x- 5 解析 : ∵ ( x 2 - 1) - (2 x- 5) =x 2 - 2 x+ 4 = ( x- 1) 2 + 3 > 0, ∴ x 2 - 1 > 2 x- 5 . 激趣诱思 知识点拨 二、不等式的 性质 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 注意 “ 等式 ” 与 “ 不等式 ” 的异同 , 如 : 2 . 要注意各个不等式成立的前提 , 如性质 4 中两个不等式方向要相同 , 性质 3 中要按 c 的正负分情况 . 3 . 由性质 2, 可得 a+b>c ⇒ a+b+ ( -b ) >c+ ( -b ) ⇒ a>c-b. 即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边 . 称为移项法则 , 在解不等式时经常用到 . 4 . 倒数法则 : 结论成立的条件是 a 、 b 要同号 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 在一个不等式的两边同乘一个非零实数 , 不等式仍然成立 . ( 　　 ) (2) 同向不等式具有可加性和可乘性 . ( 　　 ) (3) 若两个数的比值大于 1, 则分子上的数就大于分母上的数 . ( 　　 ) 答案 : (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5 ) × 激趣诱思 知识点拨 微练习 若 a>b , 则下列各式正确的是 ( 　　 ) A. a- 2 >b- 2 B.2 -a> 2 -b C. - 2 a>- 2 b D. a 2 >b 2 答案 : A 　 解析 : 因为 a>b , 所以 a- 2 >b- 2,2 -a< 2 -b , - 2 a<- 2 b , 故 A 正确 ,B 、 C 错误 ; 又取 a= 0, b=- 1 时 , a>b , 但 a 2 b , 则 ac 2 >bc 2 ; (2) 若 aab>b 2 ; 分析 判断这些结论是否正确 , 可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质 , 经过合理的逻辑推理即可 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解 : (1) 当 c= 0 时 , 有 ac 2 =bc 2 . 故该结论错误 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 解决这类问题时 , 通常有两种方法 : 一是直接利用不等式的性质 , 进行推理 , 看根据条件能否推出相应的不等式 ; 二是采用取特殊值的方法 , 判断所给的不等式是否成立 , 尤其是在选择题中经常采用这种办法 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知 a , b , c 满足 cb> 0, c 0, c+d< 0, b-a< 0, c-d< 0 . ∴ ( a+b ) - ( c+d ) > 0,( b-a ) + ( c-d ) < 0 . ∵ e< 0, ∴ e [( a+b ) - ( c+d )][( b-a ) + ( c-d )] > 0 . 又 ( a-c ) 2 ( b-d ) 2 > 0, 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 简单不等式的证明可直接由已知条件 , 利用不等式的性质 , 通过对不等式变形得证 . 2 . 对于不等式两边都比较复杂的式子 , 直接利用不等式的性质不易证得 , 可考虑将不等式两边作差 , 然后进行变形 , 根据条件确定每一个因式的符号 , 利用符号法则判断最终的符号 , 完成证明 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 利用不等式性质求取值 范围 解 : 因为 3 b , 则下列不等式一定成立的是 ( 　　 ) 答案 : D 　 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2 . ( x+ 5)( x+ 7) 　　　　 ( x+ 6) 2 . ( 填 “ > ”“ < ”“ ≥ ” 或 “ ≤ ”)   3 . 已知 1 ≤ a ≤ 2,3 ≤ b ≤ 6, 则 3 a- 2 b 的取值范围为 　　　　　 .   解析 : ( x+ 5)( x+ 7) - ( x+ 6) 2 =x 2 + 12 x+ 35 - ( x 2 + 12 x+ 36) =- 1 < 0, 所以 ( x+ 5)( x+ 7) < ( x+ 6) 2 . 解析 : ∵ 1 ≤ a ≤ 2,3 ≤ b ≤ 6, ∴ 3 ≤ 3 a ≤ 6, - 12 ≤ - 2 b ≤ - 6, 由不等式的性质得 - 9 ≤ 3 a- 2 b ≤ 0, 即 3 a- 2 b 的取值范围为 [ - 9,0] . 答案 : < 答案 : [ - 9,0 ] 探究一 探究二 素养形成 当堂检测