2019-2020学年安徽省六安市第一中学高一上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省六安市第一中学高一上学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省六安市第一中学高一上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．与35°角终边相同的角是（ ）‎ A． B．335° C．395° D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定是否相差360°的整数倍即可．‎ ‎【详解】‎ 观察四个选项只有395°=35°+360°，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同的角，掌握终边相同角的表示方法是解题关键．（）是与终边相同的角．‎ ‎2．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中错误的说法有（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据平面向量的概念判断．‎ ‎【详解】‎ ‎①只有零向量的模是0，因此应有，不是0，错；‎ ‎②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；‎ ‎③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错；‎ ‎④当时，不一定共线，错．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的概念，掌握向量的定义是解题关键．‎ ‎3．已知为第四象限角，则所在象限是（ ）‎ A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第四象限 D．第二或第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】用不等式表示出的范围，计算出的范围，然后可得其所在象限．‎ ‎【详解】‎ 为第四象限角，则，∴，为偶数时，在第四象限，为奇数时，在第二象限．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查象限角的概念，解题关键是掌握象限角的表示方法．‎ ‎4．已知扇形的周长是10，圆心角是3弧度，则扇形的面积是（ ）‎ A． B． C．6 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】由扇形周长求出半径，再由面积公式计算．‎ ‎【详解】‎ 设半径为，则扇形弧长为，∴，，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查扇形面积公式和弧长公式，属于基础题．‎ ‎5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的单调递减区间为 D．的图象关于点中心对称 ‎【答案】D ‎【解析】由余弦函数的性质判断．‎ ‎【详解】‎ 的周期是，A错；‎ 不是最值，不是对称轴，B错；‎ 由得，不是，C错；‎ 由于，因此是的对称中心，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦型复合函数的性质，掌握余弦函数性质是解题关键．‎ ‎6．函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】用诱导公式化简后根据正弦函数性质可得．‎ ‎【详解】‎ ‎，最小值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的最值，考查诱导公式，诱导公式的应用是解题关键．‎ ‎7．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】用诱导公式转化．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数解析式，掌握诱导公式是解题关键．本题也可以先求出，再求解．‎ ‎8．在中，已知是边上的一点，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】用向量的线性运算表示即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴．因此．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题关键．本题可直接由向量共线定理得出结论，由三点共线可得，．‎ ‎9．已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出，根据向量加法的平行四边形法则可得在中线上且是中线的中点．由此可得．‎ ‎【详解】‎ 如图，设，∵，∴，设与交于点，则平分，∴，是中点，‎ ‎∴．比值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量加法的平行四边形法则，考查向量数乘的意义．掌握向量加法的平行四边形法则是解题关键．‎ ‎10．化简：（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】切化弦，通分，并把化为，逆用两角差的正弦公式可得．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值．考查同角间的三角函数关系、诱导公式、两角差的正弦公式，在三角函数化简中切化弦是常用方法．‎ ‎11．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知条件说明是函数的最大值，根据余弦函数性质求出的表达式，可得最小正数．‎ ‎【详解】‎ ‎∵对任意的实数都成立，∴是函数的最大值，‎ ‎∴，，，其中最小的正数为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数的性质，掌握余弦函数的最值是解题关键．‎ ‎12．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴是直线（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图象变换得的表达式，然后求出的对称轴方程，比较可得．‎ ‎【详解】‎ 由题意，由得，，四个选项中只有符合．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象变换，考查余弦函数的性质，掌握余弦函数的对称性是解题关键．‎ 二、填空题 ‎13．如果点位于第二象限，那么角所在的象限是第______象限.‎ ‎【答案】四.‎ ‎【解析】由点所在象限得出三角函数的正负，再由三角函数定义得出角所在象限．‎ ‎【详解】‎ 由题意，∴在第四象限，‎ 故答案为：四．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，掌握各象限角的三角函数值的符号是解题关键．‎ ‎14．已知，不共线，，并且共线，则________.‎ ‎【答案】-2.‎ ‎【解析】由向量共线的条件求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵共线，∴存在实数，使得，即，‎ 又，不共线，∴，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线的条件，考查平面向量基本定理，掌握向量共线的条件是解题关键．‎ ‎15．已知，，且，，则的值为__________.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】求出和，再由两角和余弦公式求得，然后可得角的大小．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，且，，‎ ‎∴，同理，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又由，得，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知三角函数值求角．一般要求角可先这个角的某个三角函数值，最好先确定这个角的范围，选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小．‎ ‎16．设，且恒成立，则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】令，问题转化为对恒成立，结合二次函数的性质分类讨论可得．‎ ‎【详解】‎ 当时，，令，则，‎ 不等式化这，即对恒成立，‎ 记，，，，‎ 因此或时，由得或，‎ 当时，恒成立，即，‎ 综上．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦函数性质，考查不等式恒成立问题，解题关键是转化与化归，即换元后转化一元二次不等式在某区间上恒成立，从而转化为研究二次函数的性质．‎ 三、解答题 ‎17．已知是第三象限角，.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）用诱导公式化简；‎ ‎（2）由正切值求出角，然后计算即得．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎．‎ ‎（2）由（1），，‎ ‎∵是第三象限角，∴，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式，考查三角函数求值，对特殊角的三角函数值，可以由函数值求出角，再求其他函数值．诱导公式比较多，掌握诱导公式是本题解题关键．‎ ‎18．计算下列各式的值.‎ ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】（1）结合平方关系求出，然后由二倍角公式求出，再由两角和的正弦公式求值．‎ ‎（2）计算，由两角和的正切公式展开变形可求得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∴或（舍去）‎ ‎∴，，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式和两角和的正弦与正切公式，三角函数恒等变形的公式较多，解题时要根据条件特别是已知角和未知角之间的关系选用恰当的公式，注意公式选用顺序．‎ ‎19．计算下列各式的值.‎ ‎（1）已知，是第四象限角，求的值.‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）已知等式变形后用两角差的正弦公式直接求出，即得，再求出，还是由两角差的正弦公式求值．‎ ‎（2）把看作是，由两角和的余弦公式展开后化简计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵为第四象限，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的正弦公式和两角和的余弦公式，考查同角间的三角函数关系，掌握两角和与差的正弦余弦公式是解题关键．‎ ‎20．已知函数的部分图象如下图所示.‎ ‎（1）若的图像向左平移个单位后，得到的图像，求的解析式；‎ ‎（2）若方程在上有三个不同的实根，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由五点法求得的解析式，再由图象得的解析式；‎ ‎（2）把作为一个整体，求出它的取值范围，结合余弦函数的图象可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 把代入可得 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎（2）‎ 有三个不同的实根，‎ 由与直线有三个不同的交点得：‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三角函数图象求解析式，考查三角函数的图象变换，考查方程根的分布问题．由图象求解析式的关键是掌握“五点法”，方程根的分布问题可通过数形结合思想求解．‎ ‎21．已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）若在上的最大值为，求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数式为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；‎ ‎（2）求出的范围，结合正弦函数的性质可得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 的减区间，即为的减区间 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴单调递减区间为 ‎ ‎（2）‎ 由正弦函数性质可得 ‎∴的范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于、两点.已知、的纵坐标分别为、.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由正弦函数定义求出，由平方关系求出，由商数关系，最后由两角差的正切公式求值；‎ ‎（2）求出，再得，由角的范围可得角．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，‎ ‎∴均为锐角 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，考查同角间的三角函数关系及两角和的正切公式．掌握两角和的正切公式是解题关键．‎